Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Mittelwertsatz

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Integralrechnung: Gaußsches Integral

Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung verallgemeinert den Satz von Rolle u.a. auf beliebige Sekantensteigungen. Hier wird zunächst der erweiterte Mittelwertsatz gezeigt, der den einfachn als Spezialfall bzw. Korollar enthält.

[Bearbeiten] Voraussetzung

Sei $a < b$ und die Funktionen $f,g\colon [a,b]\to\R$ auf dem abgeschlossenen Intervall $[a, b]$ stetig sowie auf dem offenen Intervall $(a, b)$ differenzierbar.

[Bearbeiten] Behauptung

Dann gibt es ein $\xi\in(a,b)$ mit

$f'(\xi)\cdot(g(b)-g(a)) = g'(\xi)\cdot(f(b)-f(a)).$

Hat $g'$ in $(a, b)$ keine Nullstelle, so gilt für dieses $ξ$ auch

$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.$

[Bearbeiten] Beweis

Betrachte die Funktion $h\colon[a,b]\to\R$ die gegeben ist durch

$h(x) = f(x)\cdot(g(b)-g(a)) - g(x)\cdot(f(b)-f(a)).$

Dann ist $h$ auf $[a, b]$ stetig, auf $(a, b)$ und differenzierbar mit Ableitung $h'(x)=f'(\xi)\cdot(g(b)-g(a)) - g'(\xi)\cdot(f(b)-f(a))$ . Wir berechnen

$h(a) = f(a)\cdot(g(b)-g(a)) - g(a)\cdot(f(b)-f(a)) = f(a)g(b) -f(a)g(a) - g(a)f(b) +g(a)f(a) = f(a)g(b)-f(b)g(a)$

sowie

$h(b) = f(b)\cdot(g(b)-g(a)) - g(b)\cdot(f(b)-f(a)) = f(b)g(b) -f(b)g(a) - g(b)f(b) +g(b)f(a) = f(a)g(b)-f(b)g(a).$

Es ist also $h (a) = h (b)$ und nach dem Satz von Rolle gibt es dann ein $\xi\in(a,b)$ mit $h'(ξ) = 0$ . Dies bedeutet aber auch

$f'(\xi)\cdot(g(b)-g(a)) = g'(\xi)\cdot(f(b)-f(a)),$

was zu zeigen war.

Hat weiter $g'$ keine Nullstelle in $(a, b)$ so gilt wiederum wgen des Satzes von Rolle gewiss nicht $g (a) = g (b)$ . Folglich können wir sowohl durch $g'(ξ)$ als auch $g (b) - g (a)$ dividieren und erhalten die Zusatzbehauptung.

[Bearbeiten] Korollar

Sei $a < b$ und die Funktion $f\colon [a,b]\to\R$ auf dem abgeschlossenen Intervall $[a, b]$ stetig sowie auf dem offenen Intervall $(a, b)$ differenzierbar. Dann gibt es ein $\xi\in(a,b)$ mit

$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Bemerkung: Oft findet man auch die folgende äquivalente Formulierung (die mutatis mutandis auch für $h < 0$ gilt):

Sei $f\colon [a,a+h]\to\R$ auf dem abgeschlossenen Intervall $[a, a + h]$ stetig sowie auf dem offenen Intervall $(a, a + h)$ differenzierbar. Dann gibt es ein $\vartheta\in(0,1)$ mit