Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Bahnensatz

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Der Bahnensatz beschreibt eine Bijektion zwischen der Bahn eines Mengenelements unter einer Gruppenoperation und der Menge der (Links-)Nebenklassen der zugehörigen Stabilisatoruntergruppe.

Sei

$\ (G, \cdot)$

eine Gruppe und

$\circ: G \times M \rightarrow M$

eine Gruppenoperation von $G$ auf $M$ .

Wir werden folgende Bezeichnungen verwenden:

$G \circ x := \{m \in M\ |\ \exists g \in G$ mit $m = g \circ x\} \subseteq M$ sei die Bahn von $x$ ,
$G_x := \{g \in G\ |\ g \circ x = x \} \leq G$ die Stabilisatoruntergruppe von $x$ und
$G/G_x := \{A \in \mathcal{P}(G)\ |\ \exists g \in G$ mit $\ A = g\cdot G_x\} \subseteq \mathcal{P}(G)$ die Menge der (Links-)Nebenklassen von $G x$ in $G$ .

[Bearbeiten] Satz

Für jedes

$x\in M$

ist die Abbildung

$G/G_x \rightarrow G\circ x\ ,\ g\cdot G_x \mapsto g \circ x$

eine wohldefinierte Bijektion.

[Bearbeiten] Beweis

Wohldefiniertheit: Aus $s \circ G_x = t \circ G_x$ folgt $s^{-1}\cdot t \in G_x$ , also $s \circ x = s \circ ((s^{-1}\cdot t) \circ x) = (s\cdot s^{-1}\cdot t) \circ x = t \circ x$ .
Surjektivität: Ist klar nach Definition der Bahn.
Injektivität: Es bezeichne $e$ das neutrale Element von $G$ . Aus $s \circ x = t \circ x$ folgt $(s^{-1}\cdot t)\circ x = s^{-1}\circ (t\circ x) = s^{-1} \circ (s \circ x) = (s^{-1}\cdot s) \circ x = e \circ x = x$ , also $s^{-1} \cdot t \in G_x$ . Dies impliziert $s \cdot G_x = t \cdot G_x$ .