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Sammlung zeigen (0 Wikiseiten)
Seiten vorschlagenAnalysis: Metrik und Topologie: Metrische Räume
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[Bearbeiten] Metrik
Definition: Sei X eine beliebige Menge und 
eine Abbildung. 
heißt metrischer Raum, wenn gilt:
| Positivität: |  |
 |
| Symmetrie: | |
 |
| Dreiecksungleichung: |  |
 |
heißt dann Abstand von x und y, 
heißt offener Ball um x mit Radius 
.
[Bearbeiten] Induzierte Topologie
Jeder metrische Raum lässt sich vermöge der induzierten Topologie 
auch als topologischer Raum auffassen. Dann sind die offenen Mengen genau diejenigen, die nur Punkte enthalten, um die offene Bälle mit positivem Radius existieren, die vollständig in der fraglichen Menge liegen.
Umgekehrt lässt sich aber nicht zu jedem topologischen Raum ein passender metrischer Raum finden: Es gibt nicht metrisierbare topologische Räume, denn jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum; zu je zwei verschiedenen Punkten x,y bilden die offenen Bälle um x und y mit Radius 
zwei disjunkte Umgebungen.
Offene Bälle 
in metrischen Räumen sind tatsächlich auch im topologischen Sinne offene Mengen, denn da jeder ihrer Punkte p zum Mittelpunkt einen Abstand 
hat und somit der Ball 
jeweils ganz in liegt, sind sie Elemente der induzierten Topologie.
[Bearbeiten] Beispiele
- Die Abbildung, die zwei verschiedenen Punkten immer 1 und zwei identischen Punkten immer 0 zuordnet, ist eine Metrik. Sie heißt diskrete Metrik und induziert die diskrete Topologie. (Eine Metrik, die die indiskrete Topologie induziert, gibt es natürlich im Allgemeinen nicht, da metrische Räume immer Hausdorffsch sind.)
ist die euklidische Metrik. Wenn wir etwa die reellen Zahlen als metrischen Raum auffassen, verwenden wir üblicherweise implizit diese Metrik.
