Aufgabensammlung Mathematik: Stetigkeit (Reelle Analysis einer Veränderlichen)

Stetigkeit (Reelle Analysis einer Veränderlichen)

Gleichmäßige Stetigkeit

Differenzierbare Funktionen mit uneigentlich gegen unendlich konvergenter Ableitung sind nicht gleichmäßig stetig

Sei $f:\R\rightarrow\R$ eine differenzierbare Funktion mit $\lim_{x\rightarrow\infty} f^\prime(x)=\infty$. Beweise, dass dann $f$ keine gleichmäßig stetige Funktion ist.

Lipschitz-Stetigkeit

Lipschitz-stetige Funktionen sind gleichmäßig stetig

Sei $f:\R\rightarrow\R$ Lipschitz-stetig zu Lipschitz-Konstanten $K\in\R^{+}$. Es gilt also

$|f(x)-f(y)|\le K\cdot |x-y|$

für alle $x,y\in \R$. Beweise, dass $f$ gleichmäßig stetig ist.

Differenzierbare Funktionen mit beschränkter Ableitung sind Lipschitz-stetig

Sei $f: [a,b]\rightarrow\R$ eine stetige Funktion, die auf $]a,b[$ differenzierbar ist. Außerdem sei die Ableitung $f^\prime$ beschränkt: Es gibt also ein $M\in\R^{+}_0$ mit $|f^\prime(x)|\le M$ für alle $x\in]a,b[$. Beweise, dass $f$ Lipschitz-stetig ist. Beweise außerdem, dass $f$ gleichmäßig stetig ist.

Stetig differenzierbare Funktionen sind lokal Lipschitz-stetig

Sei $f:D\rightarrow\R$ eine stetig differenzierbare Funktion, wobei $D$ eine offene Teilmenge von $\R$ ist. Beweise, dass $f$ lokal Lipschitz-stetig ist. Beweise also, dass es für alle $x_0\in D$ ein $\epsilon > 0$ gibt, so dass $f$ auf $]x_0-\epsilon,x_0+\epsilon[ \,\cap\, D$ Lipschitz-stetig ist.