Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Chinesischer Restsatz

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[Bearbeiten] Chinesischer Restsatz

(Für kommutative Ringe mit 1)

Sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1, $A 1, A 2,..., A n$ Ideale von $R$ , für die gilt

A i + A j = R

für $i \neq j$ ,

und $b_1,b_2,...,b_n \in R$ . Dann gibt es ein $b\in R$ , für das gilt

$b \equiv b_i \mod A_i$ für $i=1,\ldots,n$ .

Dieses $b$ ist eindeutig Modulo $\bigcap_{i=1}^n A_i$ .

[Bearbeiten] Beweis:

Behauptung: Ist $n\geq 2$ , so gilt mit den Voraussetzungen des Satzes

$A_1 + A_2 A_3\cdots A_n = R.$

Der Beweis der Behauptung erfolgt durch Induktion nach $n$ .

Für $n = 2$ : $A 1 + A 2 = R$ laut Voraussetzungen des Satzes.

Für $n > 2$ : Nach Induktionsvoraussetzung gilt

$A_1 + A_2 A_3\cdots A_{n-1} = R.$

Da ferner $A 1 + A n = R$ gilt, folgt

$R\cdot R = (A_1 + A_2 A_3\cdots A_{n-1})\cdot(A_1+A_n) = A_1\cdot(\ldots) + A_2 A_3\cdots A_{n-1}\cdot A_n\subseteq A_1 + A_2 A_3\cdots A_n\subseteq R$

und wegen $R\cdot R =R$ die Induktionsbehauptung.

Damit ist die Behauptung bewiesen.

Aus Symmetriegründen gilt dann allgemeiner für $1\leq i\leq n$

$A_i + A_2 A_3\cdots A_{i-1}\cdot A_{i+1}\cdots A_n = R.$

Da für Beliebige Ideale I,J von R gilt: $IJ \subseteq I \cap J$ , folgt durch Induktion

$A_i + \bigcap_{j=1,j \neq i}^n A_j = R$ .

Für $1\leq i\leq n$ gilt $b_i \in R = A_i + \bigcap_{j=1,j \neq i}^n A_j$ , also gibt es ein $c_i \in A_i$ und ein $d_i \in \bigcap_{j=1,j \neq i}^n A_j$ , für die $b i = c i + d i$ , also $b_i \equiv d_i \mod A_i$ ist.