Algebra 1

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Gnome-applications-office.svg Dieses Buch steht im Regal Mathematik.
Viele in der Antike aufgeworfene Probleme der Geometrie konnten erst mit der modernen Algebra befriedigend gelöst werden

[Bearbeiten] Zusammenfassung des Projekts

  • Zielgruppe:

Studenten der Mathematik und verwandter Fachrichtungen in mittleren Semestern.

  • Lernziele:

Das Buch soll die Grundlagen der (abstrakten) Algebra etwa im Umfang einer einsemestrigen Kursvorlesung vermitteln. Dabei soll das in Vorlesungen übliche Definition-Satz-Beweis-Schema nicht überstrapaziert werden.

  • Buchpatenschaft/Ansprechperson:

Kritik/Anregungen jederzeit an monoid.

  • Sind Co-Autoren gegenwärtig erwünscht?

Ja, nach Abstimmung mit dem Hauptautor.

  • Projektumfang und Abgrenzung zu anderen Wikibooks:

Inwieweit das Projekt nicht zu ambitioniert ist, wird sich noch zeigen. Ein vergleichbares Wikibuch findet man beispielsweise hier.

  • Themenbeschreibung:

Gruppen, Ringe, Körper (-Erweiterungen), Galoistheorie, Anwendungen.

  • Aufbau des Buches:

Eine gewisse Vertrautheit mit Begriffen wie Menge, Abbildung etc. wird vorausgesetzt. Wir starten daher mit den Grundlagen der Gruppentheorie: Homomorphismen, Normalteiler, Faktorgruppen, Isomorphiesätze, Kompositionsreihen, Sylow-Sätze, einfache Gruppen, Symmetriegruppen. Es folgt relativ analog dazu die elementare Theorie kommutativer Ringe: Ideale, Faktorringe, Polynomringe, Irreduzibilität, Lemmatas von Gauss, Eisenstein etc. Dies führt zu den (algebraischen) Körpererweiterungen: Körper, transzendente und (endliche) algebraische Erweiterungen, Normalität, Separabilität, Zerfällungskörper, algebraischer Abschluss. Alles fließt schließlich zusammen in der Galoistheorie: Galoiserweiterungen, Körperautomorphismen, Hauptsatz. Als Anwendungen könnte man einige klassische Probleme der konstruktiven Geometrie behandeln: Dreiteilung des Winkels, Quadratur des Kreises, Lösung von Polynomen durch Radikale etc.

Für eine eventuelle Fortsetzung würden sich dann die Bewertungstheorie, lokale Körper, unendliche Galoistheorie, Darstellungstheorie endlicher Gruppen und eine Vertiefung der Ringtheorie anbieten. Das steht alles noch in den Sternen, ist aber nicht undenkbar.

Inhaltsverzeichnis


[Bearbeiten] Einleitung

LiebeR LeserIn,

schön, dass Du dich für Mathematik interessierst und deinen Weg hierher gefunden hast. Das vorliegende Buch soll nicht als Einführung in die universitäre Mathematik dienen. Im Gegenteil: Die Quantorensprache, Mengen und der Abbildungsbegriff werden vorausgesetzt. Mehr aber auch nicht. Soll heißen, wer sich die entsprechenden Grundlagen beispielsweise hier anliest, sollte gut zurechtkommen.

Teilweise können Vorkenntnisse in Linearer Algebra die eine oder andere Definition mit Leben füllen und wir werden uns bei Beispielen großzügig aus diesem Fundus bedienen.

[Bearbeiten] Gruppen

Im vergangenen Jahrhundert entwickelte sich die Algebra zu einer Teildisziplin der Mathematik, die, grob gesprochen, "Mengen mit Struktur" untersucht. Gruppen, Ringe, Körper, Vektorräume, all' dies sind Beispiele für Sammlungen von Objekten, für die man eine solche abstrakte Strukturtheorie sehr lohnenswert betreiben kann. Man ist dabei bestrebt, aus wenigen Grundannahmen über die Eigenschaften eines Objekts möglichst viel abzuleiten. Wir werden im Folgenden sehen, dass beispielsweise die ganzen Zahlen mit der natürlichen Addition eine Gruppe bilden. Alles, was man abstrakt über Gruppen hergeleitet hat, gilt damit für die ganzen Zahlen. Der Vorteil liegt auf der Hand: Tragen mehrere interessante Objekte eine ähnliche Struktur, so kann man alle diese gleichzeitig untersuchen.

Mit diesen Vorüberlegungen ist klar, wieso man möglichst wenig Eigenschaften voraussetzen will. Die Theorie ist dann auf eine größere Kollektion von Objekten anwendbar.

[Bearbeiten] Definition

Eine Gruppe ist ein Paar (G,\circ) aus einer nicht-leeren Menge G und einer Abbildung \circ: G \times G \rightarrow G, die den folgenden Bedingungen genügt:

(G1) Existenz eines Linksneutralen Elementes: \exists e \in G ~ \forall g \in G: e \circ g = g
(G2) Existenz Linksinverser Elemente: \forall g \in G ~ \exists g' \in G: g \circ g' = e
(G3) Assoziativität: \forall g,h,i \in G: (g\circ h) \circ i = g \circ ( h \circ i)

Gilt außerdem

(G4) Kommutativität \forall g,h\in G: g\circ h= h\circ g

so heißt die Gruppe abelsch [1] oder auch einfach kommutativ.


Zur Notation: Man schreibt g \circ h statt korrekt \circ(g,h). Eine Notation, die bereits aus der Schule bekannt sein sollte. Statt von der Gruppe (G,\circ) spricht man auch kurz einfach von G, wenn klar ist, welche Abbildung \circ gemeint ist. Es hat sich in der Literatur durchgesetzt die zu einer Gruppe gehörige Abbildung (Gruppen-)Multiplikation zu nennen und kurz gh oder g\cdot h statt g\circ h zu schreiben. Abelsche Gruppen werden (fast) immer additiv geschrieben: Die Verknüpfung heißt Addition und man schreibt g + h statt g\circ h.

Unter den gemachten Voraussetzungen können wir für eine (nicht notwendig kommutative) Gruppe bereits einige Eigenschaften zeigen.

  1. Linksinverse sind rechtsinverse: Sei g \in G beliebig mit einem Linksinversem g' . Dann gilt g' \cdot g \dot g' = e\cdot g' = g'. Multipliziert man die Gleichung mit dem Linksinversen von g' durch, so erhält man g \cdot g' = e , also die Behauptung.
  2. Linksneutrale sind rechtsneutral: Sei g \in G beliebig mit einem Inversem g' und e \in G linksneutral. Dann gilt g= e\cdot g= (g \cdot g') \cdot g= g \cdot (g' \cdot g)= g \cdot e und damit die Behauptung.
  3. Das Neutrale Element ist eindeutig: Seien e, e' \in G neutrale Elemente. Dann gilt e=e\cdot e'=e'.
  4. Die Inversen sind eindeutig: Sei g \in G beliebig mit Inversen g' und h' , sowie e \in G das neutrale Element. Dann ist g'= e\cdot g'= (g'' \cdot g) \cdot g'= g'' \cdot (g \cdot g')=g''.

Für multiplikativ notierte Gruppen schreiben wir für das Inverse von g wie gewohnt g − 1; in additiv notierten Gruppen {-} g. Wegen dem Assoziativgesetz können wir in Zukunft die umständlichen Klammerungen fortlassen. Sie ändern am Ergebnis nichts.

Beispiele:

  • Die ganzen Zahlen mit der gewöhnlichen Addition: (\Z,+)
  • Die rationalen und reellen Zahlen mit der Addition: (\Q,+) bzw. (\R,+)
  • Die rationalen und reellen Zahlen ohne Null mit der Multiplikation: (\Q^{\times},\cdot) bzw. (\R^{\times},\cdot)
  • Die sog. trivialen Gruppen ({0},+)\ und ({1},\cdot)

Ist für eine Gruppe (G,\circ) die Menge G endlich, so nennt man ihre Elementanzahl, geschrieben | G | , die Ordnung der Gruppe.

Übungen:

  • Präzisiere die Eigenschaften G1-G3, die jeweils in den Beweisen der Eigenschaften 1.-4. verwendet wurden.
  • Was ist in den Beispielen jeweils neutrales Element? Was ist Inverses zu einem gegebenem Element g?
  • Zeige die Rechenregeln: (g\cdot h)^{-1}=h^{-1}\cdot g^{-1} und \ (g^{-1})^{-1}=g für alle g,h aus einer Gruppe.

[Bearbeiten] Untergruppen, Normalteiler

Es liegt nahe bei einer gegebenen Gruppe (G,\circ) die Verknüpfung auf Teilmengen einzuschränken:

Definition (Untergruppe)
Sei (G,\circ) Gruppe, H\subseteq G unter \circ abgeschlossene[2], nichtleere Teilmenge. H heißt Untergruppe von G, wenn gilt: \forall g,h\in H: g\circ h^{-1}\in H. Man schreibt auch einfach H\leq G, wenn H eine Untergruppe von G ist.


Wegen g\in H\Rightarrow g\circ g^{-1}=e\in H \Rightarrow e\circ g^{-1}=g^{-1} \in H ist H selber Gruppe. Des weiteren sind \{e\}\ und G sind immer Unterguppen von G. Ist g\in G, so heißt \langle g \rangle := \lbrace g^{n}=g\circ g\circ \dots \circ g|n\in \Z\rbrace die von g erzeugte zyklische Unterguppe. Hier ist natürlich g^{0}=e , g^{-n}=(g^{-1})^{n}\ für n\in \mathbb{N}.

Definition (Nebenklasse)
Ist H\leq G Untergruppe in G, g\in G beliebig, so nennen wir gH:=\{gh|h\in H\} die Linksnebenklasse von g nach H. Die Gesamtheit aller Linksnebenklassen bezeichnen wir mit \ G/H. Völlig analog definiert man die Rechtsnebenklasse Hg=\{hg|h\in H\} und die Menge der Rechtsnebenklassen \ H\backslash G von G nach H.


Führt man zu gegebener Untergruppe H\leq G die Äquivalenzrelation \forall a,b \in G: a \sim_H b \Leftrightarrow a^{-1}\cdot b\in H ein, so sind die Äquivalenzklassen \ G /\sim_H gerade die Linksnebenklassen \ G/H, denn aH=\{ah|h\in H\}=\{g\in G|\exists h\in H:g=ah\}=\{g\in G|\exists h\in H: a^{-1}g=h\} und das ist gerade die Äquivalenzklasse von a bezüglich ˜H . Da die Äquivalenzklassen zu einer gegebenen Relation eine Partition der Menge bilden, besteht G folglich aus der disjunkten Vereinigung der Nebenklassen bezüglich einer Unterguppe H.

Folgende Eigenschaften sind für eine Untergruppe H\leq G äquivalent:

  1. gH=Hg, \forall g\in G
  2. gHg^{-1}=H, \forall g\in G
  3. Links- und Rechtsnebenklassen von G bezüglich ˜H stimmen überein.

1. \Leftrightarrow 2. ist klar und 1. \Leftrightarrow 3. folgt aus der vorangehenden Bemerkung.

Definition(Normalteiler)
Eine Untergruppe N\leq G, die eine und damit alle der Eigenschaften 1., 2. oder 3. erfüllt, heißt Normalteiler von G.

\ \{e\} und G sind offenbar immer Normalteiler von G. In abelschen Gruppen ist jede Untergruppe ein Normalteiler.

[Bearbeiten] Ringe

[Bearbeiten] Körper

[Bearbeiten] Körpererweiterungen

[Bearbeiten] Galoistheorie

[Bearbeiten] Anwendungen

  1. ↑ nach Niels Hendrik Abel, 1802-1829
  2. ↑ D.h. h\circ h' \in H , \forall h,h'\in H
Qsicon Fokus2.svg Dieses Lehrbuch ist erst vor kurzem angelegt worden und steht in den ersten Wochen unter begleitender Beobachtung. Das soll den Autor motivieren, sich weiterhin zu engagieren. Nützliche Hinweise findest du im Wikibooks-Lehrbuch. Bei technischen Problemen kannst Du hier Hilfe erhalten. Wie mit/bei neuen Buchprojekten zu verfahren ist, kannst Du unter Wikibooks:Qualitätsmanagement/ Buchkandidat erfahren. Diskussionen zu diesem Buch führst Du auf dieser Seite. (20081111)
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