Beweisarchiv: Algebra: Halbgruppen: linksneutral und rechtsneutral
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Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Eindeutiges neutrales Element
[Bearbeiten] Voraussetzung
sei eine beliebige Halbgruppe mit mindestens einem linksneutralen und mindestens einem rechtsneutralen Element.
[Bearbeiten] Behauptung
Alle linksneutralen und rechtsneutralen Elemente in
stimmen überein und bilden das eindeutig bestimmte neutrale Element von
.
[Bearbeiten] Beweis
sei linksneutral und
sei rechtsneutral. Dann ist einerseits
(wegen der Linskneutralität), andererseits aber auch
(wegen der Rechtsneutralität). Also folgt
und damit die Behauptung.
[Bearbeiten] Mehrere linksneutrale Elemente (Beispiel)
Falls kein Rechtsneutrales vorhanden ist, kann es durchaus mehrere Linksneutrale geben. Bei der folgenden Halbgruppe ist sogar jedes Element linksneutral:
sei eine beliebige Menge. Die Verknüpfung sei definiert durch
Diese Verknüpfung ist assoziativ, denn
Also liegt eine Halbgruppe vor, in der jedes Element linksneutral ist.
[Bearbeiten] Wikipedia-Verweise
Halbgruppe - Monoid - Neutrales Element
- Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente
- Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung
- Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz
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