Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Binomischer Lehrsatz

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Beweisarchiv: Algebra

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Moduln: freie Moduln sind projektiv

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Binomischer Lehrsatz

[Bearbeiten] Voraussetzung

Sei R ein kommutativer unitärer Ring sowie a,b\in R, n\in\mathbb{N}_0 beliebig.

[Bearbeiten] Behauptung

Es gilt (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n-k}.

[Bearbeiten] Beweis

Durch vollständige Induktion über n.

n = 0:

(a+b)^0=1={0 \choose 0}a^{0}b^{0}=\sum_{k=0}^{0}{0 \choose k} a^{k}b^{0-k}

Induktionsschritt: n\rightarrow n+1

Annahme: (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n-k} gilt für ein n\in\mathbb{N}_0

Behauptung: (a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1}{n+1 \choose k} a^{k}b^{n+1-k}

Beweis:

Durch Verwenden der Annahme gilt:

(a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^n=(a+b)\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n-k}
= a\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n-k} + b\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n-k} (1. Anwenden des Distributivgesetzes)
= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k+1}b^{n-k} + \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n+1-k} (2. Hineinmultiplizieren der Faktoren a,b in die jeweilige Summe)

Jetzt müssen die Summen wieder vernünftig zusammengeführt werden. Dazu wird folgende Identität verwendet:

{n \choose k-1}+{n \choose k}={n+1 \choose k}

Diese lässt sich durch einfaches Ausrechnen beweisen.


Um die entsprechenden Binomialkoeffizienten zu erhalten, wird in (2) der Index der linken Summe um 1 erhöht:

\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k+1}b^{n-k} + \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n+1-k}
= \sum_{k=1}^{n+1}{n \choose k-1} a^{k}b^{n-k+1} + \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n+1-k} (3. Indexverschiebung des linken Summanden)
= a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n}{n \choose k-1} a^{k}b^{n-k+1} + \sum_{k=1}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n+1-k} + b^{n+1} (4. je einen Summanden aus der Summe herausziehen)
= b^{n+1} + a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n}{\left({n \choose k-1}+{n\choose k}\right)a^{k}b^{n+1-k}} (5. Summen addieren und Distributivgesetz anwenden)
= {n+1 \choose 0}a^{0}b^{(n+1)-0} + {n+1 \choose n+1}a^{n+1}b^{(n+1)-(n+1)} + \sum_{k=1}^{n}{n+1 \choose k}a^{k}b^{n+1-k}
= \sum_{k=0}^{n+1}{n+1\choose k}a^{k}b^{n+1-k}
\Box

[Bearbeiten] Wikipedia-Verweise

Binomischer Lehrsatz - Binomialkoeffizient

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