Beweisarchiv: Arithmetik: Erweiterte Rechenarten: Logarithmus: Logarithmengesetze

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition des Logarithmus:

(1) Sind \,a,y>0 dann ist x=\log_a y\, die reelle Zahl für die \,a^x=y ist.

(2) Also \log _a a^x = \log _a y = x \,


[Bearbeiten] 1. Logarithmengesetz:

Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren

a^m \cdot a^n = a^{m + n}   (Potenzgesetze)    nach (2) ist

(3) \log _a (a^m \cdot a^n ) = \log _a a^{m + n} = m + n

eingesetzt u\, und v\, und nach (1)

(4) u = a^m \Longrightarrow m = \log _a u

(5) v = a^n \Longrightarrow n = \log _a v

in (3) eingesetzt

(6) \log _a (u \cdot v) = \log _a u + \log _a v


[Bearbeiten] 2. Logarithmengesetz:

Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen des Dividenden und des Divisors

\frac{a^m }{a^n } = a^{m - n}   (Potenzgesetze)    nach (2) ist

(7) \log _a \frac{{a^m}}{{a^n}}= \log _a a^{m - n}=m-n

eingesetzt u\, und v\, und nach (1) wie (4) und (5) in (7) eingesetzt

(8) {\log _a \frac{u}{v} = \log _a u - \log _a v}


[Bearbeiten] 3. Logarithmengesetz:

Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt des Exponenten mit dem Logarithmus der Basis

\left( {a^m } \right)^n = a^{m \cdot n}   (Potenzgesetze)    nach (2) ist

(9) \log_a (a^m )^n = \log _a a^{m \cdot n} = m \cdot n

eingesetzt u\, nach (1) u = a^m \Longrightarrow m = \log _a uin (9) eingesetzt

(10) {\log _a u^n = n \cdot \log _a u}

analog gilt für n = \frac{1}{m} u^n = u^{\frac{1}{m}} = \sqrt[m]{u} eingesetzt in (10)

(11) {\log _a \sqrt[m]{u} = \frac{1}{m}\log _a u}


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