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"Spielwiese":

Kalkül

Unter einem Kalkül versteht man ein System von Zeichen mit dazugehörigen Operationsregeln.

Unter Zeichen ganz allgemein verstehet man irgendetwas, das einem anderen, dem Bezeichneten zugeordnet ist; Die Wahrnehmung oder Vorstellung des Zeichens ruft dann im allgemeinen auch die Vorstellung des Bezeichneten hervor. Für Definitionen benutzt man Zeichensysteme. Das wichtigste aller Zeichensysteme ist die Sprache. Sie besteht in erster Folge aus Worten.

Nun gibt es Worte verschiedener Art. Zum Beispiel gibt es Namen, wie Peter und Paul. Sie sind Ausdrücke, die einen Gesgenstand beschreiben. Sobald es eine Art von Ausdrücken gibt, sagt man auch syntaktische Kategorie dazu. Eine solche bezeichnet die Menge der Ausdrücke, von denen jeder für jeden in dedem Ausdruck in einem bestimmten System ersetzt werden kann, derart, dass der durch die Ersetzung (Substitution) gebildete Ausdruck wiederum ein Ausdruck dieses Systems ist. Es gibt also Ausdrücke, die man untereinander ersetzen kann. Man sagt auch sie sind variabel oder, dass die Substitution zulässig ist. Also zum Beispiel kann man sagen:"Peter geht einkaufen." oder "Susi geht einkaufen.", aber "einkaufen geht einkaufen", ist nach den üblichen Regeln der deutschen Sprache unzulässig.

Operationsregeln, auch Deduktionsregeln, oder Folgerungsregeln genannt, sind Regeln, die die zulässige Weise anzeigt, in einem bestimmten System zu deduzieren. In diesem Fall der deutschen Sprache wären es die vielen Rechtschreib- und Grammatikregeln. Manche meinen der Akt der Folgerung sei, dass man aus Festgesetzten Teilaspekte herauslöst. Man sagt auch, dass man aus festgesetzten Axiomen andere Gesetze, die Theoreme, ableitet und setzt fest, dass diese Axiome von Natur aus wahr sind.

Syntaktik, Semantik und Pragmatik; Aussage; Konsistenz/Widerspruchsfreiheit, Vollständigkeit und Unabhängigkeit

Einen Kalkül nennt man logisch gedeutet, falls seinen Elementen logische Kategorien und deren Beziehungen zugeordnet sind. Man kann einen Logikkalkül in erster Linie syntaktisch, semantisch oder pragmatisch aufbauen.

Die Sntaktik ist die Lehre von den Beziehungen der Zeichen untereinander. Zum Beispiel ist eine Beziehung der unterschiedlichen Signale rot, orange, grün einer Verkehrsampel, dass niemals rot und grün gleichzeitig brennen dürfen. Sie haben aber auch viele andere Beziehungen, wie zum Beispiel, dass rot immer (oder oft) oben ist.

Die Semantik ist die Lehre von den Beziehungen zwischen Zeichen und Bezeichneten. In diesem Beispiel wäre das zum Beispiel, dass die rote Lampe, als symbolisches Zeichen, dafür steht, dass man nicht fahren soll, also für ein Gebot.

Die Pragmatik ist die Lehre von den Beziehungen zwischen den Zeichen und ihren Benutzern. In diesem Beispiel, zum Beispiel, wenn man ein neues Zeichen einführt, zum Beispiel blau.

Alle Kalküle sollten drei Eigenschaften unterliegen, der Konsistenz oder Widerspruchsfreiheit, der Vollständigkeit und der Unabhängigkeit.

Unter einer Aussage versteht man einen Ausdruck, also ein (graphisches) Zeichen oder eine Gruppe von Zeichen, der in einem bestimmten System für sich allein stehen kann. Er kann behauptet werden. Traditionell sagt man, dass eine Aussage ein sprachlicher Audruck ist, der einen Sachverhalt intendiert und dadurch den Charakter erhält wahr oder falsch zu sein. Um bei Alltagsaussagen zu bleiben, wäre "Sokrates gilt als der Begründer der Logik." eine wahre Aussage.

Bei der Konsistenz oder Widersruchsfreiheit geht es darum, dass man in einem System keinen Ausdruck und zugleich dessen Negation herleiten kann. Eine mögliche, in diesem Fall logische, Formulierung des Satzes vom Widerspruch lautet:"Der sicherste von allen Grundsätzen ist der, dass widersprechende Aussagen nicht zugleich wahr sind." Anders, aber ebenfalls logisch formuliert lautet er so:"Kein in der Logik Festgesetztes ist mit sich selbst nicht identisch. (D. h. steht mit sich selbst Widerspruch)", oder kürzer:"Kein Festgesetztes ist mit anderen identisch.". Anders, nennen wir es hier positiv, formuliert heißt es:"Jedes in der Logik festgesetzte ist mit sich selbst und nur mit sich selbst identisch." und sagen dazu das Prinzip der Identität. Das Prinzip der Limitation (nach Walther Brüning, hier ebenfalls positiv formuliert) lautet:"Jedes Festgesetzte ist von den anderen, aber nur von den anderen limitativ [d. h. begrenzend, einschränkend] unterscheidbar.". Es würden hier also die bis vor mehreren Jahrezehnten noch implizit so oft angewandten Operationen der Unendlickeit und der Reflexivität explizit ausgeschlossen. Wenn man zum Beispiel eine Fußgängerampel (rot, grün) programmieren will, hat man ein bestimmtes Ziel: nähmlich, dass die Ampel die richtigen Signale zur richtigen Zeit anzeigen. Irgendwo muss man beginnen zu programmieren. Also sagen wir zum Beispiel sie soll nach dem Einschalten die rote Lampe leuchten lassen. Formal kann man dafür ja schreiben: x-o (links ist grün, rechts rot, x heißt angeschalten, o heißt ausgeschalten). Nun setzen wir eine Regel fest, die zeitabhängig (also periodenabhängig) angewandt wird: Jeden zehnten Takt geht das x in ein o über. LORENZEN

Vollständig nennt man ein System, falls betreffende Bereich voll abgedeckt ist, d. h. das sich alle wahren Aussagen des betreffenden Bereichs darin herleiten lassen.