Beweisarchiv: Algebra: Körper: Transzendenz von e und π

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[Bearbeiten] Transzendenz von $e$ und $π$

Der folgende Beweis beruht auf Hilberts Aufsatz "Über die Transzendenz der Zahlen $e$ und $π$ " (siehe unten). Er wird als Widerspruchsbeweis geführt, d.h. es wird angenommen, dass die Zahlen $e$ und $π$ algebraisch seien. Von fundamentaler Bedeutung ist der für alle $k\in\mathbb{N}$ geltende Sachverhalt

$\int^{\infty}_{0}x^{k}e^{-x}dx=k!$ (1)

Beim Beweis für $e$ geht man folgendermaßen vor: Man nimmt an, dass $e$ algebraisch sei, also einer Gleichung

$a+a_{1}e+a_{2}e^{2}+\ldots+a_{n}e^{n}=0$ (2)

mit ganzen Koeffizienten genüge. Man betrachtet nun das Integral

$\int^{\infty}_{0}=\int^{\infty}_{0}z^{k}[(z-1)(z-2)\ldots(z-n)]^{k+1}e^{-z}dz$

dessen Integrand das Produkt der Funktionen $[z(z-1)(z-2)\ldots(z-n)]^{k}$ und $(z-1)(z-2)\ldots(z-n)e^{-z}$ ist. Dieses Integral multipliziert man nun mit der linken Seite der Gleichung (2) und bekommt folgenden Ausdruck:

$a\int^{\infty}_{0}+a_{1}e\int^{\infty}_{0}+\ldots+a_{n}e^{n}\int^{\infty}_{0}$

Diesen Ausdruck kann man aufspalten in $P 1 + P 2$ mit

$P_{1}=a\int^{\infty}_{0}+a_{1}e\int^{\infty}_{1}+\ldots+a_{n}e^{n}\int^{\infty}_{n}$

$P_{2}=a_{1}e\int^{1}_{0}+a_{2}e^{2}\int^{2}_{0}+\ldots+a_{n}e^{n}\int^{n}_{0}$

Ziel ist es nun zu zeigen, dass $\frac{P_{1}}{k!}+\frac{P_{2}}{k!}$ ungleich Null ist. Dazu weist man nach, dass $\frac{P_{1}}{k!}$ eine ganze von Null verschiedene Zahl und $\left|\frac{P_{2}}{k!}\right|$ kleiner als 1 ist.

Um zu zeigen, dass $\frac{P_{1}}{k!}$ eine ganze von Null verschiedene Zahl ist, zeigt man mit (1), dass das Integral $\int^{\infty}_{0}$ eine ganze, durch $k!$ teilbare Zahl ist und die übrigen Integrale $\int^{\infty}_{i}$ , $i=1,\ldots,n$ sogar mindestens durch $(k + 1)!$ teilbar sind. Nach wenigen Schritten wählt man schließlich $k$ so, dass $k + 1$ eine Primzahl ist, die größer als $n$ und $a$ ist und erhält die gewünschte Forderung für $\frac{P_{1}}{k!}$ .

Um zu zeigen, dass $\frac{P_{2}}{k!}<1$ ist, stellt man fest, dass die Funktionen

$z(z-1)(z-2)\ldots(z-n)$ und $(z-1)(z-2)\ldots(z-n)e^{-z}$

als stetige Funktionen auf dem Intervall $[0, n]$ durch $G$ bzw. $H$ beschränkt sind. Dann lassen sich die einzelnen Integrale in $P 2$ sehr gut abschätzen und man kommt zu der Ungleichung:

$\frac{P_{2}}{k!}\leq \frac{t\cdot G^{k}}{k!}.$

Da $\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{G^{k}\cdot t}{k!}=0,$ existiert ein genügend großes $k$ sowie ein davon abhängiges $\frac{P_{2}}{k!}$ , für welche gilt:

$\left|\frac{P_{2}}{k!}\right|\leq \frac{G^{k}\cdot t}{k!}<1$

Da es unendlich viele Primzahlen gibt, exisiert ein $k$ , für das sowohl $\frac{P_{1}}{k!}\neq 0$ als auch $\left|\frac{P_{2}}{k!}\right|<1$ gilt.

Der Transzendenzbeweis von $π$ verläuft ähnlich. Man nimmt ebenfalls an, dass $π$ algebraisch ist. Dann ist auch $i π$ algebraisch und Wurzel eines Polynoms mit ganzen Koeffizienten und es gilt:

$(e^{z_{1}}+1)(e^{z_{2}}+1)\ldots(e^{z_{n}}+1)=0,$

wenn $z 1 = i π$ ist. Es gilt: $z 2 = - i π$ ist als konjungiert komplexe Zahl ebenfalls Wurzel des Polynoms. Ausmultiplizieren liefert:

$e^{y_{1}}+e^{y_{2}}+\ldots+e^{y_{N}}+1=0,$

wobei die $y l$ die Summen der Wurzeln $z j$ sind. Einige (wie z.B. $z 1 + z 2)$ haben den Wert 0 und tragen auf der linken Seite der Gleichung den Wert 1 bei (da $e 0 = 1$ ). Dann ergibt sich: $e^{y_{1}}+e^{y_{2}}+\ldots+e^{y_{M}}+a=0,$

wobei die $y_{1},\ldots,y_{M}$ jene Summen der $z j$ sind, die ungleich Null sind und $a = N - M + 1$ ist.

Nun geht man ähnlich wie beim Transzendenzbeweis von $e$ vor. Man multipliziert diese Gleichung wieder mit einem Integral und spaltet die sich ergebende Summe wieder in $P 1 + P 2$ auf. Mit Hilfe einiger Fakten aus der Theorie der symmetrischen Funktionen und einiger geschickter Abschätzungen der Integrale zeigt man, dass eine Gleichung $\frac{P_{1}}{k!}+\frac{P_{2}}{k!}=0$ nicht bestehen kann.

Genauere Erläuterungen und Zwischenschritte zu den Transzendenzbeweisen von $e$ und $π$ kann man den ausführlichen Beweisen von Fritsch entnehmen (siehe Weblinks).