Beweisarchiv: Algebra: Halbgruppen: linksneutral und rechtsneutral

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Beweisarchiv: Algebra

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente

Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung

Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz

Körper: Endlicher Integritätsbereich · Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e

Inhaltsverzeichnis

1 Eindeutiges neutrales Element
2 Mehrere linksneutrale Elemente (Beispiel)
3 Wikipedia-Verweise

[Bearbeiten] Eindeutiges neutrales Element

[Bearbeiten] Voraussetzung

$H\$ sei eine beliebige Halbgruppe mit mindestens einem linksneutralen und mindestens einem rechtsneutralen Element.

[Bearbeiten] Behauptung

Alle linksneutralen und rechtsneutralen Elemente in $H\$ stimmen überein und bilden das eindeutig bestimmte neutrale Element von $H\$ .

[Bearbeiten] Beweis

$e_1\$ sei linksneutral und $e_2\$ sei rechtsneutral. Dann ist einerseits $e_1 e_2 = e_2\$ (wegen der Linskneutralität), andererseits aber auch $e_1 e_2 = e_1\$ (wegen der Rechtsneutralität). Also folgt $e_1 = e_2\$ und damit die Behauptung.

[Bearbeiten] Mehrere linksneutrale Elemente (Beispiel)

Falls kein Rechtsneutrales vorhanden ist, kann es durchaus mehrere Linksneutrale geben. Bei der folgenden Halbgruppe ist sogar jedes Element linksneutral:

$H\$ sei eine beliebige Menge. Die Verknüpfung sei definiert durch

$x \cdot y := y$