Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: L'Hospitalsche Regel

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Beweisarchiv: Analysis

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Der geläufigste Beweis der Regeln von L'Hospital benutzt den Mittelwertsatz von Cauchy.

[Bearbeiten] Voraussetzung

Sei a < b und seien die Funktionen f,g\colon (a,b)\to\R auf dem offenen Intervall (a,b) stetig und differenzierbar. Es sei \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0 und es existiere der Grenzwert

\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.

[Bearbeiten] Behauptung

Dann gilt

\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)},

d.h. der Grenzwert links existiert und hat den angegebenen Wert.

[Bearbeiten] Beweis

Wir dürfen f und g nach a fortsetzen, indem wir f(a) = g(a) = 0 setzen. Nach Voraussetzung sind die Funktionen dann auch in a stetig.

Damit \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} existiert, darf für keine gegen a konvergente Folge von Stellen x der Nenner g'(x) = 0 sein, insb. gibt es ein \varepsilon>0 mit g'(x)\ne 0 für a<x<a+\varepsilon.

Für 0<h<\varepsilon sind also f,g auf [a,a + h] stetig, auf (a,a + h) differenzierbar und g' verschwindet nirgends in (a,a + h). Es darf daher der (erweiterte) Mittelwertsatz der Differentialrechnung angewendet werden, d.h. es gibt zu jedem h mit 0<h<\varepsilon ein ch mit a < ch < a + h, so dass gilt:

{f'(c_h) \over g'(c_h)} = {f(a + h) - f(a) \over g(a + h) - g(a)} = {f(a + h)\over g(a + h)},

hierbei Letzteres wegen f(a) = g(a) = 0.

Wenn h \to 0, dann c_h\to a, also

\lim_{x\to a}{f'(x)\over g'(x)} = \lim_{h\to 0}{f'(c_h)\over g'(c_h)} = \lim_{h\to 0}{f(a+h) \over g(a+h)} = \lim_{x\to a}{f(x)   \over g(x)},

was zu zeigen war.

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