Aufgabensammlung Mathematik: Abschätzung der harmonischen Reihe nach oben

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Abschätzung der harmonischen Reihe nach oben

Beweise für alle natürlichen Zahlen die folgende Ungleichung:

Beweis

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für alle natürlichen Zahlen bewiesen werden soll:

1. Induktionsanfang:

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

2b. Induktionsbehauptung:

2c. Beweis des Induktionsschritts:

Zunächst kann in die zwei Summanden und aufgeteilt werden. Es ist nach Induktionsvoraussetzung. In der zweiten Summe durchläuft alle Werte zwischen und . Damit ist in der zweiten Summe stets größer gleich und somit der Summand kleiner gleich . So lässt sich die Summe nach oben abschätzen: