Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Boolesche Ringe

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Moduln: freie Moduln sind projektiv

[Bearbeiten] Charakteristik 2 und Kommutativität

[Bearbeiten] Voraussetzung

$R\$ sei ein Ring und für jedes Element $x \in R$ gelte $x^2 = x\$ .

(Hat $R\$ zusätzlich auch ein Einselement, dann nennt man dies einen booleschen Ring.)

[Bearbeiten] Behauptung

Für alle $x \in R$ gilt: $x + x = 0\$ .
$R\$ ist kommutativ.

[Bearbeiten] Beweis

1. Sei $x \in R$ beliebig. Wir rechnen:

$x+x = (x+x)(x+x) = xx + xx + xx +xx = x+x+x+x\$ .

(Bei der ersten und dritten Gleichheit wird die Voraussetzung benutzt, bei der zweiten Gleichheit wird distributiv ausmultipliziert.) Zusammengefasst haben wir also die Gleichung

$x+x+x+x = x+x\$ .

Durch zweimaliges Subtrahieren von $x\$ auf beiden Seiten ergibt sich die Behauptung.

2. Seien $x, y \in R$ beliebig. Wir müssen $xy = yx\$ nachweisen, und dazu rechnen wir:

$x+y = (x+y)(x+y) = xx + xy + yx + yy = x +xy + yx + y\$ .

(Bei der ersten und dritten Gleichheit wird die Voraussetzung benutzt, bei der zweiten Gleichheit wird distributiv ausmultipliziert.) Zusammengefasst haben wir also die Gleichung

$x+xy+yx+y = x+y\$ .