Beweisarchiv: Algebra: Halbgruppen: linksneutral und rechtsneutral

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente

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Inhaltsverzeichnis

1 Eindeutiges neutrales Element
2 Mehrere linksneutrale Elemente (Beispiel)
3 Wikipedia-Verweise

Eindeutiges neutrales Element [Bearbeiten]

Voraussetzung [Bearbeiten]

$H\$ sei eine beliebige Halbgruppe mit mindestens einem linksneutralen und mindestens einem rechtsneutralen Element.

Behauptung [Bearbeiten]

Alle linksneutralen und rechtsneutralen Elemente in $H\$ stimmen überein und bilden das eindeutig bestimmte neutrale Element von $H\$ .

Beweis [Bearbeiten]

$e_1\$ sei linksneutral und $e_2\$ sei rechtsneutral. Dann ist einerseits $e_1 e_2 = e_2\$ (wegen der Linksneutralität), andererseits aber auch $e_1 e_2 = e_1\$ (wegen der Rechtsneutralität). Also folgt $e_1 = e_2\$ und damit die Behauptung.

Mehrere linksneutrale Elemente (Beispiel) [Bearbeiten]

Falls kein Rechtsneutrales vorhanden ist, kann es durchaus mehrere Linksneutrale geben. Bei der folgenden Halbgruppe ist sogar jedes Element linksneutral:

$H\$ sei eine beliebige Menge. Die Verknüpfung sei definiert durch

$x \cdot y := y$