Beweisarchiv: Analysis: Ungleichungen: Young'sche Ungleichung

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Ungleichungen: Grönwall'sche Ungleichung · Young'sche Ungleichung

Konvergenz: Herleitung des WALLIS-Produktes

Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion · L'Hospitalsche Regel

Die Young'sche Ungleichung gehört zu den fundamentalen Ungleichungen der Analysis. Sie hat viele Anwendungen in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen, aber auch bei den gewöhnlichen Differentialgleichungen und wird beispielsweise auch für den standardmäßigen Beweis der Hölder-Ungleichung verwendet.

Inhaltsverzeichnis

1 Allgemeine Fassung
- 1.1 Aussage
- 1.2 Beweis
2 Spezialfall
- 2.1 Aussage
- 2.2 Beweise
3 Skalierte Version des Spezialfalls
- 3.1 Aussage
- 3.2 Beweis
4 Wikipedia-Verweis

[Bearbeiten] Allgemeine Fassung

[Bearbeiten] Aussage

Sei $f : [0, \infty) \to [0, \infty)$ eine stetige, streng monoton wachsende und unbeschränkte Funktion mit $f (0) = 0$ . Insbesondere existiert ihre Umkehrfunktion $f - 1$ , welche ebenfalls stetig, streng monoton wachsend und unbeschränkt ist. Dann gilt für alle $a, b \geq 0$ die Young'sche Ungleichung

$ab \leq \int_0^a f(x)\,{\rm d}x + \int_0^b f^{-1}(y)\,{\rm d}y$ .

Die Gleicheit genau gilt genau dann, wenn $f (a) = b$ ist.

[Bearbeiten] Beweis

Sei $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ eine Folge von stetig differenzierbaren Funktionen, welche monoton wachsend und gleichmäßig gegen $f$ konvergiert. Dann gilt mit der Substitution $y = f n (x)$ und anschließender partieller Integration

$\int_0^bf_n^{-1}(y){\rm d}y = \int_0^{f_n^{-1}(b)}xf_n'(x){\rm d}x=xf_n(x)|_0^{f_n^{-1}(b)} - \int_0^{f_n^{-1}(b)}f_n(x){\rm d}x=f_n^{-1}(b)b - \int_0^{f_n^{-1}(b)}f_n(x){\rm d}x$ .

Durch Grenzübergang $n\rightarrow\infty$ folgt

$\int_0^bf^{-1}(y){\rm d}y =f^{-1}(b)b - \int_0^{f^{-1}(b)}f(x){\rm d}x$ ,

also

$\int_0^af(y){\rm d}y + \int_0^bf^{-1}(x){\rm d}x = \int_{f^{-1}(b)}^af(x){\rm d}x + f^{-1}(b)\cdot b\ .$

Im Fall $b = f (a)$ ist dieser Ausdruck gleich $a b$ . Für $b < f (a)$ ist $\int_{f^{-1}(b)}^af(x){\rm d}x > b(a-f^{-1}(b))$ , da der Integrand auf $(f - 1 (b), a)$ strikt größer als $b$ ist. Für $b > f (a)$ verwende man analog $\int_{f^{-1}(b)}^af(x){\rm d}x = -\int_a^{f^{-1}(b)}f(x){\rm d}x > -b(f^{-1}(b)-a)$ .

$\Box$

[Bearbeiten] Spezialfall

[Bearbeiten] Aussage

Sind $p, q > 1$ mit $\tfrac 1p + \tfrac1q = 1$ und $a, b \ge 0$ , so gilt

$ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$

mit Gleichheit genau dann, wenn $a p = b q$ .

[Bearbeiten] Beweise

[Bearbeiten] aus der allgemeinen Fassung

Setze $f (x) = x p - 1$ . Die Umkehrfunktion lautet dann $f - 1 (y) = y q - 1$ . Die Gleichheitsbedingung $a p - 1 = b$ ist äquivalent zu $a p = b q$ .

[Bearbeiten] unmittelbar

Ohne Einschränkung seien $a, b > 0$ . Wegen

$\frac{{\rm d}^2}{{\rm d}x^2}~e^x = e^x > 0$

ist die Exponentialfunktion strikt konvex. Da $\tfrac{1}{p}\in (0,1)$ und $\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q}=1$ , folgt

$ab = e^{\ln(a)}e^{\ln(b)} = e^{{1 \over p}\ln(a^p) + {1 \over q}\ln(b^q)} \le {1 \over p}e^{\ln(a^p)}+{1 \over q}e^{\ln(b^q)} = {a^p \over p} + {b^q \over q}$ .

Gleichheit gilt wegen der strikten Konvexität genau dann, wenn $\ \ln(a^p) = \ln(b^q)$ .

[Bearbeiten] als Spezialfall der Ungleichung vom gewichteten arithmetischen und geometrischen Mittel

Setze für $n = 2$ die Summanden $a p$ und $b q$ und die Gewichte $\tfrac 1p$ und $\tfrac 1q$ . Die Gleichheitsbedingung der arithmetisch-geometrischen Ungleichung überträgt sich unmittelbar.