Analysis: Einführung in die Integralrechnung

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Die Idee der Integralrechnung ist es, ganz allgemein krummlinig begrenzte Flächen zu berechnen, also etwa die Fläche zwischen dem Graph einer Funktion und der x-Achse.

Wir vereinbaren folgende Notation:

$\int\limits_a^b f(x)\,\mathrm dx$

ist das bestimmte Integral der Funktion f nach [der Variablen] x [in den Grenzen] von a bis b. Es soll den Flächeninhalt zwischen Kurve und Achse wie in der Abb. oben S bezeichnen. Genauer gesagt handelt es sich hierbei um ein Riemann-Integral (nach B. Riemann), da es auch noch verallgemeinerte Integralbegriffe gibt.

Die Integralrechnung beschäftigt sich mit der Berechnung solcher Integrale.

Inhaltsverzeichnis

1 Geometrische Aspekte des Integrals
- 1.1 Beispiel
  - 1.1.1 Allgemeiner Ansatz
- 1.2 Definition
2 Eigenschaften des bestimmten Integrals
3 Bestimmung eines Integrals nach dem Hauptsatz der Analysis
4 Beispiel einer nicht (riemann-)integrierbaren Funktion
5 Ausblick
- 5.1 Anwendungen

[Bearbeiten] Geometrische Aspekte des Integrals

Um nun einem Integral systematisch "zu Fläche zu rücken", nähert man es durch sog. Ober- und Untersummen immer genauer an.

[Bearbeiten] Beispiel

Gesucht ist der Flächeninhalt zwischen einer Normalparabel und der x-Achse zwischen x=0 und 1, also

$\int_0^1 x^2\,\mathrm dx.$

Die vierten Ober- und Untersummen graphisch dargestellt:

4. Untersumme

4. Obersumme

Die Flächen der Rechtecke lassen sich nun einfach berechnen, sodass wir eine obere und eine untere Schranke für den Flächeninhalt haben:

$\int_0^1 x^2\mathrm dx$	$>R_1\,$	$+R_2\,$	$+R_3\,$	$+R_4\,$
	$=\frac14\cdot0^2$	$+\frac14\cdot\left(\frac14\right)^2$	$+\frac14\cdot\left(\frac24\right)^2$	$+\frac14\cdot\left(\frac34\right)^2,\qquad\text{denn jedes Rechteck ist }\tfrac14\text{ lang und so hoch}$
	$= 0{,}21875\,$

Analog lässt sich die Obersumme berechnen:

$\int_0^1 x^2\mathrm dx$	$<R_1\,$	$+R_2\,$	$+R_3\,$	$+R_4\,$
	$+\frac14\cdot\left(\frac14\right)^2$	$+\frac14\cdot\left(\frac24\right)^2$	$+\frac14\cdot\left(\frac34\right)^2$	$+\frac14\cdot\left(\frac44\right)^2$
	$= 0{,}46875\,$

Damit gilt:

$0{,}21875<\int_1^2 x^2\mathrm dx< 0{,}46875$

[Bearbeiten] Allgemeiner Ansatz

Hier erhält man allgemein für die n-te Untersumme $U n$ :

$U_n=\frac1n\cdot0^2+\frac1n\cdot\left(\frac1n\right)^2+\frac1n\left(\frac2n\right)^2+\frac1n\cdot\left(\frac3n\right)^2+\cdots+\frac1n\cdot\left(\frac{n-1}n\right)^2$

und die n-te Obersumme $O n$ :

$O_n=\frac1n\cdot\left(\frac1n\right)^2+\frac1n\left(\frac2n\right)^2+\frac1n\cdot\left(\frac3n\right)^2+\cdots+\frac1n\cdot\left(\frac nn\right)^2$

Um nun zu dem exakten Wert des Integrals zu kommen, definiert man formal

$\int_1^2x^2\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}U_n=\lim_{n\to\infty}O_n$

falls diese gleich sind.

Wir führen dies einmal für die Obersummen durch:

$\left.O_n=\frac1n\cdot\left(\frac1n\right)^2+\frac1n\left(\frac2n\right)^2+\frac1n\cdot\left(\frac3n\right)^2+\cdots+\frac1n\cdot\left(\frac nn\right)^2\qquad \right|\text{ klammere }\tfrac1n\text{ aus, quadriere die }\mathrm{Br\ddot uche}$

$=\left.\frac1n\left[\frac{1^2}{n^2}+\frac{2^2}{n^2}+\frac{3^2}{n^2}+\cdots\frac{n^2}{n^2}\right]\qquad\qquad\qquad \right|\text{ klammere }\tfrac1{n^2}\text{ aus}$

$=\frac1n\left[\frac1{n^2}\cdot\left(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\right)\right]\qquad\text{ mit }1^2+2^2+3^2+...+n^2=\tfrac16n(n+1)(2n+1)$

$=\left.\frac1n\left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^2}\right]\qquad\qquad\qquad\right|\text{ Klammer weg, }\tfrac1n\text{ hebt sich auf}$

$=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$

$=\frac{2n^2+3n+1}{6n^2}$

$=\frac{2n^2}{6n^2}+\frac{3n}{6n^2}+\frac1{6n^2}$

$=\frac13+\frac1{2n}+\frac1{6n^2}$

Davon lässt sich nun der Grenzwert bilden:

$\lim_{n\to\infty} O_n=\lim_{n\to\infty} \frac13+\frac1{2n}+\frac1{6n^2}=\frac13.$

Für die Untersummen erhält man

$U_n=O_n-\frac1n\cdot1^2$

und damit analog ebenfalls

$\lim_{n\to\infty}U_n=\frac13.$

Damit ist:

$\int\limits_0^1x^2\mathrm dx=\frac13.$

[Bearbeiten] Definition

$\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}U_n(x)=\sum_{i=1}^nf(x_{i-1})\Delta x_i=\lim_{n\to\infty}O_n(x)=\sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x_i$
heißt bestimmtes Integral von f über [a,b].

Die $Δ x$ sind die Längen der Rechtecke, falls sie – wie bei uns – stets gleich sind, lässt sich $\Delta x=\tfrac{b-a}n$ schreiben.

Man nennt $f$ Integrand und $a, b$ die obere bzw. untere Integrationsgrenze.

[Bearbeiten] Eigenschaften des bestimmten Integrals

Sind die Integrationsgrenzen gleich, erhält man eine „flächenlose“ Strecke:

$\int\limits_a^a f(x)\mathrm dx=0$

Intervalladditivität ( $a\le b\le c$ ):

$\int\limits_a^cf(x)\mathrm dx=\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx+\int\limits_b^cf(x)\mathrm dx$

Durch Verdopplung der Funktion werden alle Rechtecke doppelt so groß, allgemein:

$\int\limits_a^bk\cdot f(x)\mathrm dx=k\cdot\int\limits_a^bf(x)\mathrm dx$

Addition der Funktionen ergibt Addition der Integralwerte:

$\int\limits_a^b(f(x)+g(x))\mathrm dx=\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx+\int\limits_a^b g(x)\mathrm dx$

[Bearbeiten] Bestimmung eines Integrals nach dem Hauptsatz der Analysis

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung führt die Berechnung eines bestimmten Integrals zurück auf das Finden der Stammfunktion von $f$ , also derjenigen Funktion $F (x)$ , deren Ableitung $F'(x)$ gleich $f$ ist:

$\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=F(b)-F(a):=F(x)\Big|_a^b$

wobei $F(x)=\int f(x)\mathrm dx$ die Stammfunktion von f ist.

[Bearbeiten] Beispiel einer nicht (riemann-)integrierbaren Funktion

An dieser Stelle sei noch ein Beispiel für eine nicht (in diesem, riemannschen Sinne) integrierbare Funktion gegeben:

$f(x)=\begin{cases}1&\text{ wenn }x\text{ irrational}\\0&\text{ wenn }x\text{ rational}\end{cases}$

In jedem Intervall ist der kleinste Wert 0, da in jedem Intervall eine rationale Zahl liegt; damit ist jede Untersumme 0. Gleichzeitig ist in jedem Intervall der größte Wert 1, womit jede Obersumme 1 ist.

[Bearbeiten] Ausblick

Wie die Mathematikweisheit "Das Differenzieren ist ein Handwerk, das Integrieren eine Kunst" bereits feststellt, gibt es kein allgemeines Verfahren zur (exakten) Bestimmung eines Integrals, also insbesondere der Stammfunktion. Es gibt Verfahren, wie etwa die partielle Integration oder Substitution, mit denen man – allerdings auch nur mit einem guten "mathematischen Auge" – zum Integral findet. Genaueres siehe Analysis: Integrationsregeln, Stammfunktion.

Weitere Integralbegriffe sind etwa das Lebesgue-Integral und das Stieltjes-Integral.

[Bearbeiten] Anwendungen

Hauptartikel Analysis: Integralrechnung: Anwendungen

Analysis: Einführung in die Integralrechnung

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[Bearbeiten] Beispiel

[Bearbeiten] Allgemeiner Ansatz

[Bearbeiten] Definition

[Bearbeiten] Eigenschaften des bestimmten Integrals

[Bearbeiten] Bestimmung eines Integrals nach dem Hauptsatz der Analysis

[Bearbeiten] Beispiel einer nicht (riemann-)integrierbaren Funktion

[Bearbeiten] Ausblick

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