Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Chinesischer Restsatz

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Beweisarchiv: Algebra

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[Bearbeiten] Chinesischer Restsatz

(Für Ringe mit 1)

Sei R ein Ring mit 1, A1,A2,...,An Ideale von R, für die gilt

Ai + Aj = R für i \neq j , und b_1,b_2,...,b_n \in R , dann gibt es ein b in R, für das gilt
b \equiv b_i \mod \, A_i für i=1,..,n.

Dieses b ist eindeutig Modulo \bigcap_{i=1}^n A_i

Beweis: Behauptung: In einem Ring mit 1 gilt für die Ideale A_1,..A_n : \, A_i + A_1 \cdot ... \cdot A_{i-1} \cdot A_{i+1} \cdot ... \cdot A_n = R . Beweis der Behauptung durch Induktion: Wähle ein Ai aus und benenne die restlichen Aj geeignet in Bj um. (Also A_i + A_1 \cdot ... \cdot A_{i-1} \cdot A_{i+1} \cdot ... \cdot A_n = A_i + B_1 \cdot ... \cdot B_{n-1} .

Für n=1: Ai + B1 = R ist klar. Für n>1: Nach Induktionsvorrausetzung gilt

A_i + A_i + B_1 \cdot ... \cdot B_{n-1} = R und Ai + Bn = R.

Also gilt weiters

R = R \cdot R = (A_i + B_1 \cdot ... \cdot B_{n-1})(A_i + B_n) =

(A_i)^2 + B_1 \cdot ... \cdot B_{n-1} \cdot A_i + A_i \cdot B_n + B_1 \cdot ... \cdot B_{n-1} \cdot B_n \subseteq A_i + B_1 \cdot ... \cdot B_{n-1} \cdot B_n \subseteq R .

Damit ist die Behauptung bewiesen.

Da für Beliebige Ideale I,J von R gilt: IJ \subseteq I \cap J, folgt durch Induktion

A_i + \bigcap_{j=1,j \neq i}^n A_j = R .

Es gilt b_i \in R = A_i + \bigcap_{j=1,j \neq i}^n A_j \, i=1,..,n, also gibt es ein c_i \in A_i und ein d_i \in \bigcap_{j=1,j \neq i}^n A_j , für die bi = ci + di, also b_i \equiv d_i \mod A_i ist. Setze b: = d1 + ... + dn. Dann gilt für b

b = d_1 + ... d_n \equiv 0 + .. + 0 + d_i + 0 + .. + 0 \equiv d_i \equiv b_i \, mod \, A_i für i=1,..,n. Also löst b das Kongruenzensystem.

Für ein weiteres b' , dass das Kongruenzensystem löst gilt

b_i \equiv b \equiv b' \mod \, A_i \, \forall i \in \{ 1,..,n \} \Leftrightarrow b-b' \in A_i \, \forall i \in \{ 1,..,n \} \Leftrightarrow b-b' \in \bigcap_{j=1}^n A_j

\Leftrightarrow b \equiv b' \mod \, \bigcap_{j=1}^n A_j .

Damit ist der Beweis abgeschlossen.

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