Akustik/ Grundlagen der Akustik

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Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung
2 Wellengleichung
3 Helmholtz-Gleichung
4 Akustische Intensität und Dezibel-Skala
5 Lösen der Wellengleichung
- 5.1 Ebene Wellen
- 5.2 Spherical waves
6 Boundary conditions
- 6.1 Non-absorptive material
- 6.2 Absorptive material

[Bearbeiten] Einleitung

Schall entsteht auf Grund von Luftdruckschwankungen. Um die Ausbreitung von Schall leichter zu verstehen, kann man sich vorstellen, dass der Raum in dünne Luftschichten aufgeteilt werden kann. Die Schwingung (also aufeinanderfolgender Druck und Entspannung) dieser Schichten bei einer gewissen Geschwindigkeit, erlaubt dem Schall sich auszubreiten und somit eine Welle zu erzeugen. Aus diesem Grund existieren Schallwellen nicht inkompressiblen Medien.

In diesem Kapitel wird nur die Ausbreitung von Schallwellen in einem Gebiet ohne akustische Quellen in einer homogenen Flüssigkeit betrachtet.

[Bearbeiten] Wellengleichung

Schallwellen bestehen aus der Ausbreitung eines skalaren Feldes (dem akustischen Wechseldruck), und einem Vektorfeld (der akustischen lokalen Geschwindigkeit / der sogenannten Schallschnelle). Deshalb wird die Ausbreitung von Schallwellen von den folgenden zwei Gleichungen bestimmt, die äquivalent sind:

$\nabla ^2 p - \frac{1}{{c_0 ^2 }}\frac{{\partial ^2 p}}{{\partial x^2 }} = 0$ ; $\nabla ^2 \underline v - \frac{1}{{c_0 ^2 }}\frac{{\partial ^2 \underline v }}{{\partial x^2 }} = 0$

Diese Gleichungen erhält man durch die Erhaltungsgleichungen (Masse, Impuls und Energie), die thermodynamischen Zustandsgleichungen, die das Ausbreitungsmedium (Fluid) beschreiben sowie die Gesetze ihres Verhaltens (Newtonsche Flüssigkeit, Fourier-Gesetz des Leitvermögens). Wenn die Zähigkeit und das Leitvermögen vernachlässigt werden, sehen wir, dass alle Störungen klein genug sind, um die vorhergehenden Gleichungen linearisieren zu können (zum Beispiel kann der nicht-lineare Term in der Impuls-Gleichung vernachlässigt werden). Für spezielle Fälle, bei denen der akustische Überdruck zu hoch wird (Überschallknall etc.), müssen die nicht-linearen Terme beibehalten werden und wir müssen uns mit nicht-linearer Akustik beschäftigen.

In der Ausbreitungsgleichung der Schallwellen ist $c 0$ die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Schallwelle (die nichts mit der Wechselgeschwindigkeit der Fluidschichten zu tun hat). Diese Ausbreitungsgeschwindigkeit hat die folgende Gleichung:

$c_0 = \frac{1}{{\sqrt {\rho _0 \chi _s } }}$

Hierbei ist $ρ 0$ die Dichte und $χ S$ die Kompressibilität des Ausbreitungsmediums.

[Bearbeiten] Helmholtz-Gleichung

Da das Geschwindigkeitsfeld $\underline v$ für akustische Wellen rotationsfrei ist, können wir ein akustisches Potential $Φ$ definieren durch:

$\underline v = grad\Phi$

Bei Benutzung der Ausbreitungsgleichung des vorhergehenden Paragraphs, ist es leicht die folgende neue Gleichung zu erhalten:

$\nabla ^2 \Phi - \frac{1}{{c_0 ^2 }}\frac{{\partial ^2 \Phi }}{{\partial t^2 }} = 0$

Durch Anwendung der Fouriertransformation, erhalten wir die weithin genutzte Helmholtz-Gleichung:

$\nabla ^2 \hat \Phi + k^2 \hat \Phi = 0$

wobei $k$ die Wellenzahl ist, die mit $Φ$ verbunden ist. Die Benutzung dieser Gleichung ist oft der einfachste Weg ein akustisches Problem zu lösen.

[Bearbeiten] Akustische Intensität und Dezibel-Skala

Die akustische Intensität repräsentiert den akustischen Energiefluss verbunden mit der Wellenausbreitung:

$\underline i (t) = p\underline v$

Nun können wir die durchschnittliche Intensität definieren:

$\underline I = < \underline i >$

Allerdings gibt die akustische Intensität keine gute Vorstellung vom Schallpegel, da die Empfindlichkeit unserer Ohren logarithmisch ist. Dafür definieren wir Dezibel, entweder durch Benutzung des akustischen Wechseldrucks oder der durchschnittlichen Intensität:

$p^{dB} = 20\log (\frac{p}{{p_{ref} }})$ ; $L_I = 10\log (\frac{I}{{I_{ref} }})$

wobei $p r e f = 2.10 - 5 P a$ für Luft, oder $p r e f = 10 - 6 P a$ für jedes andere Medium eingesetzt wird, und $I r e f = 10 - 12$ W/m² ist.

[Bearbeiten] Lösen der Wellengleichung

[Bearbeiten] Ebene Wellen

Wenn wir die Ausbreitung einer Schallwelle studieren, fernab von der akustischen Quelle, kann sie als ebene 1D Welle angenommen werden. Wenn die Ausbreitungsrichtung entlang der x-Achse stattfindet, ist die Lösung:

$\Phi (x,t) = f(t - \frac{x}{{c_0 }}) + g(t + \frac{x}{{c_0 }})$

wobei f und g beliebige Funktionen sein können. f beschreibt die Bewegung der Welle in Richtung positive x-Achse, wogegen g die Bewegung entgegen der x-Achse beschreibt.

Die Impuls-Gleichung liefert eine Relation zwischen $p$ und $\underline v$ , was zum folgenden Ausdruck der spezifischen Impendanz führt:

$\frac{p}{v} = Z = \pm \rho _0 c_0$

Im Fall einer ebenen Welle bekommen wir den folgenden Ausdruck für die akustische Intensität:

$\underline i = \pm \frac{{p^2 }}{{\rho _0 c_0 }}\underline {e_x }$

[Bearbeiten] Spherical waves

More generally, the waves propagates in any direction and are spherical waves. In these cases, the solution for the acoustic potential $Φ$ is:

$\Phi (r,t) = \frac{1}{r}f(t - \frac{r}{{c_0 }}) + \frac{1}{r}g(t + \frac{r}{{c_0 }})$

The fact that the potential decreases linearly while the distance to the source rises is just a consequence of the conservation of energy. For spherical waves, we can also easily calculate the specific impedance as well as the acoustic intensity.

[Bearbeiten] Boundary conditions

Concerning the boundary conditions which are used for solving the wave equation, we can distinguish two situations. If the medium is not absorptive, the boundary conditions are established using the usual equations for mechanics. But in the situation of an absorptive material, we cannot write the equations for mechanics, and therefore, we have to use the concept of acoustic impedance.

[Bearbeiten] Non-absorptive material

In that case, we get explicit boundary conditions either on stresses and on velocities at the interface. These conditions depend on whether the media are solids, inviscid or viscous fluids.

[Bearbeiten] Absorptive material

Here, we do not know the equations for mechanics in the absorptive material and thus, we have to use the acoustic impedance as the boundary condition. This impedance, which is often given by experimental measurements depends on the material, the fluid and the frequency of the sound wave.

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