Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Binomischer Lehrsatz

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Moduln: freie Moduln sind projektiv

[Bearbeiten] Binomischer Lehrsatz

[Bearbeiten] Voraussetzung

Sei $R$ ein kommutativer unitärer Ring sowie $a,b\in R, n\in\mathbb{N}_0$ beliebig.

[Bearbeiten] Behauptung

Es gilt $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n-k}$ .

[Bearbeiten] Beweis

Durch vollständige Induktion über $n$ .

$n=0$ :

$(a+b)^0=1={0 \choose 0}a^{0}b^{0}=\sum_{k=0}^{0}{0 \choose k} a^{k}b^{0-k}$

Induktionsschritt: $n\rightarrow n+1$

Annahme: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n-k}$ gilt für ein $n\in\mathbb{N}_0$

Behauptung: $(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1}{n+1 \choose k} a^{k}b^{n+1-k}$

Beweis:

Durch Verwenden der Annahme gilt:

$(a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^n=(a+b)\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n-k}$

$= a\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n-k} + b\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n-k}$ (1. Anwenden des Distributivgesetzes)

$= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k+1}b^{n-k} + \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n+1-k}$ (2. Hineinmultiplizieren der Faktoren $a, b$ in die jeweilige Summe)

Jetzt müssen die Summen wieder vernünftig zusammengeführt werden. Dazu wird folgende Identität verwendet:

${n \choose k-1}+{n \choose k}={n+1 \choose k}$

Diese lässt sich durch einfaches Ausrechnen beweisen.

Um die entsprechenden Binomialkoeffizienten zu erhalten, wird in (2) der Index der linken Summe um 1 erhöht:

$\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k+1}b^{n-k} + \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n+1-k}$

$= \sum_{k=1}^{n+1}{n \choose k-1} a^{k}b^{n-k+1} + \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n+1-k}$ (3. Indexverschiebung des linken Summanden)

$= a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n}{n \choose k-1} a^{k}b^{n-k+1} + \sum_{k=1}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n+1-k} + b^{n+1}$ (4. je einen Summanden aus der Summe herausziehen)