Beweisarchiv: Analysis: Ungleichungen: Grönwall'sche Ungleichung
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Die Grönwall'sche Ungleichung erlaubt es, Lösungen einer Integralgleichung abzuschätzen. Sie ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Theorie der Differentialgleichungen, da sie es erlaubt, aus implizit gegebener Information explizite Schranken herzuleiten.
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Grönwall'sche Ungleichung in integraler Form
Gegeben seien ein Intervall I: = [a,b] sowie stetige Funktionen
und
. Weiter gelte die Integralungleichung
für alle
. Dann gilt die grönwallsche Ungleichung
für alle
.
[Bearbeiten] Beweis
Setze
. Es folgt dann
Mittels Integration erhält man daraus
also
Aus
folgt die grönwallsche Ungleichung.



![y'(t) = \beta(t)e^{-\int_a^t\beta(\sigma){\rm d}\sigma}[u(t)-\int_a^t\beta(s)u(s){\rm d}s] \leq \alpha(t)\beta(t)e^{-\int_a^t\beta(\sigma){\rm d}\sigma}\ .](http://upload.wikimedia.org/math/4/6/b/46b968f3db8880652a909942640f4347.png)



