Beweisarchiv

Dieses Buch steht im Regal Mathematik.

Inhalt

Beweisarchiv: Algebra

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente

Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung · Klassifikation endlicher abelscher Gruppen · Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen · Sylow-Sätze

Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz

Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e

Moduln: freie Moduln sind projektiv

Beweisarchiv: Analysis

Ungleichungen: Grönwall'sche Ungleichung · Young'sche Ungleichung

Konvergenz: Herleitung des WALLIS-Produktes · Produktformel von Vieta

Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion · Kriterien für lokale Extrema · Satz von Rolle · Mittelwertsatz · L'Hospitalsche Regel · Taylor-Reihe mit Konvergenzradius Null

Integralrechnung: Gaußsches Integral

Konvexität und Stetigkeit

Beweisarchiv: Arithmetik

Erweiterte Rechenarten

Logarithmus: Logarithmengesetze -

Lösungen von Gleichungen

Gleichungen höheren Grades mit einer Variablen: Quadratische Gleichungen -

Beweisarchiv: Funktionalanalysis

Hilberträume: Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung · Parallelogrammgleichung

Beweisarchiv: Funktionentheorie

Anwendungen im Umfeld des Cauchy'schen Integralsatzes: Fundamentalsatz der Algebra

Beweisarchiv: Geometrie

Planimetrie

Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel · Satz des Ptolemäus · Sehnensatz · Sehnentangentenwinkel · Sehnenviereck · Sekantensatz · Japanischer Satz für konzyklische Vierecke · Satz des Thales

Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras

Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck ·Sechseck ·

Inzidenzgeometrie

affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume

Trigonometrie

Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens

Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit

Existenztheorie: Existenz nicht-fortsetzbarer Lösungen · Satz von Picard-Lindelöf

Lineare Theorie: Liouville'sche Formel

Beweisarchiv: Kryptografie

Sicherheitsdefinitionen: Äquivalente Definitionen informationstheoretischer Sicherheit

Kryptosysteme: Korrektheit des RSA-Kryptosystems · Sicherheit des GMR-Signatursystems

Pseudozufall: Sicherheit des s²-mod-n-Generators

Beweisarchiv: Lie-Algebren

Wurzelsysteme: Klassifikation von Wurzelsystemen

Beweisarchiv: Lineare Algebra

• Endomorphismen: Satz von Cayley-Hamilton · Korrektheit des Algorithmus von Faddejew-Leverrier
• Vektorräume: Jeder Vektorraum hat eine Basis

Beweisarchiv: Mengenlehre

Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren - Komposition - Linksinverse - Linkskürzbarkeit - Rechtsinverse - Rechtskürzbarkeit

Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung - Kardinalität und Bijektionen - Potenzmenge

Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young

Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze - Distributivgesetze - Differenzgesetze

Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element - Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen - Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse - Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl - Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Limes- und Nachfolgerzahlen - Äquivalenz verschiedener Definitionen

Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms - Wohlordnungssatz - Lemma von Zorn

Beweisarchiv: Stochastik

Statistik:

Wahrscheinlichkeitstheorie: Bernstein-Ungleichung

Beweisarchiv: Theoretische Informatik

Sprachen: Pumping-Lemma

Berechenbarkeit: Halteproblem

Beweisarchiv: Zahlentheorie

Elementare Zahlentheorie: Kleiner Satz von Fermat · Satz von Euklid · Satz von Wilson

Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper · Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie · Zerlegungsgesetz

Analytische Zahlentheorie: Irrationalität von $\zeta(3)$ · Primzahlsatz

Beweisarchiv: Topologie

Mengentheoretische Topologie: Satz von Tychonoff

Zusammenfassung des Projekts

• Zielgruppe: Alle Personen, die mathematische Beweise nachschlagen wollen, also Schüler, Studenten und andere.
• Projektumfang: Beweise jeglicher Art, also aus der Mathematik, aus der Mengenlehre, aus der Physik, aus der theoretischen Informatik usw. Man beachte, dass keine weitere Beschränkung auf eine bestimmte Kategorie gelten soll, und dass jeder, der Lust hat, beliebig Erweiterungen vornehmen kann.
• Themenbeschreibung: Zusammenstellung von Beweisen aus Mathematik, Mengentheorie, Theoretischer Informatik – und gerne auch aus anderen naturwissenschaftlichen Gebieten.
• Lernziele: Beweise verstehen und lernen. Dazu diene dieses Nachschlagewerk, in denen solche vorgehalten werden.
• Abgrenzung zu anderen Wikibooks: Hier sollen nur und alleine Beweise eingestellt werden, also keine Einführungen in die Grundlagen und deren Diskussion. Das Beweisarchiv soll eine reine Zusammenstellung von Beweisen sein, auf die auch von anderen mathematischen oder EDV-Büchern aus verlinkt werden kann.
• Regeln:

• Man führe die Beweise möglichst allgemein.
• Um die Einheitlichkeit zu wahren, sollte man die folgende Gliederung benutzen:
  • Kurze Beschreibung des zu behandelnden Problems.
  • Danach die Behauptung.
  • Danach die Beweisführung.
• Alles sollte stets kurz und knapp ausgedrückt werden.
• Trotzdem sollten alle Schritte des Beweises allgemein verständlich sein.
• Wenn in einem Beweis Hilfsätze oder andere mathematisch beweisbare Aussagen verwendet werden, sollten immer Links auf den zugehörigen Beweis verweisen.
• Jeder einzelne Beweis sollte auf einer eigenen Seite geführt werden.
• Zu einem Satz dürfen durchaus mehrere Beweise aufgeführt werden (z.B. direkter und indirekter Beweis).

• Aufbau des Buches:

• Beweisarchiv
  • Kategorie (z.B. Mengenlehre, Geometrie, Numerik...)
    • Unterkategorie (z.B. Problemklassen wie Assoziativgesetze, Funktionen usw.)
      • Die Beweise, jedes Problem auf einer eigenen Seite

Ich bitte darum, dass möglichst viele Leute sich am Wachsen des Buches beteiligen! --Patrixx 16:48, 17. Dez 2005 (UTC)