Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Bahnensatz

Beweisarchiv: Algebra

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente

Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung · Klassifikation endlicher abelscher Gruppen · Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen · Sylow-Sätze · Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen · Lineare Abbildungen und Matrizen

Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz

Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e· Die Existenz der reellen Wurzel

Moduln: freie Moduln sind projektiv

Der Bahnensatz beschreibt eine Bijektion zwischen der Bahn eines Mengenelements unter einer Gruppenoperation und der Menge der (Links-)Nebenklassen der zugehörigen Stabilisatoruntergruppe.

Sei

$\ (G,\cdot )$

eine Gruppe und

$\circ :G\times M\rightarrow M$

eine Gruppenoperation von $G$ auf $M$.

Wir werden folgende Bezeichnungen verwenden:

• $G\circ x:=\{m\in M\ |\ \exists g\in G$ mit $m=g\circ x\}\subseteq M$ sei die Bahn von $x$,
• $G_{x}:=\{g\in G\ |\ g\circ x=x\}\leq G$ die Stabilisatoruntergruppe von $x$ und
• $G/G_{x}:=\{A\in {\mathcal {P}}(G)\ |\ \exists g\in G$ mit $\ A=g\cdot G_{x}\}\subseteq {\mathcal {P}}(G)$ die Menge der (Links-)Nebenklassen von $G_{x}$ in $G$.

Satz

Für jedes

$x\in M$

ist die Abbildung

$G/G_{x}\rightarrow G\circ x\ ,\ g\cdot G_{x}\mapsto g\circ x$

eine wohldefinierte Bijektion.

Beweis

1. Wohldefiniertheit: Aus $s\cdot G_{x}=t\cdot G_{x}$ folgt $s^{-1}\cdot t\in G_{x}$, also $s\circ x=s\circ ((s^{-1}\cdot t)\circ x)=(s\cdot s^{-1}\cdot t)\circ x=t\circ x$.
2. Surjektivität: Ist klar nach Definition der Bahn.
3. Injektivität: Es bezeichne $e$ das neutrale Element von $G$. Aus $s\circ x=t\circ x$ folgt $(s^{-1}\cdot t)\circ x=s^{-1}\circ (t\circ x)=s^{-1}\circ (s\circ x)=(s^{-1}\cdot s)\circ x=e\circ x=x$, also $s^{-1}\cdot t\in G_{x}$. Dies impliziert $s\cdot G_{x}=t\cdot G_{x}$.

$\Box$

Wikipedia-Verweise

Bahnformel