Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung

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Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung

Voraussetzung

$G\$ sei eine endliche Gruppe mit einer Untergruppe $H\$.

Behauptung

Die Ordnung der Untergruppe $|H|\$ (Anzahl der Elemente) ist ein Teiler der Gruppenordnung $|G|\$.

Beweis

Die Linksnebenklassenbildung, also die Abbildung $f:G\ni a\mapsto \{a\circ u\mid u\in H\}$ stellt eine Äquivalenzrelation auf $G\$ dar ($u\sim v\iff f(u)=f(v)$), bei der jede Äquivalenzklasse die Mächtigkeit $|H|\$ hat. Da die Vereinigung dieser Äquivalenzklassen ganz $G\$ ergibt und die Äquivalenzklassen paarweise disjunkt sind, ist $|H|\$ ein Teiler von $|G|\$.

Wikipedia-Verweise

abelsche Gruppe - Halbgruppe - Monoid