Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: L'Hospitalsche Regel

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Beweisarchiv: Analysis

Ungleichungen: Grönwall'sche Ungleichung · Young'sche Ungleichung
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Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion · L'Hospitalsche Regel

Der geläufigste Beweis der Regeln von L'Hospital benutzt den Mittelwertsatz von Cauchy.

Zuerst erweitern (oder redefinieren) wir stetig die Funktion f(x) und g(x), sodass gilt: f(c) = g(c) = 0. Dies beeinflusst nicht den Limes, da dieser nicht vom Funktionswert in einem diskreten Punkt abhängt (bei Definition).

Danach gibt es eine Konstante ch in dem Intervall c < ch < c + h sodass gilt:

{f'(c_h) \over g'(c_h)} = {{f(c + h) - f(c) \over h} \over {g(c + h) - g(c) \over h}} = {f(c + h) - f(c) \over g(c + h) - g(c)}

Da f(c) = g(c) = 0,

{f'(c_h)\over g'(c_h)} = {f(c + h)\over g(c + h)}

Wenn h \to 0, dann gilt

\lim_{h\to 0}{f'(c_h)\over g'(c_h)} = \lim_{h\to 0}{f(c+h) \over g(c+h)} = \lim_{x\to c}{f'(x) \over g'(x)} = \lim_{x\to c}{f(x) \over g(x)}

Deswegen

\lim_{x\to c}{f'(x)\over g'(x)} = \lim_{x\to c}{f(x) \over g(x)}.
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