Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: L'Hospitalsche Regel

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Integralrechnung: Gaußsches Integral

Der geläufigste Beweis der Regeln von L'Hospital benutzt den Mittelwertsatz von Cauchy.

[Bearbeiten] Voraussetzung

Sei $a < b$ und seien die Funktionen $f,g\colon (a,b)\to\R$ auf dem offenen Intervall $(a, b)$ stetig und differenzierbar. Es sei $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0$ und es existiere der Grenzwert

$\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.$

[Bearbeiten] Behauptung

Dann gilt

$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)},$

d.h. der Grenzwert links existiert und hat den angegebenen Wert.

[Bearbeiten] Beweis

Wir dürfen $f$ und $g$ nach $a$ fortsetzen, indem wir $f (a) = g (a) = 0$ setzen. Nach Voraussetzung sind die Funktionen dann auch in $a$ stetig.

Damit $\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existiert, darf für keine gegen $a$ konvergente Folge von Stellen $x$ der Nenner $g'(x) = 0$ sein, insb. gibt es ein $\varepsilon>0$ mit $g'(x)\ne 0$ für $a<x<a+\varepsilon$ .

Für $0<h<\varepsilon$ sind also $f, g$ auf $[a, a + h]$ stetig, auf $(a, a + h)$ differenzierbar und $g'$ verschwindet nirgends in $(a, a + h)$ . Es darf daher der (erweiterte) Mittelwertsatz der Differentialrechnung angewendet werden, d.h. es gibt zu jedem $h$ mit $0<h<\varepsilon$ ein $c h$ mit $a < c h < a + h$ , so dass gilt: