Beweisarchiv

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Dieses Buch steht im Regal Mathematik.


Inhalt[Bearbeiten]

Beweisarchiv: Algebra

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente
Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung · Klassifikation endlicher abelscher Gruppen · Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen · Sylow-Sätze · Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen
Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz
Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e· Die Existenz der reellen Wurzel
Moduln: freie Moduln sind projektiv


Beweisarchiv: Analysis

Ungleichungen: Grönwall'sche Ungleichung · Young'sche Ungleichung
Konvergenz: Herleitung des WALLIS-Produktes · Produktformel von Vieta · 1/n ist eine Nullfolge · Grundeigenschaften konvergenter Folgen
Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion · Kriterien für lokale Extrema · Satz von Rolle · Mittelwertsatz · L'Hospitalsche Regel · Taylor-Reihe mit Konvergenzradius Null
Integralrechnung: Gaußsches Integral
Konvexität und Stetigkeit


Beweisarchiv: Arithmetik

Erweiterte Rechenarten
Logarithmus: Logarithmengesetze -
Lösungen von Gleichungen
Gleichungen höheren Grades mit einer Variablen: Quadratische Gleichungen -


Beweisarchiv: Funktionalanalysis

Hilberträume: Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung · Parallelogrammgleichung


Beweisarchiv: Funktionentheorie

Anwendungen im Umfeld des Cauchy'schen Integralsatzes: Fundamentalsatz der Algebra


Beweisarchiv: Geometrie

Planimetrie
Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel · Satz des Ptolemäus · Sehnensatz · Sehnentangentenwinkel · Sehnenviereck · Sekantensatz · Japanischer Satz für konzyklische Vierecke · Satz des Thales
Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras
Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck ·Sechseck ·
Inzidenzgeometrie
affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume
Trigonometrie
Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens


Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit
Existenztheorie: Existenz nicht-fortsetzbarer Lösungen · Satz von Picard-Lindelöf
Lineare Theorie: Liouville'sche Formel


Beweisarchiv: Kryptografie

Sicherheitsdefinitionen: Äquivalente Definitionen informationstheoretischer Sicherheit
Kryptosysteme: Korrektheit des RSA-Kryptosystems · Sicherheit des GMR-Signatursystems
Pseudozufall: Sicherheit des s²-mod-n-Generators


Beweisarchiv: Lie-Algebren

Wurzelsysteme: Klassifikation von Wurzelsystemen


Beweisarchiv: Lineare Algebra


Beweisarchiv: Mengenlehre

Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren - Komposition - Linksinverse - Linkskürzbarkeit - Rechtsinverse - Rechtskürzbarkeit
Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung - Kardinalität und Bijektionen - Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze - Distributivgesetze - Differenzgesetze - Grundeigenschaften der Inklusion - De Morgansche Regeln für Mengen
Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element - Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen - Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse - Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl - Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Limes- und Nachfolgerzahlen - Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms - Wohlordnungssatz - Lemma von Zorn


Beweisarchiv: Stochastik

Statistik: Arithmetisches Mittel zweier Zahlen
Wahrscheinlichkeitstheorie: Bernstein-Ungleichung
Kombinatorik: Kombinatorische Eigenschaft des Binomialkoeffizienten


Beweisarchiv: Theoretische Informatik

Sprachen: Pumping-Lemma
Berechenbarkeit: Halteproblem


Beweisarchiv: Zahlentheorie

Elementare Zahlentheorie: Kleiner Satz von Fermat · Satz von Euklid · Satz von Wilson
Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper · Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie · Zerlegungsgesetz
Analytische Zahlentheorie: Irrationalität von \zeta(3) · Primzahlsatz


Beweisarchiv: Topologie

Satz von Tychonoff, Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum, Kompaktheit und Zusammenhang reeller Intervalle



Zusammenfassung des Projekts[Bearbeiten]

  • Zielgruppe: Alle Personen, die mathematische Beweise nachschlagen wollen, also Schüler, Studenten und andere.
  • Projektumfang: Beweise jeglicher Art, also aus der Mathematik, aus der Mengenlehre, aus der Physik, aus der theoretischen Informatik usw. Man beachte, dass keine weitere Beschränkung auf eine bestimmte Kategorie gelten soll, und dass jeder, der Lust hat, beliebig Erweiterungen vornehmen kann.
  • Themenbeschreibung: Zusammenstellung von Beweisen aus Mathematik, Mengentheorie, Theoretischer Informatik – und gerne auch aus anderen naturwissenschaftlichen Gebieten.
  • Lernziele: Beweise verstehen und lernen. Dazu diene dieses Nachschlagewerk, in denen solche vorgehalten werden.
  • Abgrenzung zu anderen Wikibooks: Hier sollen nur und alleine Beweise eingestellt werden, also keine Einführungen in die Grundlagen und deren Diskussion. Das Beweisarchiv soll eine reine Zusammenstellung von Beweisen sein, auf die auch von anderen mathematischen oder EDV-Büchern aus verlinkt werden kann.
  • Regeln:
  • Man führe die Beweise möglichst allgemein.
  • Um die Einheitlichkeit zu wahren, sollte man die folgende Gliederung benutzen:
    • Kurze Beschreibung des zu behandelnden Problems.
    • Danach die Behauptung.
    • Danach die Beweisführung.
  • Alles sollte stets kurz und knapp ausgedrückt werden.
  • Trotzdem sollten alle Schritte des Beweises allgemein verständlich sein.
  • Wenn in einem Beweis Hilfsätze oder andere mathematisch beweisbare Aussagen verwendet werden, sollten immer Links auf den zugehörigen Beweis verweisen.
  • Jeder einzelne Beweis sollte auf einer eigenen Seite geführt werden.
  • Zu einem Satz dürfen durchaus mehrere Beweise aufgeführt werden (z.B. direkter und indirekter Beweis).
  • Aufbau des Buches:
  • Beweisarchiv
    • Kategorie (z.B. Mengenlehre, Geometrie, Numerik...)
      • Unterkategorie (z.B. Problemklassen wie Assoziativgesetze, Funktionen usw.)
        • Die Beweise, jedes Problem auf einer eigenen Seite

Ich bitte darum, dass möglichst viele Leute sich am Wachsen des Buches beteiligen! --Patrixx 16:48, 17. Dez 2005 (UTC)