Beweisarchiv: Algebra: Körper: Endlicher Integritätsbereich

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Inhaltsverzeichnis

1 Jeder endliche Integritätsbereich ist ein Körper
2 Wikipedia-Verweise

[Bearbeiten] Jeder endliche Integritätsbereich ist ein Körper

[Bearbeiten] Voraussetzung

Der Ring $R\$ sei endlich und ein Integritätsbereich.

(Ein Integritätsbereich ist ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit Einselement $1\ne 0$ .)

[Bearbeiten] Behauptung

$R\$ ist ein Körper.

[Bearbeiten] Beweis 1 (kombinatorisch)

$a\$ sei ein Element des Ringes mit $a \ne 0$ . Wir müssen zeigen, dass $a\$ ein multiplikatives Inverses hat, denn alle anderen Körperaxiome sind in einem kommutativen Ring mit $1\$ schon erfüllt.

Dazu betrachten wir die Abbildung $f\colon R \to R, \ x \mapsto ax$ (Linksmultiplikation mit $a\$ ) und zeigen, dass diese injektiv ist.

Seien daher zwei Elemente $x, y \in R$ mit $f(x) = f(y)\$ gegeben. Das heißt $ax = ay\$ , also $a(x-y) = 0\$ . Da $R\$ nullteilerfrei und $a \ne 0$ ist, muss $x-y = 0\$ sein, also $x=y\$ . Damit ist f als injektiv nachgewiesen.

Eine injektive Funktion einer endlichen Menge in sich selbst ist auch surjektiv, also ist $f\$ surjektiv. Die $1\$ hat also genau ein Bild $b\$ unter der Funktion $f\$ . Für dieses gilt $f(b) = ab = 1\$ , es ist also das gesuchte inverse Element zu $a\$ (wobei noch die Kommutativität des Ringes eingeht).

[Bearbeiten] Beweis 2 (mit linearer Algebra)

Es sei $K$ das Bild des kanonischen Ringhomomorphismus $\mathbb Z\to R$ ; $K$ ist ein endlicher Körper, und $R$ ist eine $K$ -Algebra.

Wie im ersten Beweis betrachten wir die Linksmultiplikation mit einem Element $a\in R$ ,

$x\mapsto ax,$

und wie im ersten Beweis folgt die Injektivität dieser Abbildung. Sie ist ein $K$ -linearer Endomorphismus des endlichdimensionalen Vektorraumes $R$ , nach der Dimensionsformel also auch surjektiv. Das weitere Vorgehen ist wie in Beweis 1.

[Bearbeiten] Beweis 3 (mit Körpertheorie)

$K$ sei wie in Beweis 2, und es sei $L$ der Quotientenkörper von $R$ . $L$ ist eine endliche, also algebraische Erweiterung von $K$ . Für jedes Element $a\in R$ ist $K(a)\subseteq R$ eine Körpererweiterung von $K$ , insbesondere ist $a$ in $K (a)$ und damit in $R$ invertierbar.