Beweisarchiv: Funktionalanalysis: Hilberträume: Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung

Beweisarchiv: Funktionalanalysis

Hilberträume: Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung · Parallelogrammgleichung

Satz

Es sei $\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$ und $V$ ein $\mathbb{K}$-Vektorraum mit (positiv definitem) Skalarprodukt. Dann gilt für alle $x,y \in V$ die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung

$\left\vert\langle x,y\rangle\right\vert\leq\sqrt{\langle x,x\rangle}\sqrt{\langle y,y\rangle}$.

Gleichheit liegt genau dann vor, wenn $x, y$ linear abhängig sind.

Beweis

Die Aussage ist für $x=0$ trivial. Es sei also im Folgenden $x \neq 0$. Dann ist also $\langle x,x\rangle > 0$. Beachte zunächst für $\lambda \in \mathbb{K}$

$\begin{array}{lll} \langle \lambda x+y, \lambda x+y\rangle&=&\langle\lambda x,\lambda x\rangle + \langle \lambda x,y\rangle + \langle y, \lambda x\rangle + \langle y,y\rangle\\ &=&|\lambda|^2\langle x,x\rangle + \langle \lambda x,y\rangle + \overline{\langle \lambda x,y\rangle} + \langle y,y\rangle\\ &=&|\lambda|^2\langle x,x\rangle + 2\textrm{Re}\left(\lambda\langle x,y\rangle\right)+ \langle y,y\rangle\\ \end{array}$

sowie

$\begin{array}{lll}\left|\lambda + \frac{\overline{\langle x,y\rangle}}{\langle x,x\rangle}\right|^2&=&\left(\lambda + \frac{\overline{\langle x,y\rangle}}{\langle x,x\rangle}\right)\cdot\left(\overline{\lambda}+ \frac{\langle x,y\rangle}{\langle x,x\rangle}\right)\\ &=&\lambda\overline{\lambda} + \lambda\frac{\langle x,y\rangle}{\langle x,x\rangle} + \overline{\lambda}\frac{\overline{\langle x,y\rangle}}{\langle x,x\rangle} + \frac{\langle x,y\rangle}{\langle x,x\rangle}\frac{\overline{\langle x,y\rangle}}{\langle x,x\rangle}\\ &=&|\lambda|^2 + 2\frac{\textrm{Re}\left(\lambda\langle x,y\rangle\right)}{\langle x,x\rangle}+ \left|\frac{\langle x,y\rangle}{\langle x,x\rangle}\right|^2\ .\\ \end{array}$

Dies impliziert für jedes $\lambda \in \mathbb{K}$ die Identität

$\frac{\langle \lambda x+y, \lambda x+y\rangle}{\langle x,x\rangle} = \left|\lambda + \frac{\overline{\langle x,y\rangle}}{\langle x,x\rangle}\right|^2 + \frac{\langle y,y\rangle}{\langle x,x\rangle} - \left|\frac{\langle x,y\rangle}{\langle x,x\rangle}\right|^2$,

welches eine reelle Zahl ist.

Daraus folgt

$\min\limits_{\lambda\in\mathbb{K}}\left\{\frac{\langle \lambda x+y, \lambda x+y\rangle}{\langle x,x\rangle}\right\} = D := \frac{\langle y,y\rangle}{\langle x,x\rangle} - \left|\frac{\langle x,y\rangle}{\langle x,x\rangle}\right|^2$.

Nun gilt $\langle \lambda x+y, \lambda x+y\rangle \geq 0$ für alle $\lambda \in \mathbb{K}$, und Gleichheit für ein $\lambda \in \mathbb{K}$ wird genau dann angenommen, wenn $x,y$ linear abhängig sind. Dies impliziert $D > 0$ im Fall linearer Unabhängigkeit und $D=0$ im Fall linearer Abhängigkeit. Man beachte schließlich

$D>0 \Leftrightarrow \left\vert\langle x,y\rangle\right\vert<\sqrt{\langle x,x\rangle}\sqrt{\langle y,y\rangle}$

und entsprechend

$D=0 \Leftrightarrow \left\vert\langle x,y\rangle\right\vert=\sqrt{\langle x,x\rangle}\sqrt{\langle y,y\rangle}$.

$\Box$

Wikipedia-Verweis

• Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung