Akustik/ Grundlagen der Akustik

Einleitung

Schall entsteht auf Grund von Luftdruckschwankungen. Um die Ausbreitung von Schall leichter zu verstehen, kann man sich vorstellen, dass der Raum in dünne Luftschichten aufgeteilt werden kann. Die Schwingung (aufeinanderfolgender Druck und Entspannung) dieser Schichten bei einer gewissen Geschwindigkeit, erlaubt dem Schall sich auszubreiten und somit eine Welle zu erzeugen. Aus diesem Grund existieren Schallwellen kompressibler Medien.

In diesem Kapitel wird nur die Ausbreitung von Schallwellen in einem Gebiet ohne akustische Quellen in einer homogenen Flüssigkeit betrachtet.

Wellengleichung

Schallwellen bestehen aus der Ausbreitung eines skalaren Feldes (dem akustischen Wechseldruck) und einem Vektorfeld (der akustischen lokalen Geschwindigkeit / der sogenannten Schallschnelle). Deshalb wird die Ausbreitung von Schallwellen von den folgenden zwei Gleichungen bestimmt, die äquivalent sind:

$\nabla ^2 p - \frac{1}{c_0^2} \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} = 0 \,$

$\nabla ^2 \underline v - \frac{1}{{c_0 ^2 }}\frac{{\partial ^2 \underline v }}{{\partial x^2}} = 0 \,$

Diese Gleichungen erhält man durch die Erhaltungsgleichungen (Masse, Impuls und Energie), die thermodynamischen Zustandsgleichungen, die sowohl das Ausbreitungsmedium (Fluid) als auch die Gesetze ihres Verhaltens (Newtonsche Flüssigkeit, Fourier-Gesetz des Leitvermögens) beschreiben. Wenn die Zähigkeit und das Leitvermögen vernachlässigt werden, sehen wir, dass alle Störungen klein genug sind, um die vorhergehenden Gleichungen linearisieren zu können (z.B. kann der nicht-lineare Term in der Impuls-Gleichung vernachlässigt werden). Für spezielle Fälle, bei denen der akustische Überdruck zu hoch wird (Überschallknall etc.), müssen die nicht-linearen Terme beibehalten werden und man muss sich mit der nicht-linearen Akustik beschäftigen.

In der Ausbreitungsgleichung der Schallwellen ist $c_0$ die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Schallwelle (die nichts mit der Wechselgeschwindigkeit der Flüssigkeitsschichten zu tun hat). Diese Ausbreitungsgeschwindigkeit hat die folgende Gleichung:

$c_0 = \frac{1}{\sqrt{\rho_0 \chi_s}} \,$

Hierbei ist $\rho_0$ die Dichte und $\chi _s$ die Kompressibilität des Ausbreitungsmediums.

Helmholtz-Gleichung

Da das Geschwindigkeitsfeld $\underline v$ für akustische Wellen rotationsfrei ist, können wir ein akustisches Potential $\Phi$ definieren durch:

$\underline v = \operatorname{grad} \Phi \,$

Bei Benutzung der Ausbreitungsgleichung des vorhergehenden Paragraphen, ist es leicht, die folgende neue Gleichung zu erhalten:

$\nabla^2 \Phi - \frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2} = 0 \,$

Durch Anwendung der Fouriertransformation, erhalten wir die weithin genutzte Helmholtz-Gleichung:

$\nabla ^2 \hat \Phi + k^2 \hat \Phi = 0\,$

wobei $k$ die Wellenzahl ist, die mit $\Phi$ verbunden ist. Die Benutzung dieser Gleichung ist oft der einfachste Weg, ein akustisches Problem zu lösen.

Die Schallintensität und die Dezibel-Skala

Die Schallintensität repräsentiert den akustischen Energiefluss verbunden mit der Wellenausbreitung:

$\underline i (t) = p\underline v \,$

Nun können wir die durchschnittliche Schallintensität definieren:

$\underline I = < \underline i > \,$

Allerdings gibt die Schallintensität keine gute Vorstellung vom Schallpegel, da die Empfindlichkeit unserer Ohren logarithmisch ist. Dafür definieren wir Dezibel durch Benutzung des akustischen Wechseldrucks oder der durchschnittlichen Schallintensität:

$p^{\mathrm{dB}} = 20 \log \left(\frac{p}{{p_\mathrm{ref}}}\right) \,$

$L_I = 10 \log \left(\frac{I}{{I_\mathrm{ref}}}\right) \,$

wobei $p_\mathrm{ref} = 2{,}10^{-5}\,\mathrm{Pa}$ für Luft, oder $p_\mathrm{ref} = 10^{- 6}\,\mathrm{Pa}$ für jedes andere Medium eingesetzt wird und $I_\mathrm{ref} = 10^{-12}$ W/m² ist.

Lösen der Wellengleichung

Ebene Wellen

Wenn wir die Ausbreitung einer Schallwelle studieren, fernab von der akustischen Quelle, kann sie als ebene 1D Welle angenommen werden. Wenn die Ausbreitungsrichtung entlang der x-Achse stattfindet, ist die Lösung:

$\Phi (x,t) = f\left(t - \frac{x}{{c_0}}\right) + g\left(t + \frac{x}{{c_0}}\right) \,$

wobei f und g beliebige Funktionen sein können. f beschreibt die Bewegung der Welle in Richtung positive x-Achse, wogegen g die Bewegung entgegen der x-Achse beschreibt.

Die Impuls-Gleichung liefert eine Relation zwischen $p$ und $\underline v$, was zum folgenden Ausdruck der spezifischen Impendanz führt:

$\frac{p}{v} = Z = \pm \rho _0 c_0 \,$

Im Fall einer ebenen Welle bekommen wir den folgenden Ausdruck für die Schallintensität:

$\underline i = \pm \frac{{p^2}}{{\rho_0 c_0}}\underline {e_x } \,$

Kugelförmige Wellen

Allgemein breiten sich Schallwellen als Kugelwellen in alle Richtungen gleichermaßen aus. In diesem Fall nimmt die Lösung für das akustische Potential $\Phi$ die folgende Form an:

$\Phi (r,t) = \frac{1}{r} \, f \left(t - \frac{r}{{c_0}}\right) + \frac{1}{r} \, g \left(t + \frac{r}{{c_0}}\right) \,$

Der Umstand, dass das Potential linear mit dem Abstand zur Quelle abnimmt, ergibt sich aus dem Energieerhaltungssatz.
Für ideale kugelförmige Wellen lässt sich die spezifische Schallimpedanz und die Schallintensität leicht berechnen.

Randbedingungen

Für die Randbedingungen, die zur Lösung der Wellengleichung verwendet werden, muss zwischen zwei möglichen Situationen unterschieden werden. Für ein nicht absorbierendes Medium können die Randbedingungen aus den üblichen Gleichungen der Mechanik hergeleitet werden. Für ein absorbierendes Material gelten diese nicht, daher kommt hier das Konzept der Schallimpedanz zum Einsatz.

Nichtabsorbierendes Material

In diesem Fall, stoßen wir auf Grenzbedingungen von Betonungen und auf Geschwindigkeiten an der Schnittstelle. Diese Bedingungen hängen davon ab, ob die Medien Festkörper, dünnflüssige oder klebrige Flüssigkeiten sind.

Absorptionsmaterial

Hier kennen wir die Gleichungen für die Mechanik im Absorptionsmaterial und so nicht, wir müssen den akustischen Scheinwiderstand als die Grenzbedingung verwenden. Dieser Scheinwiderstand, der häufig durch experimentelle Maße gegeben wird, hängt vom Material, der Flüssigkeit und der Frequenz der Schallwelle ab.

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