Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Sylow-Sätze

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Moduln: freie Moduln sind projektiv

[Bearbeiten] Satz

Sei G eine endliche Gruppe der Ordnung n = p^rm, wobei p Primzahl und m nicht durch p teilbar sei. Sei die Menge der p-Sylowuntergruppen von G und deren Anzahl. Dann gilt:

1. .
2. s_p | n.
3. Ist eine Untergruppe H < G eine p-Gruppe, d.h. ist die Ordnung | H | eine Potenz von p, so gilt H < S für ein .
4. G operiert durch Konjugation transitiv auf

[Bearbeiten] Beweis

Wir zeigen zunächst

Lemma.

Beweis (durch Induktion über n):

Falls r = 0, ist .

Sei jetzt r > 1 und das Lemma gelte für kleinere Werte von r. G operiert auf sich selbst durch Konjugation und zerfällt dadurch in Bahnen. Die Bahnenlänge eines Elements ist hierbei gleich dem Index des Zentralisators in G. Die Bahnenlänge ist also genau dann 1, wenn Z_G(x) = G, d.h. wenn x im Zentrum Z(G) liegt. Ansonsten ist Z_G(x) eine echte Untergruppe. Falls dann p^r Teiler von | Z_G(x) | < n ist, hat nach Induktionsvoraussetzung Z_G(x) eine Untergruppe der Ordnung p^r, die aber ja auch in Untergruppe von G ist, und wir sind fertig.

Wir können also annehmen, dass für die Ordnung von Z_G(x) nicht durch p^r teilbar ist; dann muss aber umgekehrt die zugehörige Bahnenlänge Vielfaches von p sein. Da | G | die Summe aller Bahnenlängen ist, folgt . Insbesondere enthält Z(G) eine Untergruppe U der Ordnung p. Als Untergruppe des Zentrums ist diese normal, wir können also die Gruppe G / U und die kanonische Projektion betrachten. In dieser gibt es nach Induktionsvoraussetzung eine Untergruppe S der Ordnung p^{r − 1}. Deren Urbild hat dann die Ordnung p^r, liegt also in .

Damit ist das Lemma bewiesen.

Für den Beweis des Satzes sei jetzt eine laut Lemma existierende Sylowgruppe. Da durch Konjugation aus einer p^r-elementigen Untergruppe wieder eine solche wird, operiert G auf . Sei Ω die Bahn von S. Da g ^{− 1}Sg = S zumindest für gilt, ist die Bahnlänge | Ω | ein Teiler von [G:S] = m, also zu p teilerfremd.

Sei H eine beliebige p-Untergruppe von G. Auch H operiert auf Ω durch Konjugation. Hierbei auftretende Bahnlängen sind entweder 1 oder Vielfache von p. Da insgesamt | Ω | kein Vielfaches von p ist, muss mindestens einmal die Bahnlänge 1 auftreten, d.h. H normalisiert ein . Dann ist aber HS' Untergruppe von G und obendrein p-Gruppe mit mindestens (und folglich genau) p^r Elementen, also gilt HS' = S' und folglich . Dies ist bereits Teil 3 der Satzbehauptung.

Im Spezialfall gilt sogar, dass H = S' gelten muss, also folgt und damit Teil 2 und 4 des Satzes. Schließlich hat in diesem Fall H selbst Bahnlänge 1, während alle anderen Bahnlängen Vielfache von p sind. Folglich gilt , d.i. Teil 1 der Satzbehauptung.

Damit ist der Satz bewiesen.