Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung

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Inhaltsverzeichnis

1 Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung
2 Wikipedia-Verweise

[Bearbeiten] Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung

[Bearbeiten] Voraussetzung

$G\$ sei eine endliche Gruppe mit einer Untergruppe $H\$ .

[Bearbeiten] Behauptung

Die Ordnung der Untergruppe $|H|\$ (Anzahl der Elemente) ist ein Teiler der Gruppenordnung $|G|\$ .

[Bearbeiten] Beweis

Die Linksnebenklassenbildung, also die Abbildung $f: G \ni a \mapsto \{a \circ u \mid u \in H\}$ stellt eine Äquivalenzrelation auf $G\$ dar ( $u \sim v \iff f(u) = f(v)$ ), bei der jede Äquivalenzklasse die Mächtigkeit $|H|\$ hat. Da die Vereinigung dieser Äquivalenzklassen ganz $G\$ ergibt, ist $|H|\$ ein Teiler von $|G|\$ .