Beweisarchiv: Algebra: Körper: Transzendenz von e und π

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Transzendenz von $e$ und $\pi$

Der folgende Beweis beruht auf Hilberts Aufsatz "Über die Transzendenz der Zahlen $e$ und $\pi$" (siehe unten). Er wird als Widerspruchsbeweis geführt, d.h. es wird angenommen, dass die Zahlen $e$ und $\pi$ algebraisch seien. Von fundamentaler Bedeutung ist der für alle $k\in\mathbb{N}$ geltende Sachverhalt

$\int^{\infty}_{0}x^{k}e^{-x}dx=k!$ (1)

Beim Beweis für $e$ geht man folgendermaßen vor: Man nimmt an, dass $e$ algebraisch sei, also einer Gleichung

$a+a_{1}e+a_{2}e^{2}+\ldots+a_{n}e^{n}=0$ (2)

mit ganzen Koeffizienten genüge. Man betrachtet nun das Integral

$\int^{\infty}_{0}=\int^{\infty}_{0}z^{k}[(z-1)(z-2)\ldots(z-n)]^{k+1}e^{-z}dz$

dessen Integrand das Produkt der Funktionen $[z(z-1)(z-2)\ldots(z-n)]^{k}$ und $(z-1)(z-2)\ldots(z-n)e^{-z}$ ist. Dieses Integral multipliziert man nun mit der linken Seite der Gleichung (2) und bekommt folgenden Ausdruck:

$a\int^{\infty}_{0}+a_{1}e\int^{\infty}_{0}+\ldots+a_{n}e^{n}\int^{\infty}_{0}$

Diesen Ausdruck kann man aufspalten in $P_{1}+P_{2}$ mit

$P_{1}=a\int^{\infty}_{0}+a_{1}e\int^{\infty}_{1}+\ldots+a_{n}e^{n}\int^{\infty}_{n}$

$P_{2}=a_{1}e\int^{1}_{0}+a_{2}e^{2}\int^{2}_{0}+\ldots+a_{n}e^{n}\int^{n}_{0}$

Ziel ist es nun zu zeigen, dass $\frac{P_{1}}{k!}+\frac{P_{2}}{k!}$ ungleich Null ist. Dazu weist man nach, dass $\frac{P_{1}}{k!}$ eine ganze von Null verschiedene Zahl und $\left|\frac{P_{2}}{k!}\right|$ kleiner als 1 ist.

Um zu zeigen, dass $\frac{P_{1}}{k!}$ eine ganze von Null verschiedene Zahl ist, zeigt man mit (1), dass das Integral $\int^{\infty}_{0}$ eine ganze, durch $k!$ teilbare Zahl ist und die übrigen Integrale $\int^{\infty}_{i}$, $i=1,\ldots,n$ sogar mindestens durch $(k+1)!$ teilbar sind. Nach wenigen Schritten wählt man schließlich $k$ so, dass $k+1$ eine Primzahl ist, die größer als $n$ und $a$ ist und erhält die gewünschte Forderung für $\frac{P_{1}}{k!}$.

Um zu zeigen, dass $\frac{P_{2}}{k!}<1$ ist, stellt man fest, dass die Funktionen

$z(z-1)(z-2)\ldots(z-n)$ und $(z-1)(z-2)\ldots(z-n)e^{-z}$

als stetige Funktionen auf dem Intervall $[0,n]$ durch $G$ bzw. $H$ beschränkt sind. Dann lassen sich die einzelnen Integrale in $P_{2}$ sehr gut abschätzen und man kommt zu der Ungleichung:

$\frac{P_{2}}{k!}\leq \frac{t\cdot G^{k}}{k!}.$

Da $\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{G^{k}\cdot t}{k!}=0,$ existiert ein genügend großes $k$ sowie ein davon abhängiges $\frac{P_{2}}{k!}$, für welche gilt:

$\left|\frac{P_{2}}{k!}\right|\leq \frac{G^{k}\cdot t}{k!}<1$

Da es unendlich viele Primzahlen gibt, exisiert ein $k$, für das sowohl $\frac{P_{1}}{k!}\neq 0$ als auch $\left|\frac{P_{2}}{k!}\right|<1$ gilt.

Der Transzendenzbeweis von $\pi$ verläuft ähnlich. Man nimmt ebenfalls an, dass $\pi$ algebraisch ist. Dann ist auch $i\pi$ algebraisch und Wurzel eines Polynoms mit ganzen Koeffizienten und es gilt:

$(e^{z_{1}}+1)(e^{z_{2}}+1)\ldots(e^{z_{n}}+1)=0,$

wenn $z_{1}=i\pi$ ist. Es gilt: $z_{2}=-i\pi$ ist als konjungiert komplexe Zahl ebenfalls Wurzel des Polynoms. Ausmultiplizieren liefert:

$e^{y_{1}}+e^{y_{2}}+\ldots+e^{y_{N}}+1=0,$

wobei die $y_{l}$ die Summen der Wurzeln $z_{j}$ sind. Einige (wie z.B. $z_{1}+z_{2})$ haben den Wert 0 und tragen auf der linken Seite der Gleichung den Wert 1 bei (da $e^{0}=1$). Dann ergibt sich: $e^{y_{1}}+e^{y_{2}}+\ldots+e^{y_{M}}+a=0,$

wobei die $y_{1},\ldots,y_{M}$ jene Summen der $z_{j}$ sind, die ungleich Null sind und $a=N-M+1$ ist.

Nun geht man ähnlich wie beim Transzendenzbeweis von $e$ vor. Man multipliziert diese Gleichung wieder mit einem Integral und spaltet die sich ergebende Summe wieder in $P_{1}+P_{2}$ auf. Mit Hilfe einiger Fakten aus der Theorie der symmetrischen Funktionen und einiger geschickter Abschätzungen der Integrale zeigt man, dass eine Gleichung $\frac{P_{1}}{k!}+\frac{P_{2}}{k!}=0$ nicht bestehen kann.

Genauere Erläuterungen und Zwischenschritte zu den Transzendenzbeweisen von $e$ und $\pi$ kann man den ausführlichen Beweisen von Fritsch entnehmen (siehe Weblinks).

Literatur

• D. Hilbert Über die Transcendenz der Zahlen $e$ und $\pi$. Mathematische Annalen 43, 216-219 (1893).

Weblinks

• Der Beweis (nach Hilbert) von Fritsch, dass $e$ transzendent ist (als PDF)
• Der Beweis (nach Hilbert) von Fritsch, dass $\pi$ transzendent ist (als PDF)

Wikipedia-Verweise

Transzendente Zahl · Kreiszahl · Eulersche Zahl

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