Beweisarchiv: Algebra: Halbgruppen: linksneutral und rechtsneutral
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Eindeutiges neutrales Element [Bearbeiten]
Voraussetzung [Bearbeiten]
sei eine beliebige Halbgruppe mit mindestens einem linksneutralen und mindestens einem rechtsneutralen Element.
Behauptung [Bearbeiten]
Alle linksneutralen und rechtsneutralen Elemente in
stimmen überein und bilden das eindeutig bestimmte neutrale Element von
.
Beweis [Bearbeiten]
sei linksneutral und
sei rechtsneutral. Dann ist einerseits
(wegen der Linksneutralität), andererseits aber auch
(wegen der Rechtsneutralität). Also folgt
und damit die Behauptung.
Mehrere linksneutrale Elemente (Beispiel) [Bearbeiten]
Falls kein Rechtsneutrales vorhanden ist, kann es durchaus mehrere Linksneutrale geben. Bei der folgenden Halbgruppe ist sogar jedes Element linksneutral:
sei eine beliebige Menge. Die Verknüpfung sei definiert durch
Diese Verknüpfung ist assoziativ, denn
Also liegt eine Halbgruppe vor, in der jedes Element linksneutral ist.
Wikipedia-Verweise [Bearbeiten]
Halbgruppe - Monoid - Neutrales Element
- Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente
- Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung · Klassifikation endlicher abelscher Gruppen · Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen · Sylow-Sätze
- Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz
- Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e
- Moduln: freie Moduln sind projektiv


