Beweisarchiv: Analysis: Ungleichungen: Grönwall'sche Ungleichung

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Konvexität und Stetigkeit

Die Grönwall'sche Ungleichung erlaubt es, Lösungen einer Integralgleichung abzuschätzen. Sie ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Theorie der Differentialgleichungen, da sie es erlaubt, aus implizit gegebener Information explizite Schranken herzuleiten.

Inhaltsverzeichnis

1 Grönwall'sche Ungleichung in integraler Form
- 1.1 Beweis
2 Siehe auch
3 Wikipedia-Verweis

Grönwall'sche Ungleichung in integraler Form [Bearbeiten]

Gegeben seien ein Intervall $I := [a, b]$ sowie stetige Funktionen $u, \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}$ und $\beta: I \rightarrow [0, \infty)$ . Weiter gelte die Integralungleichung

$u(t) \leq \alpha(t) + \int_a^t \beta(s)u(s){\rm d}s$

für alle $t \in I$ . Dann gilt die grönwallsche Ungleichung

$u(t) \leq \alpha(t) + \int_a^t\alpha(s)\beta(s)e^{\int_s^t\beta(\sigma){\rm d}\sigma}{\rm d}s$

für alle $t\in I$ .

Beweis [Bearbeiten]

Setze $y(t) := e^{-\int_a^t\beta(\sigma){\rm d}\sigma}\cdot\int_a^t\beta(s)u(s){\rm d}s$ . Es folgt dann

$y'(t) = \beta(t)e^{-\int_a^t\beta(\sigma){\rm d}\sigma}[u(t)-\int_a^t\beta(s)u(s){\rm d}s] \leq \alpha(t)\beta(t)e^{-\int_a^t\beta(\sigma){\rm d}\sigma}\ .$

Mittels Integration erhält man daraus

$\int_a^t\alpha(s)\beta(s)e^{-\int_a^s\beta(\sigma){\rm d}\sigma}{\rm d}s \geq y(t)-y(a) = y(t) = e^{-\int_a^t\beta(\sigma){\rm d}\sigma}\int_a^t\beta(s)u(s){\rm d}s\ ,$

also

$\int_a^t\beta(s)u(s){\rm d}s \leq e^{\int_a^t\beta(\sigma){\rm d}\sigma}\int_a^t\alpha(s)\beta(s)e^{-\int_a^s\beta(\sigma){\rm d}\sigma}{\rm d}s = \int_a^t\alpha(s)\beta(s)e^{\int_s^t\beta(\sigma){\rm d}\sigma}{\rm d}s\ .$