Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion
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[Bearbeiten] Differentiation der Sinusfunktion
Da die Sinusfunktion üblicherweise geometrisch definiert ist, ist eine exakte Berechnung ausschließlich mit Methoden der Analysis nicht möglich. Je nachdem, welche geometrischen Eigenschaften vorausgesetzt werden, gibt es unterschiedliche Zugänge zur Berechnung der Differentiation der Sinusfunktion.
[Bearbeiten] Berechnung der Ableitung mit Bogenlänge
Setzt man den Begriff der Bogenlänge als bekannt voraus, so lässt sich Differentiation der Sinusfunktion mit Hilfe der Definition des Sinus am Einheitskreis berechnen, wobei der Winkel zweckmäßigerweise im Bogenmaß angegeben wird.
Aus der Skizze kann man folgende Zusammenhänge erkennen.
x ist das Bogenmaß zum Sinuswert. Im Einheitskreis ist
Ändert sich der Bogen x um das Maß dx, so ergibt sich auch das Maß dy. Denkt man sich dx gegen Null gehend, so ergeben sich zwei ähnliche Dreiecke ABC und EDC. Setzt man diese ins Verhältnis so erhält man die Verhältnisgleichung
Da die Strecke
ist und
die Ableitung ist, ergibt sich als Lösung
.
[Bearbeiten] Berechnung der Ableitung mit Flächen
Obige Berechnung der Ableitung beruht auf dem nicht elementaren Begriff der Bogenlänge; es ist nicht so einfach zu zeigen, dass die Länge des Kreisbogens EC einfach durch die Länge der Sehne EC angenährt werden darf. Eine andere Berechnung der Ableitung der Sinusfunktion, die auf Flächenüberlegungen beruht, vermeidet dieses Problem. Für diesen Zugang interpretiert man den Winkel als doppelten Flächeninhalt des dazugehörigen Sektors am Einheitskreis, analog zu den Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen. Numerisch ist das zwar der selbe Wert wie das Bogenmaß, diese Interpretation vermeidet aber die Problematik der Bogenlänge.
Zunächst folgt aus
, dass
,
also wegen der Stetigkeit der Kosinusfunktion
,
es reicht also, den Grenzwert
zu berechnen.
Betrachtet man in nebenstehender Abbildung die Punkte
und
und ist x in Bogenmaß gegeben, so hat das Dreieck OCD (rote Fläche) den Flächeninhalt
, der Kreissektor OAD (rote plus orange Fläche) den Flächeninhalt
, und das Dreieck OAB (rote plus orange plus gelbe Fläche) den Flächeninhalt
. Da eine Fläche jeweils die vorige umfasst, gilt erstens
, also
,
und zweitens
, also
,
insgesamt also
und daher
.
Für die Ableitung der Sinusfunktion ergibt das
.
[Bearbeiten] Analytische Berechnung der Ableitung mit der Bogenlänge
Mit der Bogenlänge lassen sich Sinus und Kosinus analytisch definieren: (siehe Herleitung)
sowie
.
Aus der Quotientenregel und der Kettenregel folgen dann
sowie
.
[Bearbeiten] Berechnung der Ableitung aus den Additionstheoremen
Leopold Vietoris hat im September 1956 auf dem vierten österreichischen Mathematikerkongress in Wien eine Berechnung der Ableitung der Sinusfunktion vorgestellt, die im Wesentlichen nur die Additionstheoreme und Monotonie und Stetigkeit der Sinus- und Kosinusfunktion benötigt. Sei α ein Winkel mit
. Dann folgt aus mehrmaliger Anwendung der Additionstheoreme
.
Setzt man
,
und
,
so lässt sich leicht zeigen, dass
gilt. Daher konvergiert die Folge
, und für den Grenzwert
gilt
.
Die Folge
konvergiert somit ebenfalls und der Grenzwert
erfüllt
und
. Aus der Stetigkeit der Kosinusfunktion bei
folgt, dass
der Cauchyschen Funktionalgleichung genügt:
Da
monoton steigend ist, ist
ebenfalls monoton steigend und hat daher als monotone Lösung der Cauchyschen Funktionalgleichung notwendigerweise die Form
,
wobei
eine Konstante > 0 ist. Es gilt also
. Aus
folgt
und daher
weil die Sinusfunktion ungerade ist. Daraus folgt
.
Welche Bedeutung hat nun die durch den Grenzwert
definierte Konstante
? Wie sich geometrisch zeigen lässt, ist
der Umfang des dem Einheitskreis eingeschriebenen regelmäßigen 2n-Ecks und
der Flächeninhalt. Analytisch wurde bereits gezeigt, dass diese Folgen konvergieren; geometrisch anschaulich sind die Grenzwerte Umfang bzw. Fläche des Einheitskreises. Mit der geometrischen Definition der Kreiszahl π gilt also
sowie
.
Es gilt also
.
Dieser Grenzwert lässt sich als analytische Definition von π verwenden, wobei zu beachten ist, dass die dabei verwendete Folge die genaue Kenntnis der Sinusfunktion nicht voraussetzt, da sie wegen
mit einer einfachen Rekursionsformel darstellbar ist.
Definiert man das Winkelmaß so, dass dem gestreckten Winkel
der Wert x = π entspricht, misst man also im Bogenmaß, so gilt für den Sinus
.
[Bearbeiten] Literatur
- Leopold Vietoris, Vom Grenzwert
. Elemente Math. 12 (1957).
















