Astronomische Berechnungen für Amateure/ Druckversion/ Himmelsmechanik

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Von geozentrisch zu heliozentrisch[Bearbeiten]

Im zweiten Jahrhundert nach Christus formulierte der griechische Gelehrte Claudius Ptolemaeus (um 100 n.Chr. – um 175 n.Chr.) das geozentrische Weltbild: die Erde steht im Zentrum des Weltalls. Sonne, Mond, die Planeten Merkur, Venus, Mars, Jupiter und Saturn sowie die Fixsterne umkreisen die Erde. Da diese Körper zum Himmel und damit zum göttlichen Bereich gehören, ist für die Gelehrten nur die göttliche, weil perfekte Form einer Bewegung möglich, nämlich die Kreisbewegung. Aus dem gleichen Grund darf es in diesem Bereich auch keine Veränderungen geben. In der Schöpfung wurden alle Himmelskörper geschaffen. Sie werden ewig und unveränderlich bleiben, ihre Bahnen sind keinerlei Veränderungen unterworfen. Da nun aber die Bewegung der Planeten am Erdhimmel offensichtlich nicht gleichförmig erfolgt, musste eine kompliziert zusammengesetzte Bewegung postuliert werden. Danach umkreist der Planet nicht direkt die Erde. Der Mittelpunkt einer weiteren Kreisbahn – des sog. Epizykels –, auf dem sich der Planet bewegt, kreist auf einer exzentrischen Kreisbahn um die Erde. Mit dieser Epizykeltheorie gelang es den Astronomen, die komplizierten Bewegungen der Planetenschleifen zu erklären. Das gesamte Wissen über Mathematik und Astronomie seiner Zeit legte Ptolemaeus in einem 13-bändigen Werk nieder. Dieses Werk hiess ursprünglich »Hè mathematikè syntaxis« (Mathematische Zusammenstellung), später wohl wegen seines Umfangs »Hè megistè syntaxis« (Grösste bzw. sehr grosse Zusammenstellung). Wie viele andere Werke der griechischen Antike wurde sie in Europa zuerst in der arabischen Übersetzung bekannt[1] So wird das Werk denn heute meist unter seinem arabisierten Titel »Almagest« zitiert[2]. Im mathematischen Teil wurden Anleitungen zur Berechnung von Planetenpositionen vorgestellt. Ergänzend dazu publizierte Ptolemaeus die sog. »Handlichen Tafeln« (»Procheiroi kanones«), die die Berechnungen von Planetenpositionen vereinfachten. Bis ins 17. Jahrhundert galt Ptolemaeus' Werk als Standard der Wissenschaft[3].


An der Wende vom 15. zum 16. Jahrhundert griff Nikolaus Kopernikus (1473 – 1543) eine bereits vom griechischen Gelehrten Aristarchos von Samos (um 310 v.Chr. – um 230 v.Chr.) formulierte Idee wieder auf, nämlich dass die Sonne im Zentrum des Weltalls steht und alle Himmelskörper, die Erde eingeschlossen, um sie kreisen. Dieses heliozentrische Weltbild hatte den Vorteil, dass es wesentlich einfachere Rechnungen ermöglichte, aber sowohl der „gesunde Menschenverstand“ wie auch die Bibel und damit die mächtige Kirche widersprachen dieser Theorie. Sein Werk »De revolutionibus Orbium Coelestium« (etwa »Über die Umläufe der Himmelssphären«) veröffentlichte er im Todesjahr. Seine Berechnungen basierten auf neueren Ausgangsdaten, darum waren sie genauer als diejenigen von Ptolemaeus, aber nicht aufgrund der Theorie: Kopernikus blieb insofern dem aristotelisch-kirchlichen Denken verhaftet, als er Kreisbewegungen annahm. Ein Herausgeber hatte zudem vorsorglicherweise im Vorwort eingefügt, dass es nicht um die Darstellung der Realität gehe, sondern um ein vereinfachtes Rechenverfahren.


Tycho Brahe (Mitte) beim Beobachten an seinem grossen Mauerquadranten

Der dänische Adlige und Astronom Tycho Brahe (1546 – 1601) war ein aussergewöhnlicher Mensch – ein Typ Gelehrter, der erst in der kommenden Zeit der aufblühenden Naturwissenschaften zur Regel wurde: nicht theoretische Überlegungen, sondern sorgfältige Beobachtungen und unvoreingenommene Interpretation der Resultate bestimmten sein Handeln. Zwei Ereignisse zeigten ihm, dass mit der alten Theorie nicht alles seine Richtigkeit haben konnte: Im November des Jahres 1572 entdeckte er im Sternbild Kassiopeia einen Stern, der dort nicht hingehörte. Obschon er so hell war wie die Venus, konnte es kein Planet sein. Nach rund einem Jahr verschwand er wieder. Etwas Ungeheures war geschehen: in der Welt der Fixsterne, die als unveränderlich seit der Schöpfung angesehen worden war, war ein neuer Stern entstanden und wieder verschwunden[4]. Die einzigen vergänglichen Objekte am Himmel, die Kometen, waren nach damaliger Lehrmeinung Bestandteil des Raums zwischen Erde und Mond, einige hielten sie gar für atmosphärische Erscheinungen. Doch Tycho Brahe konnte beim grossen Kometen von 1577 keine Parallaxe beobachten, was nur die Feststellung zuliess, dass zumindest dieser Komet sich „weit draussen“ im Weltall aufhielt. Wenn schon diese beiden Lehrsätze nicht stimmten, war dann vielleicht das ganze ptolemäische Weltbild falsch? Tycho Brahe baute dank der Unterstützung des dänischen Königs Friedrich II. auf einer Öresundinsel zwei Sternwarten, Uranienborg und Stjerneborg, wo ihm die genausten Beobachtungsinstrumente der damaligen Zeit zur Verfügung standen[5]. Rund 21 Jahre lang sammelte er mit Studenten Beobachtungen über die Positionen von Sternen und Planeten, namentlich des Mars. Das Ziel bestand darin, auf der Basis der genauesten zur Verfügung stehenden Beobachtungsdaten eine Entscheidung über das „richtige“ Weltbild zu fällen. Er erreichte bei seinen Beobachtungen eine für damalige Verhältnisse unvorstellbare Genauigkeit von 2 Bogenminuten[6].


Portraitzeichnung Keplers

Nachdem sein Förderer Friedrich II. gestorben war, siedelte er nach Prag über, um dem deutschen Kaiser Rudolf II. als Hofmathematiker und Astrologe zu dienen. Gleichzeitig plante er, seine Beobachtungen auszuwerten und die Frage der Weltsysteme zu klären. Im Auftrag des Kaisers sollte er auch neue Tafeln berechnen, um bequem die Planetenpositionen vorhersagen zu können. Deren Vorvorgänger, die Alfonsinischen Tafeln aus dem 13. Jahrhundert, basierten noch auf der ptolemäischen Idee. Die preussischen oder prutenischen Tafeln aus dem Jahr 1551[7] fussten auf der kopernikanischen Theorie. Sie waren zwar genauer als die alfonsinischen, aber hauptsächlich darum, weil die Ausgangsdaten aktueller waren. Noch immer zeigten die Tabellen aber erhebliche Abweichungen zur Realität – bis zu 5° konnte die Differenz zwischen berechneter und beobachteter Planetenposition betragen. Tycho Brahe hoffte, auf der Basis seiner genauen Beobachtung bessere Tabellen berechnen zu können. Dazu holte er auch Johannes Kepler (1571 – 1630) nach Prag. Bevor sie sich jedoch an die Arbeit machen konnten, starb Tycho Brahe. Sein umfangreiches Beobachtungsmaterial hinterliess er Kepler, der auch sein Nachfolger als kaiserlicher Hofmathematiker und Astrologe wurde. Ihm gelang es, die wahre Gestalt der Planetenbahnen zu bestimmen, nachdem die Annahme einer Kreisbahn immer einen Restfehler geliefert hatte, der grösser war als die Ungenauigkeit in Tychos Beobachtungsdaten. Schliesslich gelang es ihm, die Beobachtungsdaten richtig zu deuten, was ihn zu den ersten beiden nach ihm benannten Gesetzen führte. Diese publizierte er ihm Jahre 1609 im Buch »Astronomia nova« (Neue Astronomie). Dabei konzentrierte er sich darauf, die Marsbahn zu verstehen, was dann den Schlüssel für alle Planetenbahnen lieferte. Sein drittes Gesetz fand er erst zehn Jahre später. Er veröffentlichte es im 1619 erschienenen Buch »Harmonices Mundi libri V« (wörtlich »Fünf Bücher zur Harmonik der Welt«, verkürzt vielfach als »Weltharmonik« zitiert). Die darauf basierenden Rudolfinischen Tafeln zur erleichterten Berechnung von Planetenpositionen erschienen erst 1627. Sie erreichten eine bis dahin ungekannte Genauigkeit und dienten fast hundert Jahre später Isaac Newton (1642 – 1727)[8] bei der Herleitung des Gravitationsgesetzes.

Portrait Galileis

Trotz dieser Erfolge stiess das kopernikanische Weltbild zunächst auf wenig Gegenliebe. Vor allem die Kirchen – katholische und protestantische – verurteilte die neue Lehre im besten Fall als Geistesverwirrung, im schlechtesten Fall als Ketzerei und Gotteslästerung. Galileo Galilei (1564 – 1642) wurde wegen der Verbreitung der kopernikanischen Lehre 1633 gar von der Inquisition zum Widerruf gezwungen und zu lebenslangem Hausarrest verurteilt. Dieses Urteil wurde erst 1992 von Papst Johannes Paul II. aufgehoben und Galilei formell rehabilitiert. Bis zur Entdeckung der Aberration von Fixsternen durch James Bradley im 18. Jahrhundert gab es allerdings kein Phänomen, das nicht auch durch eine andere als die kopernikanisch-keplersche Theorie erklärt werden konnte.

Warum dieses lange Kapitel über ein historisches Thema in einem Buch über astronomische Berechnungen? Weil es uns gerade für Berechnungen einige wichtige Einsichten vermittelt:

  • Rechnungen und theoretische Herleitungen sind wichtig – ihr Prüfstein ist aber die Übereinstimmung von Rechnung und Beobachtung. Der erste, der dies mit grosser Konsequenz umsetzte, war Tycho Brahe.
  • Mit dem Fortschreiten der Messgenauigkeit müssen sich auch die mathematischen Modelle entwickeln. Dadurch werden die früheren Berechnungen in der Regel nicht einfach falsch, aber ihr Anwendungsbereich wird stark eingeschränkt. In diesem Buch machen wir davon immer wieder Gebrauch, wenn wir etwa formulieren: „… für die Belange des Amateurastronomen genügen …“.
  • Trotz der so genannten kopernikanischen Revolution ist vor allem die Alltagssprache, teilweise aber auch die wissenschaftliche Sprache noch stark vom geozentrischen Weltbild durchsetzt: wir sprechen davon, dass „Himmelskörper im Osten auf- und im Westen untergehen“, dass sie „im Meridian kulminieren“. Oder dass die Planeten „Schleifen vor den Hintergrundsternen beschreiben“. Angesichts solcher Sprachrelikte, die mit entsprechenden Bildern verknüpft und tief in uns verwurzelt sind, sollten wir nicht allzu überheblich auf Kopernikus', Keplers und Galileis Zeitgenossen herabschauen, die in den neuen Lehren eine Beleidigung des gesunden Menschenverstandes sahen.



Übungen

  • Setzen Sie sich im Internet über die Funktionsweise von Jakobsstab, Quadrant, Sextant, Astrolabium und Armillarsphäre in Kenntnis. Schauen Sie, wie man mit Hilfe eines Nonius die Ablesegenauigkeit verbessern kann.
  • Tycho Brahe erreichte eine Genauigkeit von 2', so steht im voranstehenden Text. Um diese Genauigkeit noch besser zu würdigen führen Sie folgende Rechnung aus: nehmen Sie an, die Skalenstriche auf einem Quadranten hätten einen Abstand von 1 mm. Dies soll Wertabständen von 1° / 20' / 10' / 2' entsprechen. Welchen Radius müsste der Quadrant in diesen Fällen jeweils aufweisen?



Nachweise:

  1. Eine griechische Fassung wurde erst im 12. Jahrhundert bekannt; fast gleichzeitig wurden die arabische und die griechische Version dann ins Lateinische übersetzt, also in die in Europa gebräuchliche Sprache der Gelehrten.
  2. Durch Voranstellen des arabischen Artikels Al vor das Adjektiv Megiste wurde Al Megiste, meist als al-Majisti transkribiert, was schliesslich zu Almagest wurde.
  3. Eine Würdigung von Ptolemaeus' Werk findet sich in einer Webpublikation der Universität Bern.
  4. Heute wissen wir, dass die sog. Supernova 1572 das Endstadium eines Sterns markierte. Bereits 1604 erschien im Sternbild Schlangenträger (Ophiuchus) eine weitere Supernova, die ausführlich von Kepler beschrieben wurde.
  5. Das Fernrohr wurde vom deutsch-niederländischen Brillenmacher Hans Lipper[s]hey (um 1570 – 1619) erst 1608, also nach Tycho's Tod, erfunden.
  6. Ein weiterer Hinweis auf die Genauigkeit seiner Beobachtungen: allein mit Hilfe von Visierung gelang es ihm, die Länge des Jahres zu 365d 5h 48m 45s zu bestimmen – wir geben heute dafür bezogen auf die Standardepoche J2000 365d 5h 48m 45.261s an!
  7. Diese Tafeln dienten den Wissenschaftern als Grundlage für die gregorianische Kalenderreform von 1582.
  8. In England galt bei Newtons Geburt noch der julianische Kalender, darum war sein Geburtsdatum der 25. Dezember 1642 [alten Stils], was im gregorianischen Kalender dem 4. Januar 1643 entsprach.

Keplergesetze[Bearbeiten]

Tycho Brahe war der praktisch begabte Beobachter. Als es darum ging, das Datenmaterial mit fundierten mathematischen Kenntnissen auszuwerten, benötigte er Hilfe. Das war einer der Gründe, warum er Johannes Kepler nach Prag einlud. Nach Tychos Tod brauchte Kepler mehrere Jahre, bis er schliesslich anhand der Marsdaten die Zusammenhänge fand. Das Resultat wird heute als die drei Keplergesetze zitiert:

 1. Keplergesetz:
 Die Bahnen der Planeten sind Ellipsen, in deren einem 
 Brennpunkt die Sonne steht.
 
 2. Keplergesetz:
 Der von der Sonne zum Planeten gezogene Vektor überstreicht 
 in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
 
 3. Keplergesetz:
 Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie 
 die dritten Potenzen ihrer grossen Bahnhalbachsen:
 
 T_1^2 \; : \; T_2^2 \quad = \quad a_1^3 \; : \; a_2^3 

     \Leftrightarrow \qquad T_1^2 \; : \; a_1^3 \quad = \quad T_2^2 \; : \; a_2^3 \quad = \quad \text{konst} 


Die Bedeutung der drei Gesetze:

  • Das erste Keplergesetz klärt die Frage der Bahnform. Dabei bricht es mit zwei Lehrmeinungen des Ptolemaeus: das keplersche Weltbild ist heliozentrisch, und es bricht mit der Tradition, dass himmlische Bewegungen „perfekt“ im theologischen Sinne, also kreisförmig sein müssen. Faktisch ist aber die Abweichung der Bahnform vom Kreis bei den grossen Planeten gering, hingegen ist die „Verschiebung“ der Sonne aus dem Mittelpunkt der Bahn deutlich. In der ersten Näherung kann man die Planetenbahnen als exzentrische Kreise beschreiben[1].


Beispiel: Bei der Erde beträgt der Unterschied zwischen grosser und kleiner Halbachse nur knapp 21 000 km, aber die Sonne ist um rund 2.5 Millionen km aus dem Zentrum der Bahn verschoben. Die Erde hat im Perihel, dem sonnennächsten Punkt ihrer Bahn – den sie anfangs Januar erreicht – einen Abstand von rund 147.1 Millionen km zur Sonne. Im Aphel, dem sonnenfernsten Punkt ihrer Bahn – den sie anfangs Juli erreicht – hat die Erde einen Abstand von rund 152.1 Millionen km zur Sonne[2].


  • Das zweite Keplergesetz klärt die Art der Bewegung: in Perihelnähe bewegt sich ein Planet schneller als in Aphelnähe. Auf die Erde übertragen bedeutet dies: das Winterhalbjahr der Nordhalbkugel, das vom 23. September bis 21. März dauert, ist kürzer als das Sommerhalbjahr. Der Unterschied macht rund 7 Tage aus.


  • Das dritte Keplergesetz kann in seiner Bedeutung nicht hoch genug eingeschätzt werden. Die Umlaufzeiten können verhältnismässig leicht bestimmt werden. Die Abstände sind hingegen nur mit grossem Aufwand zu bestimmen. Das dritte Keplergesetz bietet nun aber die Möglichkeit, wenigstens das Verhältnis der Bahnhalbachsen allein aus den Umlaufzeiten zu berechnen. Dazu setzt man die grosse Bahnhalbachse der Erdbahn zu a = 1 AE. Vor diesem Hintergrund erklären sich die grossen Anstrengungen, eine Distanz im Sonnensystem durch Triangulation möglichst genau zu bestimmen. Dadurch wird dann der absolute Massstab im Sonnensystem festgelegt.


Nach der Erfindung des Fernrohrs durch Hans Lipper[s]hey (um 1570 – 1619) und seine Verbesserung durch Galilei und Kepler wurden nach und nach bei verschiedenen Planeten Mondsysteme entdeckt. Die Beobachtungen zeigten, dass die drei Keplergesetze auch für deren Bewegung gelten. Anstelle von „Sonne“ steht einfach „der umlaufene Planet“. Ausserdem hat die Konstante des 3. Keplergesetzes für jeden Planeten mit seinem Mondsystem einen anderen Wert.



Übungen

  • Welchen Wert hat die Konstante des dritten Keplergesetzes für das Sonnensystem? Überprüfen Sie den Wert anhand der Daten für Merkur, Venus, Erde und Mars aus dem Anhang.
  • Die Titius-Bode'sche Reihe sagte im 18. Jahrhundert im Abstand von rund 2.8 AU einen Planeten voraus – welche Umlaufzeit müsste dieser Planet haben? Welcher Himmelskörper erfüllt die Bedingungen?
  • Der Zwergplanet Eris aus der Gruppe der Plutoiden hat eine Umlaufzeit von 556.97 a um die Sonne. Wie gross ist die grosse Halbachse ihrer Umlaufbahn?
  • Zeigen Sie, dass für die vier Galileischen Monde des Jupiters das dritte Keplergesetz erfüllt ist. Welchen Wert hat die Konstante?
  • Welchen Abstand hat ein geostationärer Satellit vom Erdzentrum?



Nachweise:

  1. Das gilt aber nicht für die Mehrzahl der Kometen und Asteroiden.
  2. Der Abstand Erde – Sonne kann offensichtlich nicht die Ursache der Jahreszeiten sein, wenn ihr Abstand zur Sonne dann am kleinsten ist, wenn auf der Nordhalbkugel die kälteste Jahreszeit herrscht.

Ellipsengeometrie[Bearbeiten]

Für das weitere Vorgehen benötigen wir immer wieder Eigenschaften der Ellipse. Wir tragen darum in diesem Kapitel einiges über die Geometrie von Ellipsen zusammen.



Definition[Bearbeiten]

Erste Definition:

 Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte P, für die 
 die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten F1 und F2 konstant ist:
    \overline{F_1 P} \; + \; \overline{F_2 P} \quad = \quad \text{konst} \quad = \quad 2 a  

Die beiden Punkte F1 und F2 heissen die Brennpunkte der Ellipse. Die sog. Gärtnerkonstruktion nutzt direkt diese Definition: man schlägt in den beiden Brennpunkten je einen Pflock ein (auf Papier: man steckt eine Nadel ein) und legt darum herum eine geschlossene Schnur (oder einen Faden) der Länge  \overline{F_1 F_2} + 2 a . Spannt man die Schnur mit einem weiteren Pflock (oder mit einem Bleistift) und fährt bei immer gestreckter Schnur rund herum, so beschreibt die Pflock- oder Bleistiftspitze eine Ellipse. Gärtner konstruieren auf diese Weise ein elliptisches Gartenbeet, von daher hat die Konstruktion ihren Namen.


Eine Ellipse kann aber noch anders definiert werden (zweite Definition):

 Eine Ellipse ist das affine Bild eines Kreises.


Im einfachsten Fall bedeutet dies: wenn ein x-y-Koordinatensystem durch den Mittelpunkt des Kreises gelegt wird, so werden die Werte der x-Koordinaten unverändert belassen, während die Werte der y-Koordinaten in einem konstanten Verhältnis 1 – f gestaucht oder gestreckt werden. Für die konstruktive Darstellung einer Ellipse am Bildschirm eines PC ist diese Definition geeigneter als die Gärtnerkonstruktion.


Bezeichnungen[Bearbeiten]

Verhältnisse an einer Ellipse

Die zwei Punkte S1 und S2, die vom Mittelpunkt M den grössten Abstand haben, heissen die beiden Hauptscheitel der Ellipse, und die Gerade S1S2 heisst die Hauptachse. Die Strecke  \overline{MS_1} = \overline{MS_2} = a heisst grosse Halbachse. Analog heissen die beiden Punkte S3 und S4, die von M den kleinsten Abstand haben, die Nebenscheitel der Ellipse, und die Gerade S3S4 heisst die Nebenachse. Die Strecke  \overline{MS_3} = \overline{MS_4} = b  heisst kleine Halbachse. Die Strecke  \overline{MF_1} = \overline{MF_2} = e heisst lineare Exzentrizität. Sie misst, um wieviel ein Brennpunkt aus der Mitte der Ellipse verschoben ist.

Die in der ersten Definition auftretende Konstante 2a ist tatsächlich das Doppelte der grossen Halbachse a. Dazu betrachten wir den Fall, dass P = S1 ist. Dann gilt:

 \overline{F_1 S_1} \; + \; \overline{F_2 S_1} \quad = \quad (a - e) \; + \; (a + e) \quad = \quad 2 a

Zwischen gosser und kleiner Halbachse und linearer Exzentrizität gilt aufgrund des Satzes von Pythagoras die Beziehung:

 a^2 \quad = \quad b^2 \;  + \; e^2 \qquad \Leftrightarrow \qquad b \quad = \quad \sqrt{a^2 \; - \; e^2}

Die Länge einer halben Sehne, durch einen Brennpunkt gezogen, senkrecht zur Hauptachse heisst Parameter p der Ellipse. Ferner definiert man die numerische Exzentrizität ε[1] einer Ellipse als

 \varepsilon \quad = \quad \frac{e}{a} \quad = \quad \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} \quad = \quad \sqrt{1 \; - \; \left( \frac{b}{a} \right) ^2}


Damit gilt für den Parameter p:

p \quad = \quad a \cdot (1 \; - \; \varepsilon^2) \quad = \quad \frac{b^2}{a}


Der Stauchungsfaktor 1 – f der affinen Abbildung hängt wie folgt mit den definierten Grössen zusammen:

1 \; - \; f \quad = \quad \frac{b}{a} \quad = \quad \frac{\sqrt{a^2 - e^2}}{a} \quad = \quad \frac{\sqrt{a^2 \cdot (1 - \varepsilon^2)}}{a} \quad = \quad \sqrt{1 \; - \; \varepsilon^2}
\Leftrightarrow \qquad f \quad = \quad \frac{a - b}{a}


Daraus findet man sofort die folgenden Beziehungen, die schon im Kapitel über „Koordinaten auf der Erde“ angegeben wurden (wo f „Abplattung“ hiess):

 (1 \; - \; f)^2 \quad = \quad 1 \; - \; \varepsilon^2\qquad \Leftrightarrow \qquad \varepsilon \quad = \quad \sqrt{f \; - \; f^2}


Eigenschaften einer Ellipse[Bearbeiten]

Brennstrahlen, die von einem Brennpunkt ausgehen, werden in den zweiten Brennpunkt reflektiert

Die Ellipse ist eine ebene Figur, dh. selbst wenn die Ellipse im Raum steht, kann man eine Ebene finden, so dass die Ellipse vollständig in dieser Ebene liegt.

Da für jede Ellipse  \overline{MF_1} = \overline{MF_2} = e < a  gilt, folgt mit der Definition der numerischen Exzentrizität ε sofort: 0 ≤ ε < 1. Der Fall ε = 0 ist der Spezialfall des Kreises.

Die Strecke von einem Brennpunkt zu einem beliebigen Punkt P auf der Ellipse heisst Brennlinie. Betrachten wir einen beliebigen Punkt P auf der Ellipse. Dann bilden die beiden Brennlinien F1P und F2P in P den Winkel 2ψ. Bestimmen wir in P die Tangente an die Ellipse und errichten darauf die Normale, so halbiert diese gerade den Winkel 2ψ. In der Akustik bedeutet dies: Schallwellen, die von F1 ausgehen und an einem elliptischen Gewölbe reflektiert werden, werden nach F2 gebündelt. Dies ist das Prinzip des „Flüstergewölbes“.


Analytische Darstellung einer Ellipse[Bearbeiten]

Liegt der Ursprung eines x-y-Koordinatensystems im Mittelpunkt M einer Ellipse, und zeigt die positive x-Achse in Richtung zum Hauptscheitel S1, so hat eine Ellipse in kartesischen Koordinaten folgende Darstellung (t ist ein Winkelparameter im Bogenmass):

 \frac{x^2}{a^2} \; + \; \frac{y^2}{b^2} \quad = \quad 1 \qquad \Leftrightarrow \qquad \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \quad = \quad \begin{pmatrix} a \cdot \cos(t) \\ b \cdot \sin(t) \end{pmatrix} \qquad (0 \; \leq \; t \; < \; 2 \pi)


In Polarkoordinaten hängt es davon ab, ob der Ursprung im Mittelpunkt M (erste Formel) bzw. im rechten Brennpunkt F1 (zweite Formel) liegt; die Achse zeigt in beiden Fällen nach rechts zum Scheitel S1:

r \quad = \quad \frac{b}{\sqrt{1 \; - \; \varepsilon^2 \cdot \cos^2(\varphi)}} \qquad \text{bzw.} \qquad r \quad = \quad \frac{p}{1 \; + \; \varepsilon \cdot \cos(v)}


Der Flächeninhalt A einer Ellipse berechnet sich nach der Formel:

 A \quad = \quad \pi a b \quad = \quad \pi a^2 \sqrt{1 \; - \; \varepsilon^2}



Übungen

  • Konstruieren Sie am PC eine Ellipse als affines Bild eines Kreises! Wählen Sie als Stauchungsfaktor 1 – f = 0.75. Um wieviel kürzer ist dann die kleine Halbachse als die grosse Halbachse?
  • Kennt man von einer Ellipse die grosse Halbachse a und die numerische Exzentrizität ε, so ist ihre Form eindeutig bestimmt, dh. alle übrigen Stücke lassen sich damit berechnen. Berechnen Sie mit den Daten aus dem Anhang für die Marsbahn die Parameter b, e, f bzw. 1 – f und p.
  • Wo befindet sich die Erde (oder ein beliebiger anderer Himmelskörper) in Perihel- bzw. Aphelstellung? Wie berechnen Sie die Periheldistanz q bzw. die Apheldistanz Q?
  • Im vorangehenden Kapitel wurde behauptet, im Falle der Erdbahn sei die Sonne rund 2.5 Millionen km aus der Mitte verschoben, die Abweichung vom Kreis betrage aber nur 21 000 km. Rechnen Sie nach!
  • Auch der Halleysche Komet beschreibt eine Ellipsenbahn. Für ihn gelten die Daten a = 17.834 AE, ε = 0.967. Berechnen Sie für diese Bahn b, e, f, p, q und Q. Deutung?


Nachweis:

  1. Die Symbole e für die lineare und ε für die numerische Exzentrizität sind in der Geometrie üblich. In der Himmelsmechanik ist das Symbol ε für die Schiefe der Ekliptik reserviert. Da man die lineare Exzentrizität als eigenständige Grösse praktisch nie braucht, reserviert man in der Himmelsmechanik das Symbol e für die numerische Exzentrizität der Bahnen von Himmelskörpern.

Keplergleichung[Bearbeiten]

Die Position eines Planeten P bezüglich der Sonne S auf seiner Bahnellipse NPC wird durch den Abstand r und den Winkel v bezogen auf die Perihelrichtung SN beschrieben. Der Winkel v heisst wahre Anomalie. Der Abstand r berechnet sich nach dem voranstehenden Kapitel mit einer der folgenden Formeln[1]:

 r \quad = \quad \frac{p}{1 + e \cdot \cos(v)} \quad = \quad \frac{a \cdot (1 - e^2)}{1 + e \cdot \cos(v)} \quad = \quad \frac{q \cdot (1 + e)}{1 + e \cdot \cos(v)}


Wenn es gelingt, die wahre Anomalie v als Funktion der Zeit zu bestimmen, dann ist die Aufgabe der Positionsbestimmung für die Planeten gelöst. Prinzipiell liegt der Schlüssel zur Lösung im zweiten Keplergesetz. Doch ist es nicht so einfach, dies konkret in eine Rechnung umzusetzen. Man behilft sich wie folgt mit einer Hilfskonstruktion:

Zur Herleitung der Keplergleichung

In der nebenstehenden Abbildung bezeichnet S die Lage der Sonne im einen Brennpunkt der Bahnellipse NPC (blau); P den Ort des Planeten auf seiner Bahn zu einem bestimmten Zeitpunkt; N ist die Lage des Perihels; v die wahre Anomalie zum Zeitpunkt t;  \overline{ZN} = a  ist die grosse und  \overline{ZC} = b ist die kleine Halbachse der Bahnellipse,  \overline{SN} = q  ist die Periheldistanz. Man konstruiert nun einen Hilfskreis NHGD mit Zentrum Z und Radius a. Auf diesem Kreis läuft ein virtueller Planet gleichmässig, seine Umlaufzeit ist gleich gross wie diejenige des Planeten. Wenn beide Körper gleichzeitig im Perihel N starten, erreichen sie es nach der Umlaufzeit T auch wieder gleichzeitig. Wie man leicht überlegt, gehen beide Körper auch gleichzeitig durch das Aphel. Zwischen Perihel und Aphel eilt der Planet P dem Hilfskörper H voraus, zwischen Aphel und Perihel eilt der Hilfskörper H dem Planeten voraus. Die Position des Planeten P wird durch die wahre Anomalie v beschrieben, diejenige des Hilfskörpers H durch die mittlere Anomalie M. Wegen der gleichförmigen Bewegung von H gilt für M im Bogenmass:

 M \quad = \quad 2 \pi \cdot \frac{t - t_0}{T}


t0 bezeichnet den Zeitpunkt des Periheldurchganges. Die Ellipsenfläche AEll verhält sich zur Kreisfläche AK wie folgt

 \frac{A_{Ell}}{A_K} \quad = \quad \frac{\pi a b}{\pi a^2} \quad = \quad \frac{b}{a}


Wird die Position von P parallel zur Nebenachse auf den Hilfskreis projiziert, so erhält man die Position G. Seine Lage wird bezüglich des Zentrums Z durch die exzentrische Anomalie E beschrieben. Wegen der Affinität gilt

 \frac{\overline{PB}}{\overline{GB}} \quad = \quad \frac{b}{a}


Dieses Verhältnis weisen auch die Teilflächen PSN bzw. GSN auf:

 \frac{A_{PSN}}{A_{GSN}} \quad = \quad \frac{b}{a} \qquad \Leftrightarrow \qquad A_{GSN} \quad = \quad \frac{a}{b} \cdot A_{PSN}


Das projizierte Hilfsobjekt G und das mittlere Hilfsobjekt H überstreichen nach Konstruktion in gleichen Zeiträumen die gleichen Flächen:

 A_{GSN} \quad = \quad A_{HZN}


Für die Fläche AHZN (sie ist der Teil an der gesamten Kreisfläche, der proportional zu M ist) gilt, analog für AGZN:

 A_{HZN} \quad = \quad \pi a^2 \cdot \frac{M}{2 \pi} \quad = \quad \frac{a^2}{2} \cdot M \qquad \Leftrightarrow


 A_{GZN} \quad = \quad \frac{a^2}{2} \cdot E


Die Fläche AGZN zerlegen wir:

 A_{GZN} \quad = \quad A_{GZS} \; + \; A_{GSN}


AGZS ist eine Dreiecksfläche und berechnet sich zu ½ mal Grundlinie mal Höhe. Damit finden wir:

 \frac{a^2}{2} \cdot E \quad = \quad \frac{a \cdot e}{2} \cdot a \cdot \sin E \; + \; \frac{a^2}{2} \cdot M


Und daraus schliesslich:

  E \quad = \quad M \; + \; e \cdot \sin E 


Diese Gleichung nennt man die Keplergleichung. Achtung: in der Herleitung haben wir vorausgesetzt, dass die Winkel im Bogenmass gegeben sind. Ist M bekannt, so lässt sich mit der Keplergleichung E berechnen. Ist E berechnet, findet man damit die wahre Anomalie v über folgende Beziehung:

 \tan \left( \frac{v}{2} \right) \quad = \quad \sqrt{\frac{1 + e}{1 - e}} \cdot \tan \left( \frac{E}{2} \right)


Die Keplergleichung ist eine transzendente Gleichung, ihre Lösung daher nicht in geschlossener Form möglich. Im nächsten Kapitel werden wir auf Lösungsverfahren eingehen. Zu beachten ist, dass wir die Keplergleichung unmittelbar aus dem zweiten Keplergesetz und den Eigenschaften von Ellipsen hergeleitet haben.


Übungen


  • Die obenstehende Grafik wurde mit folgenden Daten gezeichnet: a = 17 cm, b = 9.5 cm;  \overline {ZB} = 6.5 \text{cm} . Berechnen Sie daraus (sozusagen „rückwärts“) alle weiteren Elemente der Abbildung: e, yP,  \overline{SN}  , q, yG, v, E, M und die Flächeninhalte APSN, AHZN und AGZN.
  • Als Vorbereitung auf weitere Übungen in den folgenden Kapiteln sei diese Übung gedacht: im einfachsten kopernikanischen Modell laufen die Planeten auf Kreisbahnen gleichförmig um die Sonne. Der Merkur braucht für einen Umlauf um die Sonne rund 88 Tage. Berechnen Sie die Position des Planeten in Abständen von 11 Tagen unter dieser vereinfachten kopernikanischen Annahme. Seine grosse Bahnhalbachse misst a = 0.387 AE. Berechnen Sie die Koordinaten in einem rechtwinkligen Koordinatensystem, das seinen Ursprung im Zentrum des Kreises hat.



Nachweis:

  1. Beachten Sie die Anmerkung zu den Symbolen e und ε im vorangehenden Kapitel.

Lösungsverfahren[Bearbeiten]

Wie wir festgehalten haben ist die Keplergleichung eine transzendente Gleichung. Dies bedeutet, dass es abgesehen von trivialen Fällen keine analytische Lösung in der Form E = f(e,M) gibt, sondern nur numerische Lösungen für konkrete Werte. Die trivialen Ausnahmen betreffen die Fälle, wo M ein ganzzahliges Vielfaches von π ist. Ist nämlich M = k∙π (k = …, –2, –1, 0, 1, 2, …), dann ist E = M, denn sin(k∙π) = 0, und daraus folgt v = E. Anschaulich bedeutet dies, dass sowohl der wahre als auch der auf den Hilfskreis projizierte und der mittlere Planet gleichzeitig durch Perihel und Aphel gehen.


In allen anderen Fällen muss die Keplergleichung durch ein numerisches Verfahren genähert gelöst werden. Dabei stehen im Prinzip zwei grundsätzlich verschiedene Verfahren mit Untervarianten zur Auswahl:

  • Iterationsverfahren
  • Reihenentwicklungen

Wir beschränken uns im folgenden auf die erste Variante. Als Iterationsverfahren bezeichnet man ein Verfahren, bei dem schrittweise aus berechneten Werten neue Werte solange berechnet werden, bis sich zwei aufeinander folgende Werte um weniger als eine vorgegebene Schranke unterscheiden. Die Untervarianten unterscheiden sich gelegentlich auch durch die Wahl des Startwertes.

Das erste Verfahren beginnt mit E0 = M als Startwert. Man berechnet dann schrittweise:

E_0 \quad = \quad M
E_1 \quad = \quad M \; + \; e \cdot \sin(E_0) \; \text{;} \quad \left| E_1 - E_0 \right| \; = \; \Delta_1
E_2 \quad = \quad M \; + \; e \cdot \sin (E_1)\; \text{;} \quad \left| E_2 - E_1 \right| \; = \; \Delta_2
E_3 \quad = \quad M \; + \; e \cdot \sin (E_2)\; \text{;} \quad \left| E_3 - E_2 \right| \; = \; \Delta_3
 \ldots \qquad \quad \ldots
E_{n+1} \quad = \quad M \; + \; e \cdot \sin (E_n)\; \text{;} \quad \left| E_{n+1} - E_n \right| \; = \; \Delta_{n+1}


Die Iteration wird abgebrochen, wenn die Differenz Δn+1 kleiner als eine vorgegebene Schranke ist. Will man z.B. E auf 1" = 1/3600° = 4.848 ∙ 10–6 genau bestimmen, dann wird die Iteration abgebrochen, wenn die Differenz 4 ∙ 10–6 oder sogar 1 ∙ 10–6 [1] unterschreitet. Wird die Schranke kleiner gewählt, dann wird das Resultat genauer, benötigt aber mehr Schritte, bis es erreicht wird. Solange nur ein einzelner Wert berechnet werden soll, ist das bei der Rechenleistung der heutigen Computer kein Problem. Sollen aber z.B. Ephemeriden für 50 oder 100 Asteroiden für ein ganzes Jahr im Tagesabstand berechnet werden, dann kommen ordentlich viele Rechnungen zusammen und können einen schwächeren PC schon ganz schön fordern.

Für kleine numerische Exzentrizitäten e konvergiert[2] das vorgestellte Verfahren recht gut. Ab Werten von e, die grösser als 0.4 oder 0.5 sind, ist das Konvergenzverhalten sehr langsam. Es kann dann schneller sein, einen komplizierteren Ausdruck für die nächste Näherung zu berechnen, dafür deutlich weniger Iterationsschleifen zu durchlaufen. Ein solches Verfahren addiert zu einem Näherungswert En einen Korrekturterm, der mit M, e und En errechnet wird. Das Verfahren wird wiederum so lange wiederholt, bis die Differenz zweier aufeinander folgender Werte – also eigentlich der Korrekturterm – eine vorgegebene Schranke unterschreitet. Man berechnet darum schrittweise[3]

E_0 \quad = \quad M
E_1 \quad = \quad E_0 \; + \quad \frac{M + e \cdot \sin(E_0) - E_0}{1 - e \cdot \cos(E_0)} \; \text{;} \quad \left| E_1 - E_0 \right| \; = \; \Delta_1


E_2 \quad = \quad E_1 \; + \quad \frac{M + e \cdot \sin(E_1) - E_1}{1 - e \cdot \cos(E_1)} \; \text{;} \quad \left| E_2 - E_1 \right| \; = \; \Delta_2
 \ldots \qquad \quad \ldots
E_{n+1} \quad = \quad E_n \; + \quad \frac{M + e \cdot \sin(E_n) - E_n}{1 - e \cdot \cos(E_n)} \; \text{;} \quad \left| E_{n+1} - E_n \right| \; = \; \Delta_{n+1}


Beispiele:

Wir lösen zunächst die Keplergleichung nach der ersten Methode für M = 15° = 0.261 7994 und e = 0.0934[4] mit der Schranke 0.000 0001. Wir erhalten dann die Reihe:

E0 = 0.261 7994
E1 = 0.285 9731     Δ1 = 0.024 1737
E2 = 0.288 1467     Δ2 = 0.002 1736
E3 = 0.288 3414     Δ3 = 0.000 1947
E4 = 0.288 3589     Δ4 = 0.000 0174
E5 = 0.288 3604     Δ5 = 0.000 0016
E6 = 0.288 3606     Δ6 = 0.000 0001
E7 = 0.288 3606     Δ7 = 0.000 0000

Die Tabellenkalkulation OOo Calc zeigt an, dass mit der siebten Iteration die Genauigkeitsschranke unterschritten wird. Damit haben wir das Resultat gefunden:

Wenn M = 15°, dann ist E = 16.521 844° und v = 18.118 566° (e = 0.0934).

Bei gleicher Exzentrizität sind es immer etwa 7 Iterationsschritte, bis die Schranke unterschritten wird, nahezu unabhängig davon, wie gross M ist. Wird die Schranke um den Faktor 10 verkleinert, sind es 8 Iterationsschritte, wird sie um den Faktor 10 vergrössert, sind es 6 Iterationsschritte.

Betrachten wir nun aber M = 15° und e = 0.967[5]. Es sind dann 21 Iterationsschritte notwendig, bis die Schranke 0.000 0001 unterschritten wird:

E0 = 0.261 7994
E1 = 0.512 0774     Δ1 = 0.250 2780
E2 = 0.735 6190     Δ2 = 0.223 5416
E3 = 0.910 7011     Δ3 = 0.175 0821
E4 = 1.025 6654     Δ4 = 0.114 9643
E5 = 1.088 6419     Δ5 = 0.062 9764
E6 =   …

Nach dem 21. Iterationsschritt findet man als Resultat: E = 65.360 217° und daraus v = 157.169 691°.

Bei M = 175° und e = 0.967 wird aber die Schranke erst nach der Iteration mit der Nummer 396 unterschritten. Das Ergebnis ist E = 177.457 645° und daraus v = 179.670 647°.


Setzen wir dafür aber das zweite Iterationsverfahren ein, so wird die Schranke bereits nach dem 3. Iterationsschritt erreicht:

E0 = 3.054 3262
E1 = 3.097 2533      Δ1 = 042 9271
E2 = 3.097 2202      Δ2 = 0.000 0330
E3 = 3.097 2202      Δ3 = 0.000 0000

Das zweite Verfahren konvergiert also sehr schnell zur Lösung E = 177.457 649° und daraus v = 179.670 648°. Es hat allerdings zwei Nachteile und sollte darum nicht einfach bedenkenlos eingesetzt werden: zum einen ist es mit zwei zu berechnenden Winkelfunktionen und einem Bruch für den Computer deutlich aufwendiger als das erste Verfahren. Es kann damit seine Vorteile erst dann ausspielen, wenn das erste Verfahren zu einer sehr grossen Anzahl Iterationsschritte führt. Dies ist bei Exzentrizitäten nahe 1 der Fall. Zum anderen kann ein neues Problem auftreten: statt stetig zum Lösungswert zu konvergieren, können die Werte anfänglich oszillieren. Dies ist speziell bei Exzentrizitäten ganz nahe bei 1 der Fall.


Beispiel:

Nehmen wir nochmals e = 0.967, aber M = 5°. Dann wird das Ergebnis E = 42.258 779° mit dem 8. Iterationsschritt erreicht. Der erste Iterationsschritt liefert allerdings einen völlig unsinnigen Wert von E1 = 2.384…rad = 136.649 441° (!):

E0 = 0.087 2665
E1 = 2.384 9827     Δ1 = 2.297 7162
E2 = 1.425 6490     Δ2 = 0.959 3337
E3 = 0.982 0547     Δ3 = 0.443 5943
E4 = 0.786 3955     Δ4 = 0.195 6591
E5 = 0.740 0885     Δ5 = 0.046 3071
E6 = 0.737 5622     Δ6 = 0.002 5263
E7 = 0.737 5548     Δ7 = 0.000 0073
E8 = 0.737 5548     Δ8 = 0.000 0000

Dieses Verhalten wird besonders deutlich bei grossen Werten für e:


Beispiel:

Wählen wir e = 0.999 und M = 7°, dann finden wir das Resultat nach Iterationsschritt 29 – aber sehen Sie sich die ersten Iterationswerte an. Ausnahmsweise sind auch die Zwischenwerte in Grad umgerechnet:

E0 = 0.122 7.000° ... ...
E1 = 14.536 832.869° Δ1 = 14.414
E2 = 4.816 275.955° Δ2 = 9.720
E3 = -1.529 -87.611° Δ3 = 6.345
E4 = -0.848 -48.562° Δ4 = 0.682
E5 = -0.196 -11.225° Δ5 = 0.652
E6 = 5.951 340.963° Δ6 = 6.147
E7 = -104.664 -5'996.812° Δ7 = 110.615
E8 = -36.381 -2'084.498° Δ8 = 68.283
E9 = 13.586 778.411° Δ9 = 49.967
E10 = -12.872 -737.536° Δ10 = 26.458
E11 = 254.789 14'598.350° Δ11 = 267.662
E12 = 123.909 7'099.442° Δ12 = 130.881
E13 = 18.444 1'056.786° Δ13 = 105.464
E14 = -210.125 -12'039.297° Δ14 = 228.570
E15 = -101.624 -5'822.647° Δ15 = 108.501
E16 = 84.813 4'859.434° Δ16 = 186.437
E17 = 42.450 2'432.227° Δ17 = 42.363
E18 = -2.626 -150.451° Δ18 = 45.076
E19 = -1.419 -81.313° Δ19 = 1.207
E20 = -0.767 -43.943° Δ20 = 0.652
E21 = -0.069 -3.961° Δ21 = 0.698
E22 = 36.049 2'065.432° Δ22 = 36.118
E23 = 1.847 105.842° Δ23 = 34.201
E24 = 1.247 71.445° Δ24 = 0.600
E25 = 0.986 56.518° Δ25 = 0.261
E26 = 0.917 52.558° Δ26 = 0.069
E27 = 0.912 52.272° Δ27 = 0.005
E28 = 0.912 52.270° Δ28 = 0.000
E29 = 0.912 52.270° Δ29 = 0.000

Das Verhalten hängt damit zusammen, dass der Nenner nahezu Null werden kann. Mit einer einfachen Massnahme kann man das Konvergenzverhalten stark beeinflussen: man wählt als Startwert fix E0 = π. Dann ist bereits nach dem 7. Iterationsschritt das Ergebnis erreicht, und es gibt keine oszillierenden Werte.

Zum Schluss sei angemerkt, dass die Ergebnisse stark von der eingesetzten Soft- und Hardware abhängen, besonders davon, mit wievielen Stellen das Programm intern rechnet. Es ist ohne weiteres möglich, dass Sie mit Ihrer Software auf Ihrem Rechner andere Zwischenergebnisse erhalten – das Schlussresultat sollte davon allerdings unbeeinflusst bleiben. Ein guter Rat: testen Sie die Implementation des Algorithmus sorgfältig, bevor Sie Ihre Software produktiv einsetzen!



Übungen

  • Im voran stehenden Kapitel haben Sie die Merkurpositionen für eine heliozentrische Kreisbahn berechnet. In diesem Kapitel sollen Sie nun die Merkurpositionen unter zwei anderen Bedingungen rechnen: 1. Merkur läuft gleichmässig auf einer exzentrischen Kreisbahn, wobei Kreis- und Ellipsenbahn Perihel- und Aphelposition gemeinsam haben. Der Kreis entspricht dem Hilfskreis, den wir zur Herleitung der Keplergleichung gezeichnet haben. Der zu berechnende Winkel entspricht M. 2. Merkur läuft auf einer elliptischen Bahn mit a = 0.387 AE und e = 0.2056. Für diese Aufgabe müssen Sie die Keplergleichung lösen und die wahre Anomalie v berechnen. Berechnen Sie wiederum die x-y-Koordinaten für ein System mit dem Ursprung in der Sonne. Vergleichen Sie die Lösungen der drei Aufgaben.
  • Um die Bedeutung des 2. Keplergesetzes etwas besser zu verstehen, berechnen Sie die wahre Anomalie v und den Abstand r von der Sonne für den Halley'schen Kometen, wenn M = 0° / 45° / 90° / 120° / 150° / 170° / 175° / 179° misst. Die Bahn des Halley'schen Kometen hat eine grosse Halbachse von a = 17.834 AE und eine numerische Exzentrizität von e = 0.967.



Nachweise:

  1. Was faktisch eine Genauigkeit von besser als 0.2" bedeuten würde.
  2. Konvergenz bedeutet in diesem Zusammenhang: ab einem bestimmten Wert m werden die Differenzen Δm immer kleiner, bis sie schliesslich die vorgegebene Schranke unterschreiten.
  3. Für Mathematiker sei angemerkt, dass es sich hierbei um das Newtonsche Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen transzendenter, differenzierbarer Funktionen handelt.
  4. e = 0.0934 ist die numerische Exzentrizität der Marsbahn.
  5. e = 0.967 ist die numerische Exzentrizität für die Bahn des Halley'schen Kometen.

Bahnelemente[Bearbeiten]

Bahnelemente[Bearbeiten]

Die Ebene, in der die Erdbahnellipse liegt, ist die Ekliptik. Die Ebenen, in denen die Bahnellipsen der übrigen Himmelskörper liegen, sind nicht mit der Ekliptik identisch. Um die Ebene einer Objektbahn im Raum bezogen auf die Ebene der Ekliptik, dann die Lage der Bahnellipse in der Ebene, und die Position des Himmelskörpers auf der Bahn in Abhängigkeit der Zeit beschreiben zu können, benötigen wir die Bahnelemente:

Die Bahnelemente
  • Die große Halbachse a der Bahn beschreibt die Größe der Bahn; sie wird in der Regel in AE, seltener in km angegeben. Bei Kometen wird stattdessen in der Regel die Periheldistanz q angegeben.
  • Die numerische Exzentrizität e der Bahn ist ihr Formparameter und gibt an, wie sehr die Bahn von der Kreisform abweicht; sie ist bei geschlossenen Bahnen eine reine Zahl im Bereich 0 ≤ e < 1 und bei offenen Bahnen, also Objekten, welche einmalig auftauchen, ≥ 1 .
  • Die Neigung i der Bahnebene gibt den Winkel zwischen der Bahnebene und der Ekliptik; sie wird in den üblichen Winkelmaßen gemessen. Ist 0 ≤ i ≤ 90° (π/2), dann ist der Himmelskörper rechtläufig, dh. seine Bewegung erfolgt im Gegenuhrzeigersinn, wenn man vom Nordpol der Ekliptik auf die Bahnebene blickt. Ist dagegen 90° < i ≤ 180°, dann ist der Himmelskörper rückläufig und läuft – verglichen mit der Norm der Mehrheit der Planeten und übrigen Körper im Sonnensystem – in der „verkehrten“ Richtung um die Sonne.
  • Die Länge des aufsteigenden Knotens Ω, gemessen in der Ekliptik von der Richtung zum Frühlingspunkt im Gegenuhrzeigersinn. Wenn der Himmelskörper auf seiner Bahn läuft, befindet er sich oberhalb oder unterhalb der Ekliptikebene. Der Punkt in der Ekliptikebene, wo der Planet von negativen zu positiven Werten der Ekliptikbreite wechselt, heisst aufsteigender Knoten ☊. Da, wo der Planet von positiven zu negativen Werten der Ekliptikbreite wechselt, befindet sich der absteigende Knoten ☋. Die in der Ekliptikebene gelegene Gerade, die aufsteigenden und absteigenden Knoten miteinander verbindet, heisst Knotenlinie. Die Länge des aufsteigenden Knotens legt die Lage der Bahnebene im Raum fest.
  • Das Perihelargument  \omega , gemessen in der Bahnebene des Himmelskörpers vom aufsteigenden Knoten bis zum Perihel. Gelegentlich wird der Winkel angegeben, der in der Ekliptik von der Richtung zum Frühlingspunkt bis zum aufsteigenden Knoten, dann in der Bahnebene des Himmelskörpers vom aufsteigenden Knoten bis zum Perihel gemessen und der als Länge des Perihels  \overline {\omega} bezeichnet wird. Es gilt also:  \overline{\omega} = \Omega + \omega . Dabei wird Ω in der Ekliptikebene,  \omega aber in der Bahnebene des Himmelskörpers gemessen. Dieser Winkel bestimmt die Lage der Ellipse in ihrer Ebene.
  • Die mittlere Länge L des Himmelskörpers, gemessen in der Ekliptik von der Richtung zum Frühlingspunkt bis zum aufsteigenden Knoten, dann in der Bahnebene des Himmelskörpers vom aufsteigenden Knoten bis zur mittleren Position des Planeten, also  L = \Omega + \omega + M = \overline{\omega} + M . Statt der mittleren Länge kann auch direkt die mittlere Anomalie M für einen bestimmten Zeitpunkt gegeben sein. Bei Kometen wird stattdessen die Epoche des Periheldurchgangs T0 angegeben. Damit ist die Position des Himmelskörpers auf seiner Bahn zu einem bestimmten Zeitpunkt bekannt.
  • Die mittlere tägliche Bewegung n in Grad pro Tag, wodurch die Bewegung in der Bahn festgelegt ist. Ist n nicht gegeben – was z.B. bei Kometendaten die Regel ist – dann kann die Größe über das dritte Keplergesetz berechnet werden:


 n \quad = \quad \frac{0.985\;607\;6686}{a \cdot \sqrt{a}}

Mittlere und oskulierende Bahnelemente[Bearbeiten]

Wie wir noch sehen werden, sind Planetenbahnen nicht fix. Dies bedeutet, dass die Bahnelemente nicht konstant sind (bzw. im Falle von L oder M gleichmässig zunehmen), sondern sich im Laufe der Zeit verändern. Es gibt zwei Varianten, wie unter diesen Umständen Bahnelemente publiziert werden:

  • Für die großen Planeten werden sog. mittlere Bahnelemente publiziert, die sich entweder auf die aktuelle Ekliptik oder aber auf die Ekliptik einer bestimmten Epoche (aktuell in der Regel J2000.0) beziehen. Damit wird eine mittlere Planetenbahn beschrieben. Die so berechneten mittleren Positionen weichen also von den wahren Positionen ab, sind aber genauer, als wenn man mit unveränderlichen Werten rechnet. Die mittleren Bahnelemente der großen Planeten haben nach P. Bretagnon[1] die Gestalt eines Polynoms in T, wobei T die verflossene Zeit seit der Standardepoche J2000.0 darstellt, gemessen in julianischen Jahrhunderten:


 T \quad = \quad \frac{JDE \; - \; JD0}{36\;525}


 a_0 \; + \; a_1 \cdot T \; + \; a_2 \cdot T^2 \; + \; a_3 \cdot T^3


  • Für Asteroiden und Kometen werden oskulierende Elemente bevorzugt[2]. Unter einer oskulierenden Bahn versteht man eine Bahn, die eine ungestörte Ellipsenbahn darstellt und die sich zu einem bestimmten Zeitpunkt (ihrer Epoche) möglichst genau an die wahre Bahn anschmiegt. Die oskulierende Bahn wird durch die oskulierenden Elemente beschrieben. In der Nähe der Epoche sind die Positionen, die mit oskulierenden Elementen beschrieben werden, sehr genau. Doch je weiter entfernt der Zeitpunkt ist, desto ungenauer wird die berechnete Position.


Beispiele:

Oskulierende Bahnelemente für einen Kometen bzw. einen Asteroiden.

Komet 14P/Wolf; Periheldurchgang 2009-02-27.2056 (TT); Periheldistanz q = 2.724147 AU; Exzentrizität e = 0.358104; Perihelargument  \omega = 158.9747° (J2000.0); Knotenlänge Ω = 202.1223° (J2000.0); Neigung i = 27.9413° (J2000.0); Epoche 2008-11-30; (…)

Asteroid (433) Eros; (…); Epoche 2008-11-30; mittlere Anomalie M = 79.89021°; Perihelargument  \omega = 178.66683°; Knotenlänge Ω = 304.37577°; Neigung i = 10.83090°; Exzentrizität e = 0.2229127; mittlere tägliche Bewegung n = 0.55981629°/day; große Halbachse a = 1.4580498 AE; (…)


Berechnung von Koordinaten[Bearbeiten]

Sind nach den beschriebenen Verfahren die Bahnelemente und durch das Lösen der Keplergleichung die wahre Anomalie v bekannt, kann die Position des Körpers im heliozentrischen Ekliptiksystem berechnet werden. Dazu werden zunächst die rechtwinkligen planetenbezogenen Koordinaten berechnet: in diesem System zeigt die x"-Achse von der Sonne zum aufsteigenden Knoten ☊, die Komponente in Richtung dieser Achse beträgt x'' \; = \; r \cdot \cos(\omega+v) . Die y"-Achse liegt in der Bahnebene und steht im rechten Winkel zur x"-Achse in der Richtung zunehmender v-Werte. Die Komponente in Richtung dieser Achse hat den Wert  y'' \; = \; r \cdot \sin(\omega+v) . Die z"-Achse steht senkrecht auf der x"- und der y"-Achse, und zwar so, dass die drei Achsen ein rechtshändiges System bilden. Da die Ellipse eine ebene Figur ist, gilt für die dritte Koordinate der Planetenposition z" = 0. Durch zwei aufeinander folgende Koordinatentransformationen werden die x"-y"-z"-Koordinaten in die heliozentrischen ekliptikalen x-y-z-Koordinaten übergeführt: zuerst wird das Koordinatensystem um den Winkel –i um die x"-Achse gedreht, so dass die y"-Achse in die in der Ekliptikebene liegende y'-Achse gedreht wird, und die z"-Achse zur z-Achse wird. Das so entstandene x'-y'-z'-System wird um den Winkel –Ω um die z'-Achse (identisch mit der z-Achse) gedreht, womit die x'-Achse auf die x-Achse und die y'-Achse auf die y-Achse zu liegen kommt: wir haben die Transformation ins gewünschte Koordinatensystem erreicht. Das Ergebnis dieser Transformation wird durch folgende Gleichungen beschrieben:

 x \quad = \quad r \cdot ( \cos u \; \cos \Omega \; - \; \sin u \; \cos i \; \sin \Omega) \quad = \quad r \cos v \cdot P_x \; + \; r  \sin v \cdot Q_x
 y \quad = \quad r \cdot ( \cos u \; \sin \Omega \; - \; \sin u \; \cos i \; \cos \Omega) \quad = \quad r \cos v \cdot P_y \; + \; r  \sin v \cdot Q_y
 z  \quad = \quad r \cdot ( \sin u \; \sin i ) \quad = \quad r \cos v \cdot P_z \; + \; r  \sin v \cdot Q_z


In diesem Gleichungssystem bedeuten  u = \omega + v die Länge des Planeten von der x"-Achse aus gemessen; ferner haben wir die Abkürzung P = (Px, Py, Pz) bzw. Q = (Qx, Qy, Qz) benutzt, wobei gilt:

P_x \quad = \quad +\cos \omega \; \cos \Omega \; - \; \sin \omega \; \cos i \; \sin \Omega
P_y \quad = \quad +\cos \omega \; \sin \Omega \; + \; \sin \omega \; \cos i \; \cos \Omega
P_z \quad = \quad +\sin \omega \; \sin i


Q_x \quad = \quad -\sin \omega \; \cos \Omega \; - \; \cos \omega \; \cos i \; \sin \Omega
Q_y \quad = \quad -\sin \omega \; \sin \Omega \; + \; \cos \omega \; \cos i \; \cos \Omega
Q_z \quad = \quad +\cos \omega \; \sin i


P und Q sind zwei Vektoren, wobei P in der Bahnebene in Richtung des Perihels zeigt, und Q dazu senkrecht steht. Zu Ehren des großen deutschen Mathematikers werden sie Gauss'sche Vektoren genannt. Sie haben den großen Vorteil, nur von den drei Bahnelementen Ω, ω und i abhängig zu sein. Wenn man mittels oskulierender Elemente Ephemeriden für Asteroiden oder Kometen berechnet, bleiben die Gauss'schen Vektoren konstant – sie müssen also nur einmal berechnet werden. Sind die heliozentrischen, ekliptikalen Koordinaten x, y, z berechnet, können daraus die heliozentrischen Ekliptikkoordinaten r, l und b berechnet werden, oder wenn die Koordinaten X, Y und Z der Sonne bekannt sind, können daraus geozentrische Ekliptikkoordinaten Δ, λ und β berechnet werden und bei bekannter Schiefe der Ekliptik ε schliesslich die Äquatorkoordinaten α und δ.



Beispielrechnung[Bearbeiten]

Der Asteroid 4 Vesta steht am 1.11.2008 in Opposition zur Sonne. Wir berechnen für den 30.10.2008 ihre Position nach der vorgestellten Methode. Auf dem Server der russischen Akademie der Wissenschaften (Institut für angewandte Astronomie) findet man die Bahnelemente von nahezu 200 000 Asteroiden[3]. Für 4Vesta lauten die benötigten Daten:

Name = 4 Vesta; H = 3.20; G = 0.32; Epoch = 2008 10 11; JD = 2454750.5; Mean.anm. M = 131.28843°; Perihel. ω = 149.84691°; Node Ω = 103.91448°; Incl. i = 7.13521°; Eccentr. e = 0.0890999; Mean mot. n = 0.27165141°/day; Semim.axis a = 2.3611744 AE; (…) H und G sind Parameter zur Bestimmung der Helligkeit, auf die wir später eintreten werden. Die weggelassenen Daten geben Hinweise auf die Genauigkeit der Elemente und die Quellen.

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über die Rechnungen:


Größe
Erde (bzw. Sonne)
Asteroid
Datum 0 :
21.10.2008
21.10.2008
11.10.2008
11.10.2008
T0 =
2 454 760.50
2 454 760.50
2 454 750.50
2 454 750.50
Datum 1 :
30.10.2008
30.10.2008
30.10.2008
30.10.2008
T1 =
2 454 769.50
2 454 769.50
2 454 769.50
2 454 769.50
M0 =
286.6739000
5.0034034
131.2884300
2.2914154
a =
0.9999930
2.3611744
e =
0.0167270
0.0890999
i =
0.0000000
0.0000000
7.1352100
0.1245329
Ω =
103.9144800
1.8136498
ω =
103.1390000
1.8001151
149.8469100
2.6153220
L0 =
29.8129000
0.5203333
n =
0.9856190
0.0172023
0.2716514
0.0047412
d = T1 - T0
9.0000000
9.0000000
19.0000000
19.0000000
M = M0 + d ∙ n
295.5444710
5.1582241
136.4498068
2.3814984
E(M) =
294.6735845
5.1430243
139.7484091
2.4390699
v =
293.7996024
5.1277704
142.9438618
2.4948410
xhelio =
0.7936933
2.0042555
yhelio =
0.5967584
1.5029109
zhelio =
0.0000000
–0.2887734
r =
0.9930104
2.5217398
l =
36.9386024
0.6447002
36.8647607
0.6434115
b =
0.0000000
0.0000000
–6.5755679
–0.1147653
xgeo =
(der Sonne:)
–0.7936933
1.2105622
ygeo =
–0.5967584
0.9061525
zgeo =
0.0000000
–0.2887734
Δ =
0.9930104
1.5394685
λ =
216.9386024
3.7862929
36.8162696
0.6425651
β =
0.0000000
0.0000000
–10.8115839
–0.1886977
ε(30.10.08) =
23.4399500
0.4091043
23.4399500
0.4091043
Δ =
0.9930104
1.5394685
α =
14.3066017
3.7454596
2.5342151
0.6634560
δ =
–13.8307163
–0.2413915
3.5570874
0.0620829

In der ersten Spalte für jeden Himmelskörper stehen die Winkelgrößen in Grad, in der zweiten Spalte die gleichen Größen im Bogenmaß. Erstens sind gewisse Gleichungen wie z.B. die Keplergleichung ausdrücklich im Bogenmaß formuliert, zweitens verwenden viele Software-Pakete im Zusammenhang mit den Winkelfunktionen ausschliesslich das Bogenmaß. Doch ist das Gradmaß für die meisten Menschen anschaulicher. T0 bzw. Datum 0 ist das Datum der Epoche, für die die Bahnelemente gegeben sind. T1 bzw. Datum 1 ist das Datum, für das gerechnet wird. In den folgenden Zeilen stehen die Bahnelemente. Da die Erdbahnebene gleich der Ekliptik ist, ist i = 0, Ω ist undefiniert, und ω ist die von der Achse zum Frühlingspunkt aus gemessene Länge des Perihels. Für die Erde ist nicht die mittlere Anomalie M0 zur Epoche T0 angegeben, sondern die mittlere Länge L0 = ω + M0. Die mittlere Anomalie muss also zuerst berechnet werden. In den folgenden fünf Zeilen sind die Daten und Lösungswerte der Keplergleichung. Daraus berechnet man die heliozentrischen kartesischen Koordinaten xhelio = (xhelio, yhelio, zhelio). Für den Asteroiden benutzt man dazu die Gauß'schen Vektoren P = (Px, Py, Pz) = (–0.2758623, –0.9591700, 0.0623928) und Q = (Qx, Qy, Qz) = (0.9536057, –0.2812484, –0.1074038). Der Abstand r zur Sonne wird für beide Himmelskörper nach der Formel

 r \quad = \quad \frac{a \cdot (1 - e^2)}{1 + e \cdot \cos v}

berechnet. Für die Erde können die Gauß'schen Vektoren nicht berechnet werden, da Ω nicht bestimmt ist. Aber da die heliozentrische x-Achse zum Frühlingspunkt zeigt, und die wahre Länge der Erde bezüglich dieser Achse ω + v beträgt, berechnen sich für die Erde die drei Koordinaten wie folgt (die Erdbahnebene ist die Ekliptik, darum ist die z-Komponente Null):

 x \quad = \quad r \cdot \cos(v + \omega) \; \text{;} \qquad y \quad = \quad r \cdot \sin(v + \omega) \; \text{;} \qquad z \quad = \quad 0


Daraus werden die heliozentrischen ekliptikalen Koordinaten (r, l, b) berechnet. Als nächstes werden für die Sonne und den Asteroiden die geozentrischen ekliptikalen kartesischen Koordinaten berechnet. Dabei gilt: xgeo⊙ = –xhelio⊕. Für den Asteroiden gehen wir vor, wie im Kapitel „Koordinatentransformation“ beschrieben. Daraus werden die geozentrischen ekliptikalen Koordinaten (Δ, λ, β) berechnet, und mit der Schiefe der Ekliptik ε zur Epoche 30.10.08 schließlich die rotierenden Äquatorkoordinaten (α, δ).

Zur Interpretation der Ergebnisse folgende Bemerkungen:

  • Alle Zwischenergebnisse wurden immer mit voller Stellenzahl weiterverwendet – das Endergebnis soll aber vernünftig gerundet werden.
  • Die Tatsache, dass die heliozentrische ekliptikale Länge für die Erde und den Asteroiden fast gleich ist (l = 36.939°, lA = 36.865°) zeigt, dass der Asteroid am Erdhimmel nahe der Oppositionsstellung zur Sonne steht. Das genaue Datum der Opposition ist 2008–11–1.9
  • Gerundet lauten die Koordinaten: α = 14h 18.4m, δ = –13° 50'; αA = 2h 32.1m, δA = 3° 33'; aus dem Jahrbuch der Sternenhimmel wurden für den 30.10.2008 durch lineare Interpolation folgende Werte für die Koordinaten gefunden: α = 14h 18.4m, δ = –13° 49'; αA = 2h 32.3m, δA = 3° 35'.
  • Bei den Berechnungen haben wir nicht berücksichtigt: Unterschied UT zu TT; die Lichtzeit; Epochenunterschiede: die Vestakoordinaten im Jahrbuch sind für die Epoche J2000.0 berechnet (damit sie sich problemlos in eine Sternkarte eintragen lassen), unsere Koordinaten sind zur aktuellen Epoche gerechnet; die Epoche der oskulierenden Bahnelemente und der Zeitpunkt der berechneten Ephemeriden sind nicht identisch. Zudem sind einzelne Bahnelemente mit einer vergleichsweise geringen Genauigkeit angegeben.

Angesichts dieser nicht berücksichtigten Effekte dürfen die Resultate bereits als sehr befriedigend bezeichnet werden. Das Ziel ist es aber, noch genauere Ergebnisse zu rechnen.


Übungen:

  • Wiederholen Sie die Rechnung für die Vesta zum genauen Oppositionszeitpunkt 2008–11–01.9.
  • Mars soll nach dem Jahrbuch der »Sternenhimmel 2008« am 5. Dezember 2008 um 23:04h in Konjunktion zur Sonne stehen. Berechnen Sie für diesen Zeitpunkt mittels der oskulierenden Bahnelemente nach vorstehendem Muster eine Ephemeride für den Planeten und bestätigen Sie so die Aussage. Berücksichtigen Sie in einem zweiten Durchgang den Effekt der Lichtzeit. Welche Verbesserung bringt das für die Ephemeride?



Nachweise:

  1. P. Bretagnon „Théorie du mouvement de l'ensemble des planètes. Solutions VSOP82“. Astronomy and Astrophysics 214 (1982)
  2. Das britisch-amerikanische Jahrbuch liefert für die großen Planeten jährlich oskulierende Elemente im Abstand von 40 Tagen.
  3. Link: http://www.ipa.nw.ru/PAGE/DEPFUND/LSBSS/enguemp.htm

Newtonsche Mechanik[Bearbeiten]

Isaac Newton

Bereits Kepler hatte vermutet, dass eine von der Sonne auf die Planeten ausgeübte Kraft für deren Bewegung verantwortlich und so letztlich Ursache der von ihm gefundenen Gesetzmässigkeiten sei. Es war jedoch dem Engländer Sir Isaac Newton (1642[jul.] – 1727[greg.]) vorbehalten, eine geschlossene Theorie der Mechanik zu entwickeln, die auch die Planetenbewegungen umfassten. In seinem 1687 erstmals veröffentlichten Hauptwerk »Philosophiae Naturalis Principia Mathematica« (Mathematische Grundlagen der Naturwissenschaften) formulierte er vier Gesetze, die für alle Bewegungen auf der Erde und im Weltall gelten. Damals war es ein revolutionärer Gedanke, dass die Bewegungen im Weltall den gleichen Gesetzen folgen sollten wie die Bewegungen auf der Erde. Newtons Ansatz hat sich aber bewährt. Ergänzend zu den Bewegungsgesetzen formulierte er das Gravitationsgesetz als Anziehung zwischen beliebigen Körpern.


Erstes Gesetz oder Trägheitsprinzip:

Ein Körper, auf den keine Kraft einwirkt, oder für den die einwirkenden Kräfte sich aufheben, verharrt im Zustand der Ruhe oder der geradlinig-gleichförmigen Bewegung.


Zweites Gesetz oder Aktionsprinzip:

Ursache für die Bewegungsänderung eines Körpers ist eine Kraft. Die durch die Kraft F hervorgerufene Änderung der Bewegungsgrösse p ist zu dieser proportional, und beide Vektoren haben die gleiche Richtung. Mathematisch[1]:

 \overrightarrow{F} \quad \equiv \quad \boldsymbol{F} \quad = \quad \frac {\Delta \boldsymbol{p}}{\Delta t} \quad = \quad


 \frac{\Delta (m \cdot \boldsymbol{v})}{\Delta t} \quad = \quad m \cdot \frac{\Delta \boldsymbol{v}}{\Delta t} \quad = \quad m \cdot \boldsymbol{a}


In dieser Gleichung bedeuten: F die Kraft („Force“); p = m∙v die Bewegungsgrösse oder der Impuls; m die Masse des bewegten Körpers; v die Geschwindigkeit („velocity“); a die Beschleunigung („acceleration“); t die Zeit („time“); Δ steht als Symbol für die Änderung der dahinter stehenden Grösse[2]. Dabei haben wir vorausgesetzt, dass die Masse des bewegten Körpers unveränderlich sei. In den meisten Fällen stimmt das auch, sofern wir im Rahmen der klassischen Physik bleiben. Zwei bekannte Ausnahmen sind die Raketen und die Kometen, die beide Masse ausstossen, wodurch sich ihre Gesamtmasse ändert.


Drittes Gesetz oder Reaktionsprinzip:

Kräfte treten immer in Paaren auf: übt ein erster Körper auf einen zweiten Körper die Kraft F12 aus, so übt der zweite auf den ersten die Kraft F21 = –F12 aus.

Die beiden Kräfte sind gleich gross, aber entgegen gesetzt gerichtet, und wirken auf verschiedene Körper. Die offensichtlichste Bestätigung dieses Gesetzes sieht man beim Zusammenstoss zweier Billardkugeln oder am Rückstoss eines feuernden Geschützes.


Viertes Gesetz oder Superpositionsprinzip:

Vektoraddition in der Ebene

Wirken auf einen Körper n verschiedene Einzelkräfte F1, F2, F3, …, Fn, so addieren sie sich in ihrer Wirkung vektoriell zu einer Gesamtkraft F = F1 + F2 + F3 + … + Fn.

Man bezeichnet dieses Gesetz auch etwa als Prinzip der ungestörten Überlagerung: es besagt, dass sich Kräfte gegenseitig nicht beeinflussen, sondern dass sie (vektoriell!) zu einer Gesamtkraft addiert werden.


Das Gravitationsgesetz:

Zwei Körper mit den Massen m1 und m2 im Abstand r üben aufeinander eine anziehende Kraft aus, die ihren Massen direkt und dem Quadrat ihres Abstandes indirekt proportional ist. Dabei wirkt die Kraft in der Richtung der Verbindungslinie der beiden Schwerpunkte. Ihr Betrag berechnet sich nach der Formel:


 F \quad = \quad G \cdot \; \frac{m_1 \cdot m_2} {r^2}


G ist die sog. Gravitationskonstante:

 G \quad = \quad 6.674 \cdot 10^{-11} \; \mathrm{m^3 kg^{-1} s^{-2}}


Gauss hat das Gravitationsgesetz für die Himmelsmechanik in anderen Einheiten formuliert. Im Sonnensystem ist m1 = M (Einheit für die Massenbestimmung im Sonnensystem ist die Sonnenmasse), und m2 als Masse des Planeten kann als Bruchteil μ der Sonnenmasse geschrieben werden: m2 = μ ∙ M. Der Abstand r kann als Vielfaches ρ der Einheitsdistanz A (1 AE = 149.6 ∙ 109 m) geschrieben werden: r = ρ ∙ A. Für die Zeit benutzte er die Zeiteinheit Sonnentag zu 86 400 s. Damit erhält das Gravitationsgesetz für Körper im Sonnensystem folgende Gestalt:


 F \quad = \quad \left( G \cdot \frac{1.9984 \cdot 10^{30} \cdot 86\;400^2}{(1.496 \cdot 10^{11})^3} \right) \cdot \frac{1 \cdot \mu}{\rho^2} \quad = \quad k^2 \cdot \frac{\mu}{\rho^2}


Diese Fassung hat den Vorteil, unabhängig von den konkreten Werten der Sonnenmasse, der astronomischen Einheit und der Gravitationskonstanten zu sein. Mehr noch: die Konstante k bzw. k2 ist eine Konstante des Sonnensystems. Die Konstante k bzw. k2 heisst Gauss'sche Gravitationskonstante. Es gilt:


 k \quad = \quad 0.017\;202\;098\;95 \; \mathrm{AE^{\frac{3}{2}} M_{\odot}^{-\frac{1}{2}} Day^{-1}}


Da man in der Regel nicht am Absolutwert der Kraft interessiert ist, sondern an der Wirkung, ist diese Einheitenumrechnung nicht nachteilig. Heute wird die Gauss'sche Gravitationskonstante benutzt, um den Wert der astronomischen Einheit zu definieren – die Definition hat sich also in der Zwischenzeit von ihrem direkten Zusammenhang mit der Erdbahn gelöst.

Üblicherweise macht man noch folgende Vereinfachungen: die Gravitationskraft eines ausgedehnten Körpers wie z.B. der Erde auf einen ausserhalb befindlichen Körper wirkt so, als wäre seine ganze Masse im Schwerpunkt konzentriert. Dies ist die Idee des sogenannten Massenpunktes.


Ein Körper der Masse m, der auf einer Kreisbahn vom Radius r ein Zentrum mit konstanter Geschwindigkeit v umrundet, vollführt eine beschleunigte Bewegung: die Bewegungsrichtung muss dauernd geändert werden. Dazu ist nach den ersten beiden Gesetzen eine Kraft nötig, die mit dem Impuls dauernd einen rechten Winkel bilden muss (sonst würde sie auch den Betrag der Geschwindigkeit ändern). Benötigt der Körper für einen vollen Umlauf die Zeit T, dh. vollführt er die mittlere Bewegung pro Zeiteinheit n (gemessen im Bogenmass), dann berechnet sich diese Zentralkraft nach der Formel

 F_z \quad = \quad m \cdot \frac{v^2}{r} \quad = \quad m \cdot \frac{4 \pi^2}{T^2} \cdot r \quad = \quad m \cdot n^2 \cdot r


Illustration zur nebenstehenden Ableitung der Formel für die Zentralkraft

Zur Herleitung dieser Formel: der Vergleich mit dem Aktionsprinzip zeigt, dass bei der gleichmässigen Kreisbewegung offensichtlich gelten muss:

 \frac{\Delta v}{\Delta t} \quad = \quad \frac{v^2}{r}


Betrachten wir die Positionen P1, P2, P3 eines gleichmässig auf einem Kreis mit Radius r umlaufenden Körpers. Der zeitliche Abstand zwischen den Positionen betrage Δt. Die Geschwindigkeit in den drei Punkten sei v1, v2, v3. „Gleichmässige Kreisbewegung“ heisst: die Beträge der drei Vektoren – geometrisch ihre Länge – sind gleich, aber die Richtungen sind verschieden. Das zwischen zwei Punkten liegende Bogenstück hat die Länge v ∙ Δt. Wir verschieben die drei Vektoren parallel, so dass ihre Anfangspunkte in Z zu liegen kommen, und tragen die Geschwindigkeitsänderungen Δv1 = v2v1 und Δv2 ein. Offensichtlich gilt auch bei diesen Vektoren, dass die Beträge, dh. die Längen, gleich sind, aber die Richtungen sich unterscheiden. Lassen wir nun die Zeit Δt immer kürzer werden, so wird der Winkel α immer kleiner und die Bogenstücke zwischen den Punkten immer kürzer. Ist α genügend klein, wird aus dem Bogenstück eine gerade Strecke, aus dem Sektor wird ein schmales Dreieck. Diese Dreiecke sind ähnlich zu den Dreiecken, die von den Geschwindigkeitsvektoren aufgespannt werden:

 r \; \text{:} \; \Delta t \cdot v \quad = \quad v \; \text{:} \; \Delta v \qquad \Leftrightarrow \qquad v^2 \cdot \Delta t \quad = \quad r \cdot \Delta v


 \Leftrightarrow \qquad \frac{\Delta v}{\Delta t} \quad = \quad \frac{v^2}{r}


Setzen wir in diese Gleichung die folgenden Beziehungen ein, entstehen die beiden anderen Fassungen:


 v \quad = \quad \frac{2 \pi r}{T} \quad = \quad n \cdot r



Übungen:

  • Ein Auto von 750 kg Masse soll in 10 s von 0 auf 30 m/s (entspricht 108 km/h) beschleunigt werden. Welche mittlere Kraft muss der Motor dafür entwickeln?
  • Ein Mensch steht am Äquator auf Meereshöhe an der Oberfläche der Erde. Welche Kraft ist nötig, ihn bei der täglichen Rotation der Erde um ihre eigene Achse auf der Erdoberfläche zu halten?
  • Zwei Menschen von je 75 kg stehen sich im Abstand 1 m gegenüber (Schwerpunkt zu Schwerpunkt). Mit welcher Kraft ziehen sie sich an?
  • Ein Mensch von 80 kg Masse steht am Erdäquator bzw. am Pol auf Meereshöhe an der Erdoberfläche. Mit welcher Kraft wird er von der Erde in den beiden Fällen angezogen? Betrachten Sie beide beteiligten Körper als Massenpunkte, die einen Erdradius Abstand voneinander haben.
  • Ein Auto von 600 kg soll eine Kurve von 50 m | 100 m | 200 m Radius mit der Geschwindigkeit 10 m/s | 15 m/s | 20 m/s | 30 m/s durchfahren. Berechnen Sie die in diesen Fällen nötige Zentralkraft! Um welche Kraft handelt es sich, die diese Kurvenfahrten ermöglicht?
  • Nehmen Sie zur Vereinfachung an, die Erde umrunde die Sonne auf einer Kreisbahn vom Radius 150 Millionen km. Welche Zentralkraft ist nötig, damit die Erde auf dieser Bahn bleibt?
  • Berechnen Sie die Gravitationskraft, die die Sonne auf die Erde ausübt, und vergleichen Sie das Ergebnis mit der Lösung zur voranstehenden Übung.



Nachweise:

  1. Ob Vektoren mit fett gedruckten Formelsymbolen oder mit einem Pfeil über dem Formelsymbol dargestellt werden, spielt keine Rolle.
  2. Streng genommen gilt dieses Gesetz nur für beliebig kleine Zeiteinheiten Δt, oder wie der Mathematiker sagt: im Grenzfall, dass Δt gegen Null strebt.

Zweikörperproblem[Bearbeiten]

Situation beim sog. Zweikörperproblem

Wir betrachten die Bewegung eines einzelnen Planeten unter dem Einfluss der Gravitationsanziehung durch die Sonne. Eine erste Feststellung betrifft die Sonne: sie kann entgegen dem 1. Keplergesetz nicht unbewegt im Zentrum des Sonnensystems sitzen. Wenn die Sonne S den Planeten P mit der Gravitationskraft FSP anzieht, dann zieht wegen dem Reaktionsprinzip der Planet die Sonne mit der genau gleich grossen, aber entgegen gesetzt gerichteten Kraft FPS = –FSP an. Wäre die Sonne bewegungslos, dann würde sie auf den Planeten zu beschleunigt und irgend wann würden die beiden Himmelskörper kollidieren. Das System kann nur dann stabil sein, wenn beide Körper gemeinsam einen Punkt O umrunden. Um seine Lage zu berechnen, nehmen wir zur Vereinfachung an, dass beide Körper auf einer Kreisbahn mit Radius r1 (Sonne) bzw. r2 (Planet) um O laufen. Ihr Abstand voneinander beträgt r = r1 + r2. Die Zentralkraft, die zB. die Sonne auf ihrer Bahn hält, ist die Gravitationskraft, die vom Planeten ausgeübt wird:

 F_z \quad = \quad m_S \cdot \frac{4 \pi ^2}{T^2} \cdot r_1 \quad = \quad G \cdot \frac{m_S \cdot m_P}{r^2} \quad = \quad F_G


Analog hält die Gravitationskraft der Sonne als Zentralkraft den Planeten auf seiner Bahn:


 m_P \cdot \frac{4 \pi^2}{T^2} \cdot r_2 \quad = \quad G \cdot \frac{m_P \cdot m_S}{r^2}


Dabei haben wir unterstellt, dass die beiden Umlaufzeiten gleich sind – andernfalls könnte O kein Fixpunkt sein. Dividieren wir nun die beiden Gleichungen durcheinander, so erhalten wir:


 m_S \cdot r_1 \quad = \quad m_P \cdot r_2 \qquad \Leftrightarrow \qquad r_1 \; \text{:} \; r_2 \quad = \quad m_P \; \text{:} \; m_S


M.a.W.: O teilt die Strecke r im umgekehrten Verhältnis der Massen von Sonne und Planet – dies ist gerade die Definition des Schwerpunktes. Es ist also:


 r_1 \quad = \quad \frac{m_P}{m_P + m_S} \cdot r \quad \text{;} \qquad r_2 \quad = \quad \frac{m_S}{m_P + m_S}


Wegen der dominierenden Masse der Sonne ist der Radius r1 immer sehr viel kleiner als r2. Selbst beim massereichen Jupiter liegt der Schwerpunkt des Paares Sonne – Jupiter knapp oberhalb der Sonnenoberfläche. Die Zeichnung übertreibt also.

Wenden wir diese Erkenntnis nochmals auf die Kreisbewegung des Planeten an, so erhält man:

 F_z \quad = \quad m_P \cdot \frac{4 \pi^2}{T^2} \cdot \frac{m_S}{m_S + m_P} \cdot r \quad = \quad G \cdot \frac{m_S \cdot m_P}{r^2} \quad = \quad F_G


Kürzen wir und formulieren entsprechend um, so erhalten wir:


 \frac{r^3}{T^2} \quad = \quad \frac{G \cdot (m_S + m_P)}{4 \pi^2}


Dies ist die präzisere Fassung des dritten Keplergesetzes: das Verhältnis von dritter Potenz des Bahnradius r (bzw. der grossen Halbachse a im allgemeinen Fall) zum Quadrat der Umlaufzeit T ist proportional zur Summe der beiden Massen. Wiederum gilt: wegen der dominierenden Sonnenmasse konnte der Unterschied zu Keplers Zeit noch gar nicht bemerkt werden.

Die Gravitationskraft ruft eine ebene Bewegung hervor. Die Geraden S1P1 und S2P2 haben O als Schnittpunkt. Sie definieren eine Ebene. In dieser Ebene liegen einerseits die Geschwindigkeitsvektoren tangential zur Bahn (gilt auch für nicht kreisförmige Bahnen), andererseits die Gravitationskräfte zwischen Sonne und Planet. Dann können die Kräfte nach dem Aktionsprinzip die Geschwindigkeitsvektoren nur so verändern, dass sie in der Ebene bleiben – m.a.W.: die Ebene, in der die Bewegung abläuft, bleibt immer die gleiche.

Mit etwas mehr mathematischem Aufwand als wir hier treiben wollen konnte Newton zeigen, dass unter dem Einfluss der Gravitationskraft allgemein Kegelschnitte als Bahnformen resultieren können, also Kreis, Ellipse, Parabel oder Hyperbel. Die ersten beiden Bahnformen sind geschlossen, ein Körper auf einer solchen Bahn bleibt im Sonnensystem. Die letzten beiden sind offene Bahnformen, dh. ein Körper auf einer solchen Bahn stattet der Sonne einen einmaligen Besuch ab, dann verschwindet er für immer in den Tiefen des Weltalls. Parabel- und Hyperbelbahnen findet man unter den nicht periodischen Kometen und gewissen Meteoriden.

Zur Herleitung des Flächensatzes

Bleibt als Letztes die Frage nach der Gültigkeit des zweiten Keplergesetzes oder des sog. Flächensatzes im Rahmen der Newtonschen Gravitation. Hier konnte Newton zeigen, dass jede Bewegung, die durch eine Zentralkraft hervorgerufen wird, den Flächensatz erfüllt. Der Beweis sei mit Hilfe der nebenstehenden Figur geführt: P1, P2 und P3 sind drei Punkte der Bahn, wobei die Zeit t für die Bewegung von P1 nach P2 gleich lang ist wie die Zeit t von P2 nach P3. Würde im Punkt P1 keine Kraft wirken, so würde der Körper sich nach dem Trägheitssatz geradlinig-gleichförmig weiter bewegen und in der Zeit t die Strecke s0 zurücklegen. Stünde er umgekehrt in P1 still, so würde er nach dem Aktionsprinzip durch die Gravitationskraft auf das Zentrum M zu beschleunigt und in der Zeit t die Strecke s'1 zurücklegen. In Wirklichkeit vollführt er nach dem Unabhängigkeitsprinzip eine Bewegung, die durch die vektorielle Addition beschrieben wird: s1 = s0 + s'1. So gelangt er in der Zeit t von P1 nach P2. Hier nochmals die gleichen Überlegungen: nach Trägheitssatz würde er sich in der Zeit t um die Strecke s1 weiter bewegen und nach Q gelangen. Unter Einfluss der Gravitationskraft fällt er in dieser Zeit um s'2 auf das Zentrum, und in Wirklichkeit bewegt er sich um die Strecke s2 und gelangt zum Punkt P3. Zu zeigen ist nun: der Flächeninhalt des Dreiecks MP1P2 ist gleich gross wie der Flächeninhalt des Dreiecks MP2P3. Als Zwischenschritt zeigen wir, dass MP1P2 und MP2Q den gleichen Flächeninhalt haben: die Basis s1 beider Dreiecke liegt auf der gleichen Geraden und sie haben die gleiche Länge. Ihre Höhen sind gleich, da sie in M eine gemeinsame Ecke haben. Folglich haben nach der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts die beiden Dreiecksflächen gleichen Inhalt. Aber auch die Dreiecke MP2Q und MP2P3 haben den gleichen Flächeninhalt: sie haben mit MP2 eine gemeinsame Basis, die dritte Ecke Q bzw. P3 liegt nach Konstruktion auf einer Parallelen zur Basis, folglich haben die beiden Dreiecke ebenfalls den gleichen Flächeninhalt. Damit ist der geforderte Beweis erbracht. Wie eingangs erwähnt machten wir nur von der Tatsache Gebrauch, dass die wirkende Kraft stets auf ein festes Zentrum zeigt – im Zweikörperproblem ist dies der Schwerpunkt, wie weiter oben gezeigt. Der Flächensatz gilt für jede solche Bewegung.

n-Körperproblem[Bearbeiten]

Im Kapitel „Zweikörperproblem“ haben wir die Bewegung von Sonne und Planet unter der gegenseitigen Schwerkraftanziehung behandelt. Dabei haben wir ausser Betracht gelassen, dass auf diese beiden Körper weitere Kräfte wirken: die übrigen Planeten und Körper des Sonnensystems üben ebenfalls eine Anziehungskraft aus. Diese Kräfte sind sehr viel kleiner als die Anziehungskraft der Sonne, aber sie verschwinden nicht.


Beispiel:

Wir vergleichen die durch die Planeten am Ort der Erde hervorgerufene Beschleunigung mit derjenigen der Sonne. Letztere ist für die elliptische Bewegung der Erde verantwortlich. Wir nehmen an, dass die Planeten in der erdnächsten Position stehen. In der ersten Spalte der folgenden Tabelle stehen die jeweiligen Himmelskörper. In der zweiten Spalte die Distanzen in der Einheit m – für die Sonne zur Erde, für alle übrigen die mittlere Entfernung zur Sonne. In der dritten Spalte die kürzeste Entfernung Planet – Erde. In der vierten Spalte die Beschleunigung in m/s2, die am Ort der Erde hervorgerufen wird:


 F \quad = \quad m \cdot a \quad = \quad G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2} \qquad \Leftrightarrow \qquad a \quad = \quad \frac{G \cdot M}{r^2}


In der letzten Spalte ist die relative Grösse der Fallbeschleunigung bezogen auf den von der Sonne verursachten Wert, dazu in Klammern der Rang gegeben. Man sieht: der Jupiter hat den grössten Einfluss, aber die von ihm verursachte Beschleunigung beträgt nur 0.0054% der von der Sonne verursachten Beschleunigung.

Himmelskörper Distanz Beschleunigung
Sonne 1.496 ∙ 1011 5.93 ∙ 10–03
Merkur 5.79 ∙ 1010 9.17 ∙ 1010 2.62 ∙ 10–09 4.41 ∙ 10–07 (5)
Venus 1.08 ∙ 1011 4.14 ∙ 1010 1.89 ∙ 10–07 3.19 ∙ 10–05 (2)
Mars 2.28 ∙ 1011 7.84 ∙ 1010 6.97 ∙ 10–09 1.17 ∙ 10–06 (4)
Jupiter 7.78 ∙ 1011 6.29 ∙ 1011 3.21 ∙ 10–07 5.40 ∙ 10–05 (1)
Saturn 1.43 ∙ 1012 1.28 ∙ 1012 2.30 ∙ 10–08 3.88 ∙ 10–06 (3)
Uranus 2.87 ∙ 1012 2.72 ∙ 1012 7.81 ∙ 10–10 1.32 ∙ 10–07 (6)
Neptun 4.50 ∙ 1012 4.35 ∙ 1012 3.61 ∙ 10–10 6.07 ∙ 10–08 (7)


Die Aufgabe, diejenigen Bahnen zu berechnen, die n Körper unter dem Einfluss ihrer gegenseitigen Gravitationsanziehung beschreiben, nennt man in der Himmelsmechanik das n-Körperproblem. Das Zweikörperproblem ist ein Spezialfall und gleichzeitig der einzige Fall, der allgemein lösbar ist. Ist n ≥ 3, dann ist das Problem analytisch nur lösbar, wenn einschränkende Bedingungen festgelegt werden. Im allgemeinen aber ist das Problem nur numerisch lösbar. Dafür stehen zwei grundsätzlich verschiedene Verfahren zur Verfügung:

  • Numerische Integration
  • Reihenentwicklungen

Numerische Integration heisst in diesem Zusammenhang: man kennt z.B. zu einem bestimmten Zeitpunkt T0 durch genaueste Beobachtung die heliozentrischen kartesischen Ekliptikkoordinaten x, y, z und die entsprechenden Geschwindigkeitskomponenten vx, vy und vz. Ausgehend von diesen Daten werden nun schrittweise neue Werte für die Position x = (x, y, z) und die Geschwindigkeit  \boldsymbol{v} = (v_x, v_y, v_z) = \boldsymbol{\dot x} = (\dot x, \dot y, \dot z) berechnet, wobei das Vorgehen ähnlich demjenigen ist, das wir im vorangehenden Kapitel für den Beweis des Flächensatzes verwendet haben. Die bekannteste Ephemeride, die numerisch integriert wird, ist die vom Jet Propulsion Laboratory JPL in Pasadena (CA) zur Verfügung gestellte Ephemeride DExxx (aktuellste Nummer DE405/406). Sie gibt Ephemeriden für die Zeit von 1600 bis 2200. Für den Amateur von Interesse dürfte sein, aus den Grunddaten auf dem Server der NASA mit dem Programm HORIZONS gezielt einzelne Ephemeriden berechnen zu lassen.

Bei der Reihenentwicklung geht es darum, eine Lösung in der Form einer unendlichen Reihe zu finden. In der Praxis muss die Reihe zwar nach einer endlichen Zahl Gliedern abgebrochen werden, doch sind einige hundert Terme, die zu berechnen sind, keineswegs die Ausnahme. Der bekannteste Vertreter einer solchen Lösung ist die von Bretagnon entwickelte Theorie VSOP87[1], die wir im nächsten Kapitel vorstellen wollen. Allein die Datei für die heliozentrische Länge und Breite sowie den Abstand des Planeten zur Sonne enthält für den Saturn mehr als 5 500 Summanden!



Nachweis:

  1. Variations Séculaires des Orbites Planétaires; die „jüngste“ solche Theorie ist die VSOP2000.

Planeten VSOP87[Bearbeiten]

1982 veröffentlichte Pierre Bretagnon (1943 – 2002)[1] die Theorie VSOP82[2]: eine Reihenentwicklung für die Bahnelemente der acht grossen Planeten Merkur bis Neptun. Genau genommen waren es nicht die klassischen Bahnelemente, sondern die sechs Grössen a (grosse Halbachse), L (mittlere Länge des Planeten), h = e ∙ sin ϖ, k = e ∙ cos ϖ, p = sin(½ i ) ∙ sin Ω und q = sin(½ i ) ∙ cos Ω. Sind diese Grössen berechnet, so findet man daraus leicht die klassischen Bahnelemente. Die Theorie wies allerdings aus Sicht der Amateure zwei grosse Nachteile auf:

  • Die Theorie war im zitierten Artikel in »Astronomy and Astrophysics« zwar beschrieben, aber die eigentlichen Daten – die Koeffizienten und Argumente der Reihenentwicklung – konnten nicht publiziert werden. Es waren schlicht zu viele Daten. Sie waren ausschliesslich auf Magnetband erhältlich.
  • Die Speicherkapazität und die Rechengeschwindigkeit der damaligen PC's und Kleincomputer liess (aus heutiger Sicht!) sehr zu wünschen übrig. Es wäre darum wichtig gewesen zu wissen, bis zu welchem Reihenglied man rechnen soll, wenn man sich mit einer kleineren als der maximal möglichen Genauigkeit begnügen möchte (um Speicherplatz und Rechenzeit zu sparen).

Sechs Jahre später liessen Pierre Bretagnon und Gérard Francou die verbesserte Theorie VSOP87[3] folgen. Sie behob zwar den zweiten Nachteil, aber auch sie war anfänglich nur auf Magnetband verfügbar. Zu Beginn der 90-er Jahre veröffentlichte J. Meeus in seinem Buch »Astronomische Algorithmen«[4] zum ersten Mal einen Teil der Koeffizienten, so dass sie von da an auch für Amateure zugänglich waren – zumindest für Rechnungen, die eine vernünftige, aber eingeschränkte Genauigkeit der Rechnungen ermöglichten. Heute sind die vollständigen Daten im Internet verfügbar und können heruntergeladen werden[5]. In der Zwischenzeit sind Weiterentwicklungen der VSOP-Theorie publiziert worden[6], die aber im Gegensatz zur VSOP87-Theorie nicht über das Internet zugänglich sind. Für die Belange des rechnenden Amateurs genügt aber die Genauigkeit der VSOP87-Theorie in den allermeisten Fällen.

Die Theorie besteht für jeden der acht Planeten aus sechs Dateien, wobei für die Erde teilweise die Erde selber, teilweise das Baryzentrum des Erd-Mond-Systems genommen wurde:

  • Acht Dateien mit Namen VSOP87.xxx (xxx: MER[cury], VEN[us], E[arth-]M[oon-]B[arycenter], MAR[s], JUP[iter], SAT[urn], URA[nus] und NEP[tun]) enthalten die Bahnelemente zu Äquinoktium und Ekliptik der Standardepoche J2000.0 – sie stellen die eigentliche VSOP87-Theorie und in dieser Form eine Verbesserung der VSOP82-Theorie dar.
  • Neun Dateien mit Namen VSOP87A.xxx (zusätzlich zu den acht bereits erwähnten Abkürzungen kommt noch EAR[th] für die Erde) enthalten die Koeffizienten zur Berechnung heliozentrischer kartesischer Koordinaten (X, Y, Z) zu Äquinoktium und Ekliptik der Standardepoche J2000.0
  • Acht Dateien mit Namen VSOP87B.xxx (nur für die Erde) enthalten die Koeffizienten zur Berechnung heliozentrischer sphärischer Koordinaten (r, l, b) zu Äquinoktium und Ekliptik der Standardepoche J2000.0
  • Acht Dateien mit Namen VSOP87C.xxx (nur für die Erde) enthalten die Koeffizienten zur Berechnung heliozentrischer kartesischer Koordinaten (X, Y, Z) zu Äquinoktium und Ekliptik des Datums
  • Acht Dateien mit Namen VSOP87D.xxx (nur für die Erde) enthalten die Koeffizienten zur Berechnung heliozentrischer sphärischer Koordinaten (r, l, b) zu Äquinoktium und Ekliptik des Datums
  • Neun Dateien mit Namen VSOP87E.xxx (für die Erde und zusätzlich für die Sonne) enthalten die Koeffizienten zur Berechnung baryzentrischer kartesischer Koordinaten (X, Y, Z) zu Äquinoktium und Ekliptik der Standardepoche J2000.0 (Schwerpunkt des Sonnensystems)

Jede dieser Dateien ist gleich aufgebaut: da es sich um eine Reihenentwicklung für die Lösung handelt, haben alle Glieder der Entwicklung entweder die Form

 \tau^{\alpha} \cdot (S \cdot \sin \phi \; + \; K \cdot \cos \phi)

oder

 \tau^{\alpha} \cdot A \cdot \cos(B + C \cdot \tau)

In diesen Formeln bedeuten:

  • τ die Anzahl julianischer Jahrtausende bezogen auf die Epoche J2000.0, JD0 = 2 451 545.0; ist JDE das julianische Datum in Ephemeridenzeit für den Zeitpunkt, zu dem eine VSOP-Grösse berechnet werden soll, dann ist also


 \tau \quad = \quad \frac{JDE - JD 0}{365\;250} \quad = \quad \frac{JDE - 2\;451\;545.0}{365\;250}


  • Der Exponent α ist eine ganze Zahl aus [0, 1, 2, 3, 4, 5]; zur Erinnerung: τ0 = 1
  • S, K, A, B und C sind die Koeffizienten der VSOP-Theorie
  • φ ist die Summe aus bestimmten, ganzzahligen Vielfachen ai der mittleren Längen der acht Planeten und der Delaunay-Argumente L9 = D, L10 = F, L11 = L und L12 = Lm für den Mond; φ hat also die Form
a_1 \cdot L_1 \; + \; a_2 \cdot L_2 \; + \; ...\; + \; a_8 \cdot L_8 \; + \; a_9 \cdot D \; + \; a_{10} \cdot F \; + \; a_{11} \cdot L \; + \; a_{12} \cdot L_m


Die mittleren Längen und die Delaunay-Argumente sind Winkel im Bogenmass und werden mit den folgenden Formeln berechnet[7]:


L_1 \quad = \quad 4.40260884240 \; + \; 26087.9031415742 \cdot \tau \qquad \text{Merkur}
L_2 \quad = \quad 3.17614669689 \; + \; 10213.2855462110 \cdot \tau \qquad \text{Venus}
L_3 \quad = \quad 1.75347045953 \; + \; 6283.0758499914 \cdot \tau \qquad \text{Erde}
L_4 \quad = \quad 6.20347611291 \; + \; 3340.6124266998 \cdot \tau\qquad \text{Mars}
L_5 \quad = \quad 0.59954649739 \; + \; 529.6909650946 \cdot \tau \qquad \text{Jupiter}
L_6 \quad = \quad 0.87401675650 \; + \; 213.2990954380 \cdot \tau \qquad \text{Saturn}
L_7 \quad = \quad 5.48129387159 \; + \; 74.7815985673 \cdot \tau \qquad \text{Uranus}
L_8 \quad = \quad 5.31188628676 \; + \; 38.1330356378 \cdot \tau \qquad \text{Neptun}
L_9 \quad = \quad 5.19846674103 \; + \; 77713.7714681205 \cdot \tau \qquad \text{Mond} \; D
L_{10} \quad = \quad 1.62790523337 \; + \; 84334.6615813083 \cdot \tau \qquad \text{Mond} \; F
L_{11} \quad = \quad 2.35555589827 \; + \; 83286.9142695536 \cdot \tau \qquad \text{Mond} \; L
L_{12} \quad = \quad 3.81034454697 \; + \; 83997.0911355954 \cdot \tau \qquad \text{Mond} \; L_m


Der Aufbau der Dateien VSOP87y.xxx werde am Beispiel VSOP87D.VEN erläutert:

  • Die erste Zeile der Datei lautet:
  VSOP87 VERSION D4 VENUS VARIABLE 1 (LBR)  *T**0 367 TERMS HELIOCENTRIC DYNAMICAL ECLIPTIC AND EQUINOX OF THE DATE  
Zu lesen: Es handelt sich um eine VSOP87-Datei: „VSOP87“, und zwar um die Version D oder gleichbedeutend um die Nummer 4: „D4“. Es betrifft den Planeten Venus: „VENUS“. Es folgen Reihenglieder für die erste der drei Variablen L (ekliptikale Länge), B (ekliptikale Breite) und R (Abstand von der Sonne): „VARIABLE 1 (LBR)“. Die Terme sind mit τ0 = 1 zu multiplizieren: „*T**0“[8]. Insgesamt gibt es 367 Terme: „367 TERMS“. Zur Präzisierung: es handelt sich um „HELIOCENTRIC DYNAMICAL ECLIPTIC AND EQUINOX OF THE DATE“.
  • Danach folgen zeilenweise die 367 Koeffizienten zur Berechnung von L0.
  • Eine weitere Zeile ähnlich der ersten leitet den zweiten Block ein. Der Unterschied besteht in zwei Positionen: „*T**1“ bedeutet, dass die Summe am Schluss mit τ1 zu multiplizieren ist. Und es sind „nur“ noch 215 Terme zur Berechnung von L1 nötig.
  • Danach folgt die Überschriftszeile für jene 70 Terme, die addiert L2 ergeben und die mit τ2 zu multiplizieren sind.
  • Die nächste Überschriftszeile leitet den Abschnitt für jene 9 Terme ein, die addiert L3 ergeben und die mit τ3 zu multiplizieren sind.
  • Die letzten beiden Überschriftszeilen stehen über Abschnitten von je 5 Termen, die L4 bzw. L5 ergeben, und die mit τ4 bzw. τ5 zu multiplizieren sind.
  • Sind alle diese Rechnungen durchgeführt, dann findet man die ekliptikale Länge der Venus, bezogen auf Ekliptik und Äquinoktium des Datums:
L \quad = \quad L_0 \; + \; L_1 \cdot \tau \;+ \; L_2 \cdot \tau^2 \; + \; L_3 \cdot \tau^3 \; + \; L_4 \cdot \tau^4 \; + \; L_5 \cdot \tau^5
  • Nach den Koeffizienten für L folgen die Terme für B, wiederum gegliedert für B0 (210 Terme), B1 (133 Terme), B2 (59 Terme), B3 (15 Terme), B4 (5 Terme) und schliesslich B5 (4 Terme) – jeder Block eingeleitet mit einer Überschriftenzeile wie oben erläutert.
  • Am Schluss der Datei folgen die Terme für die Berechnung von R, wiederum aufgespalten in Blöcke für R0, R1, R2, R3, R4 und R5.
  • Eine einzelne Zeile hat folgende Gestalt (zur Illustration willkürlich herausgegriffen: Zeilen 11 und 12 aus dem Block 4223):
 4223   11  0  1 -2  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0.00000000017    -0.00000000003     0.00000000017 2.05293621864    2352.86615377180 
 4223   12  0  2  0 -3  0  0  0  0  0  0  0  0  0.00000000009    -0.00000000007     0.00000000011 4.33056892256   10404.73381232260

Die Blocknummer 4223 bedeutet: Version 4 (D) von Planet 2 („VENUS“) der Variablen 2 („B“) des dritten Teilsummanden („B3“), gleichbedeutend mit dem Exponenten von τ. Danach folgen die Nummern der Zeile, gleichzeitig die Nummer der Teilsummanden. Dann folgen die 12 Koeffizienten ai zur Berechnung von φ – in der Regel sind die meisten von ihnen Null. Danach folgen die Koeffizienten S, K, A, B und C in dieser Reihenfolge. Zeile 11 ist also wie folgt zu lesen (alle Koeffizienten ai ausser a2 = 1 und a3 = –2 sind Null):


\phi \quad = \quad 1 \cdot L_2 \; + \; (-2) \cdot L_3 \quad = \quad L_2 \; - \; 2 \cdot L_3
0.00000000017 \cdot \sin(L_2 - 2 L_3) \; - \; 0.00000000003 \cdot \cos (L_2 - 2 L_3)
0.00000000017 \cdot \cos(2.05293621864 + 2352.86615377180 \cdot \tau)


Man muss sich vorgängig entscheiden, ob man die erste Fassung (1. Zeile: Argument, 2. Zeile: Summand) oder die zweite Fassung (3. Zeile) wählt, und dann alle Terme nach diesem Verfahren berechnen. Die Berechnung erfordert einigen Aufwand: allein zur Berechnung von B der Venus sind insgesamt 426 Summanden zu berechnen.


Nachweise:

  1. Bretagnon war Mitarbeiter des Service de Mécanique Céleste im Bureau des Longitudes in Paris.
  2. Pierre Bretagnon: Théorie du mouvement de l'ensemble des planètes. Solution VSOP82. In: Astronomy and Astrophysics 114 (1982). o.V., S. 278–288
  3. P. Bretagnon, G. Francou: Planetary theories in rectangular and spherical variables. VSOP87 solutions. In: Astronomy and Astrophysics 202 (1988). o.V., S. 309–315
  4. Astronomische Algorithmen; Jean Meeus; 1992, Verlag Johann Ambrosius Barth, Leipzig/Berlin/ Heidelberg; ISBN 3-335-00318-7
  5. Eine von verschiedenen Quellen ist der ftp-Server des IMCCE Institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides in Paris: ftp://ftp.imcce.fr/pub/ephem/planets/vsop87/
  6. X. Moisson and P. Bretagnon, Analytical Planetary Solution VSOP2000; Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 80 (2001), p. 205 – 213; A. Fienga, J. Laskar, J.L. Simon, H. Manche, M. Gastineau, IMCCE Planetary Ephemerides: Present and Future; Proceedings of the Gaia Symposium "The Three-Dimensional Universe with Gaia" (ESA SP-576). Held at the Observatoire de Paris-Meudon, 4-7 October 2004.
  7. Nach Bretagnon, Francou, a.a.O.
  8. In wissenschaftlichen Kreisen ist die Programmiersprache FORTRAN weit verbreitet. In dieser Sprache wird eine Potenz durch den Operator „**“ dargestellt.

Sonne[Bearbeiten]

Die VSOP87-Theorie gibt – mit Ausnahme der Serie E – keine Entwicklung für die Koordinaten der Sonne bezogen auf ein Koordinatensystem, das fest mit der Erde verbunden ist. Dies ist auch nicht nötig: ist für einen bestimmten Zeitpunkt t der Positionsvektor r SE von der Sonne zur Erde bekannt, so ist die Position der Sonne im erdbezogenen Koordinatensystem durch r ES = –r SE gegeben. Allerdings ist sorgfältig darauf zu achten, welches Koordinatensystem gemeint ist. r SE wird in der Regel entweder auf den Schwerpunkt des Erd-Mond-Systems (Baryzentrum) oder aber auf den Erdmittelpunkt (Geozentrum) bezogen, während wir für Beobachtungen in der Regel den Beobachtungsort auf der Erdoberfläche benötigen (Topozentrum). Im weiteren ist darauf zu achten, für welches Äquinoktium die Koordinatensysteme festgelegt sind – sie müssen darin übereinstimmen. In einem späteren Kapitel werden wir zeigen, wie auf diese Weise Sonnenephemeriden berechnet werden können.

Die Erdbahn – und damit nach dem eben Gesagten auch die scheinbare Sonnenbahn – ist durch eine kleine Exzentrizität gekennzeichnet: e beträgt nur 0.0167. In diesem Fall ist es nicht nötig, die Keplergleichung zu lösen, um die wahre Anomalie v bestimmen zu können. Durch eine Näherungsformel kann sie direkt berechnet werden (auf der Basis einer Reihenentwicklung):


 \begin{align} v \; - \; M \quad  \equiv \quad C \quad & = \quad \left( 2 e \; - \; \frac{e^{3}}{4} \; + \; \frac{5}{96} e^{5} \right) \cdot \sin M \quad \\ &+ \quad \left( \frac{5}{4} \; e^{2} \; - \; \frac{11}{24} \; e^{4}  \right) \cdot \sin (2 M) 
 \qquad \\ &+ \; \left( \frac{13}{12} \; e^3 \; - \; \frac{43}{64} \; e^5 \right) \cdot \sin (3 M) \quad \\ &+ \quad \frac{103}{96} \; e^4 \cdot \sin (4 M) \quad + \quad \frac{1097}{960} \; e^5 \cdot \sin (5 M) \end{align}



Diese Gleichung für die Grösse C ist bekannt unter dem Namen Mittelpunktsgleichung, das Ergebnis ist im Bogenmass. Die Grösse C gibt an, wieviel ein Planet auf einer Keplerbahn einem fiktiven Himmelskörper vorauseilt oder hinterher rennt, der die Sonne auf einer Kreisbahn gleichmässig umläuft.

Für den Bahnradius r existiert ebenfalls eine Reihenentwicklung:


\begin{align} \frac{r}{a} \quad &= \quad 1 \quad + \quad \frac{e^2}{2} \quad - \quad \left( e \; - \; \frac{3}{8} \; e^3 \; + \; \frac{5}{192} \; e^5 \right) \; \cos M  \quad \\ & - \quad \left( \frac{e^2}{2} \; - \; \frac{e^4}{3} \right) \; \cos (2 M) 
\; \\ & - \; \left( \frac{3}{8} \; e^3  \; - \; \frac{45}{128} \; e^5 \right) \; \cos (3 M) \quad \\ & -  \quad \frac{e^4}{3} \; \cos (4 M) \quad - \quad \frac{125}{384} \; e^5 \; \cos (5 M) \end{align}


Ist die Länge des Perigäums der Sonnenbahn in der Ekliptik bekannt, lassen sich damit zumindest genäherte Sonnenpositionen berechnen.

Zeitgleichung[Bearbeiten]

Bereits im Kapitel 2.2 haben wir von der Zeitgleichung gesprochen. Jetzt sind die Grundlagen gelegt, um diese Grösse präzise zu definieren:

Die wahre Sonnenzeit wird durch die Position der wahren Sonne S am Erdhimmel bestimmt. Sie bewegt sich unregelmässig auf der Ekliptik. Ihre Position kann durch verschiedene Grössen dargestellt werden: im rotierenden geozentrischen Äquatorsystem dienen Rektaszension α = (♈S) und Deklination δ = (SF) zur Positionsfestlegung, im festen geozentrischen Äquatorsystem Stundenwinkel τ und Deklination δ. Über die lokale Sternzeit θ sind die Koordinaten beiden Systeme miteinander verbunden:

 \tau_\odot \quad = \quad \theta \; - \; \alpha_\odot

Andererseits haben wir bereits in Kap. 4.6 den Zusammenhang zwischen dem Stundenwinkel τ und der wahren Ortszeit WOZ hergestellt:

 WOZ \quad  = \quad \tau_\odot \; + \; 12^\text{h}


Wahre und mittlere Sonne auf Ekliptik und Äquator

Eine andere Möglichkeit, die Position der wahren Sonne zu bestimmen, ist die entlang der Ekliptik vom Perigäum aus gemessene wahre Anomalie v = (PS) = λ + ϖ, mit λ der Länge der Sonne in der Ekliptik und ϖ = (♈P) der Länge des Perigäums.

Um die mittlere Ortszeit MOZ zu definieren, benötigen wir zwei Hilfssonnen: die erste (I) startet zeitgleich mit der wahren Sonne S im Perigäum (P) und läuft gleichmässig auf der Ekliptik so, dass sie nach einem Jahr zusammen mit der wahren Sonne wiederum das Perigäum erreicht. Ihre Position auf der Ekliptik wird durch die mittlere Anomalie M = (PI) auf der Ekliptik vom Perigäum aus oder ihre geozentrische, ekliptikale Länge λI = (♈I) gemessen.


Da die Ekliptik gegen den Äquator um den Winkel ε – die Schiefe der Ekliptik – geneigt ist, taugt die eben definierte Hilfssonne noch nicht, um ein gleichmässig ablaufendes Zeitmass festzulegen. Wir definieren darum eine zweite fiktive Hilfssonne (II), die zeitgleich mit der ersten im Schnittpunkt von Ekliptik und Äquator, dem Frühlingspunkt ♈, startet, und mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit wie die erste Hilfssonne auf dem Äquator umläuft. Jeweils im Frühlings- und Herbstpunkt treffen sich die beiden Hilfssonnen. Ihre Position wird am besten durch die vom Frühlingspunkt ♈ aus gemessene Rektaszension αII = (♈II) beschrieben. Weil beide Hilfssonnen die gleiche Winkelgeschwindigkeit haben, gilt: (♈I) = (♈II) bzw. λI = αII.


Die zweite Hilfssonne ist nun diejenige, die das gleichmässig ablaufende Zeitmass MOZ definiert, und zwar über die Beziehung:

 MOZ \quad = \quad \tau_\text{II} \; + \; 12^\text{h} \quad ; \qquad \tau_\text{II} \quad = \quad \theta \; - \; \alpha_\text{II}


Damit finden wir für die Zeitgleichung:

  ZGL \quad = \quad WOZ \; - \; MOZ \quad = \quad \tau_\odot \; - \; \tau_\text{II} \quad = \quad \alpha_\text{II} \; - \; \alpha_\odot

und daraus

 ZGL \quad = \quad \alpha_\text{II} \; - \; \alpha_\odot \quad = \quad \lambda_\text{I} \; - \; \alpha_\odot
 \quad = \quad (\lambda_\text{I} \; - \; \lambda_\odot) \; + \; (\lambda_\odot \; - \; \alpha_\odot)

Wegen

 \lambda_\text{I} \; - \; \lambda_\odot \quad = \quad (\lambda_\text{I} \; + \; \overline{\omega} ) \; - \; (\lambda_\odot \; + \; \overline{\omega} ) \quad = \quad M \; - \; v \quad = \quad -C


entspricht der erste Teil der Zeitgleichung gerade dem negativen Wert der Mittelpunktsgleichung: damit wird also derjenige Teil der Zeitgleichung dargestellt, der auf die ungleichförmige Keplerbewegung zurückzuführen ist. Der Term λα berücksichtigt den Unterschied der Bewegung auf der Ekliptik und dem Äquator und heisst darum Reduktion auf den Äquator. Im rechtwinkligen sphärischen Dreieck ♈FS gilt die Beziehung

 \tan \alpha_\odot \quad = \quad \cos \ \varepsilon \; \cdot \; \tan \lambda_\odot


Diese Gleichung kann ähnlich wie die Mittelpunktsgleichung in eine Reihe entwickelt werden:

\begin{align} \lambda_\odot \; - \; \alpha_\odot \quad =& \quad \tan^2 \frac{\varepsilon}{2} \; \cdot \; \sin (2 \lambda_\odot) \; \\ & - \; \frac {1}{2} \tan^4 \frac{\varepsilon}{2} \; \cdot \; \sin (4 \lambda_\odot) \; \\ & + \; \frac{1}{3} \tan^6 \frac{\varepsilon}{2} \; \cdot \; \sin (6 \lambda_\odot) \; \mp \; \cdots \end{align}


Zu einem ersten Zwischenresultat zusammengefasst ergibt sich damit

  \qquad ZGL \quad = \quad -2 e \sin M \; - \; \frac{5}{4} e^2 \sin(2 M) \; + \; \tan^2 \frac{\varepsilon}{2} \; \cdot \; \sin (2 \lambda_\odot) \; - \; \frac {1}{2} \tan^4 \frac{\varepsilon}{2} \; \cdot \; \sin (4 \lambda_\odot) \qquad \quad \text{(A)} 

wobei alle Terme ab e3 bzw. tan6 (ε/2) weggelassen wurden. Dies ist gerechtfertigt, denn es ist: e ≈ ¹⁄₆₀ und ε ≈ 23.5°, also tan (ε/2) ≈ ¹⁄₅. Die Terme der Gleichung sind im Bogenmass.

Für die Interpretation der Zeitgleichung ist diese Form sehr günstig: die beiden dominanten Terme sind –2e∙sin(M) bzw. tan²(ε/2)∙sin(2λ). Der erste Term, der von der Mittelpunktsgleichung stammt, hat den Wert Null, falls M = 0 oder M = π ist, was im Perihel und im Aphel der Fall ist. Dieser Term hat eine Periode von einem Jahr. Der zweite Term, der von der Reduktion auf den Äquator stammt, hat den Wert Null, falls 2λ = 0 bzw. 2λ = π ist, was beim Durchgang durch den Frühlingspunkt, nach einem Vierteljahr, nach einem Halbjahr und nach drei Vierteljahren der Fall ist, also etwa zu den Zeiten von Frühlings-, Sommer-, Herbst- und Winterbeginn. Dieser Term hat eine Periode von einem halben Jahr. Weil die in der Gleichung vorkommenden Parameter e, ε und ϖ (s. auch weiter unten) über lange Zeit nicht konstant sind, bleibt die Zeitgleichung nicht konstant, sondern verändert sich.

Für die Berechnung ist die Form (A) der Zeitgleichung noch ungünstig. Wir formen sie deshalb noch weiter um: einerseits ist

 C \quad = \quad v \; - \; M \quad = \quad \lambda_\odot \; - \; \lambda_\text{I}

Folglich

 \lambda_\odot \quad = \quad \lambda_\text{I} \;  + \; C \quad = \quad \lambda_\text{I} \; + \; 2 e \sin M \; + \; \frac{5}{4} e^2 \sin(2 M)

In der Gleichung (A) kommt diese Grösse als Argument des Sinus vor, weshalb wir den Term mit e² weglassen können:

\begin{align} \sin(2 \lambda_\odot) \quad &= \quad \sin(\lambda_\text{I} + 4 e \sin(M)) \quad \\ &= \quad \sin(2 \lambda_\text{I}) \cdot \cos(4 e \sin M) \; + \; \cos(2 \lambda_\text{I}) \cdot \sin(4 e \sin M) \end{align}

was wir vereinfachen können:

 \sin(2 \lambda_\odot) \quad \approx \quad \sin(2 \lambda_\text{I}) \; + \; 4 e \sin M \cdot \cos(2 \lambda_\text{I})

Analog findet man:

 \sin(4 \lambda_\odot) \quad \approx \quad \sin(4 \lambda_\text{I})

Aus der Zeitgleichung in der Form (A) wird damit die Zwischenform:

\begin{align} ZGL \quad =& \quad -2 e \sin M \; - \; \frac{5}{4} e^2 \cdot \sin(2 M) \; + \; \tan^2 \frac{\varepsilon}{2} \sin(2 \lambda_\text{I}) \; \\ &+ \; 4 e \tan^2 \frac{\varepsilon}{2} \cdot \sin M \cdot \cos(2 \lambda_\text{I}) \; - \; \frac{1}{2} \tan^4 \frac{\varepsilon}{2} \cdot \sin(4 \lambda_\text{I}) \end{align}

M und λI hängen zusammen:

 M \quad = \quad \sphericalangle (P \Upsilon) \; + \; \lambda_\text{II} \quad = \quad 360^{\circ} \; - \; \overline \omega \; + \; \lambda_\text{I}


Da M nur als Argument von Winkelfunktionen vorkommt, ersetzen wir M durch λI – ϖ. Mit Hilfe der goniometrischen Formeln für sin(x + y), cos(x + y) und sin x + sin y erhalten wir schliesslich:

  \begin{align}
ZGL \quad = \quad & -[2 e \cos \overline \omega \; + \; 2 e \tan^2 \frac{\varepsilon}{2} \cdot \cos \overline \omega ] \cdot \sin \lambda_\text{I} \; + \; [-2 e \sin \overline \omega \; + \; 2 e \tan^2 \frac{\varepsilon}{2} \cdot \sin \overline \omega] \cdot \cos \lambda_\text{I} \\
            & +[\tan^2 \frac{\varepsilon}{2} \; - \; \frac{5}{4} e^2 \cos (2 \overline \omega)] \cdot \sin (2 \lambda_\text{I})\; + \; [\frac{5}{4} e^2 \sin(2 \overline \omega)] \cdot \cos (2 \lambda_\text{I}) \qquad \qquad \qquad \qquad \text{(B1)}\\
            & +[2 e \tan^2 \frac{\varepsilon}{2} \cdot \cos \overline \omega] \cdot \sin (3 \lambda_\text{I}) \; + \; [- 2 e \tan^2 \frac{\varepsilon}{2} \cdot \sin \overline \omega] \cdot \cos(3 \lambda_\text{I})  \\
            & +[- \frac{1}{2} \cdot \tan^4 \frac{\varepsilon}{2}] \cdot \sin (4 \lambda_\text{I})
\end{align} 


Für die Epoche J2000, also JD0 = 2451545.0, betragen die Werte der Parameter: e = 0.0167086, ε = 23° 26' 21.448", ϖ = 282.937348°. Damit erhält man für die Koeffizienten in den eckigen Klammern die Werte[1] –107.3 s; –428.6 s; 596.1 s; –2.1 s; 4.4 s; 19.3 s; –12.7 s. Damit erhält die Zeitgleichung für diesen Zeitpunkt die Gestalt (Koeffizienten in Zeitsekunden!)

  \begin{align}

ZGL \quad = \quad & -107.3 \cdot \sin \lambda_\text{I} \; - \; 428.6 \cdot \cos \lambda_\text{I} \\

 & + 596.1 \cdot \sin(2 \lambda_\text{I}) \; - \; 2.1 \cdot \cos(2 \lambda_\text{I}) \qquad \qquad \qquad \qquad \text{(B2)} \\


 & + 4.4 \cdot \sin(3 \lambda_\text{I}) \; + \; 19.3 \cdot \cos(3 \lambda_\text{I}) \; - \; 12.7 \cdot \sin(4 \lambda_\text{I})

\end{align}  


Die mittlere Länge λI lässt sich dabei sehr einfach berechnen:

 \lambda_\text{I} \quad = \quad n \cdot (t \; - \;t_0) \;  + \;  \lambda_0

Dabei ist n die mittlere tägliche Bewegung der Sonne am Erdhimmel, t ein beliebiger Zeitpunkt im Laufe des Jahres 2000, t0 der Startzeitpunkt, also die Epoche J2000, und λ0 die mittlere Länge der Sonne zum Zeitpunkt der Epoche, also λ0 = 280.46646°.



Nachweis:

  1. umwandeln vom Bogenmass in Grad und dann in Stunden und schliesslich in Sekunden!