Beweisarchiv: Arithmetik: Lösungen von Gleichungen: Gleichungen höheren Grades mit einer Variablen: Quadratische Gleichungen

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Lösungen von Gleichungen

Gleichungen höheren Grades mit einer Variablen: Quadratische Gleichungen -

Inhaltsverzeichnis

1 Behauptung
2 Beweis (angelehnt an den Satz von Vieta)
3 Beweis (durch quadratische Ergänzung)
4 Beweis (unter Verwendung des Satzes von Vieta)

[Bearbeiten] Behauptung

Seien $a, b, c$ komplexe Zahlen und $a\neq 0$ .

Dann hat die quadratischen Gleichung

$a x 2 + b x + c = 0$

genau zwei Lösungen (bzw. eine im Fall $b 2 - 4 a c = 0$ ), und zwar:

$x_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

[Bearbeiten] Beweis (angelehnt an den Satz von Vieta)

Es gilt

$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}+(-b-\sqrt{b^2-4a})}{2a}=-\frac ba$

und

$x_1\cdot x_2$	${}=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})\cdot(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{(2a)^2}$
	${}=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac ca.$

(Bei der zweiten Rechnung wurde die dritte binomische Formel verwendet.)

Nun betrachten wir das Polynom

$a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2).$

Ausmultiplizieren liefert

a x 2 - a (x 1 + x 2) x + a x 1 x 2,

und setzt man die oben ausgerechneten Ausdrücke für $x 1 + x 2$ sowie $x 1 x 2$ ein, erhält man

$ax^2-a\cdot\Big({-\frac ba}\Big)\cdot x+a\cdot\frac ca=ax^2+bx+c,$

also die linke Seite der quadratischen Gleichung.

Zusammengefasst:

a x 2 + b x + c = a (x - x 1)(x - x 2).

Soll nun die linke Seite null sein, so muss auch die rechte null sein. Ein Produkt ist aber genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist. $a$ ist nach Voraussetzung ungleich null, also ist $x$ genau dann eine Lösung der quadratischen Gleichung, wenn

x - x 1 = 0

oder

x - x 2 = 0,

oder umgeformt

x = x 1

oder

x = x 2

gilt.

Also sind $x 1$ und $x 2$ Lösungen der quadratischen Gleichung, und es gibt keine weiteren.

[Bearbeiten] Beweis (durch quadratische Ergänzung)

Multipliziert man die quadratische Gleichung mit $4 a$ , so erhält man die Gleichung

4 a 2 x 2 + 4 a b x + 4 a c = 0,

die man zu

$(2ax)^2+2\cdot(2ax)\cdot b+4ac=0$

umformen kann. Die ersten beiden Terme sehen aus wie das Ergebnis der binomischen Formel für

(2 a x + b) 2,

es fehlt also nur das $b 2$ , das man durch Addition und anschließende Subtraktion ergänzen kann:

$(2ax)^2+2\cdot(2ax)\cdot b+b^2-b^2+4ac=0$

Wendet man nun die binomische Formel an und bringt die letzten beiden Terme der linken auf die rechte Seite, erhält man

(2 a x + b) 2 = b 2 - 4 a c,

Wurzelziehen liefert

$2ax_{1/2}+b=\pm\sqrt{b^2-4ac},$

und Auflösen nach $x$ (durch Subtraktion von $b$ und anschließender Division durch $2 a$ ) ergibt schließlich

$x_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

[Bearbeiten] Beweis (unter Verwendung des Satzes von Vieta)

Dividiert man die quadratische Gleichung durch $a$ , erhält man

$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0.$

Nach dem Satz von Vieta gilt für die zwei Lösungen

$x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}$

und

$x_1x_2 = \frac{c}{a}.$

Die Idee besteht nun darin, den linearen Ausdruck $x 1 - x 2$ , aus dem man zusammen mit $x 1 + x 2$ die beiden Lösungen leicht ausrechnen kann, mit $x 1 + x 2$ und $x 1 x 2$ in Beziehung zu setzen. Da diese beiden Terme symmetrisch in $x 1$ und $x 2$ sind, quadrieren wir $x 1 - x 2$ , um ebenfalls einen symmetrischen Ausdruck, nämlich