Beweisarchiv: Funktionalanalysis: Hilberträume: Parallelogrammgleichung

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Hilberträume: Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung · Parallelogrammgleichung

Inhaltsverzeichnis

1 Ein Banachraum ist genau dann ein Hilbertraum, wenn die Parallelogrammgleichung erfüllt ist
2 Wikipedia-Verweise

[Bearbeiten] Ein Banachraum ist genau dann ein Hilbertraum, wenn die Parallelogrammgleichung erfüllt ist

[Bearbeiten] Voraussetzung

$\left(X,\|.\|\right)$ sei ein normierter Raum über dem Körper $K\!$ , wobei $K\!$ der Körper der reellen oder der komplexen Zahlen ist.

[Bearbeiten] Behauptung 1

Die Norm $\|.\|$ wird genau dann durch ein Skalarprodukt $\langle.,.\rangle$ erzeugt, wenn für alle $x,y \in X$ die Parallelogrammgleichung

$\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2$

gilt. Ein normierter Raum ist also genau dann ein Prähilbertraum, wenn die Parallelogrammgleichung gilt.

[Bearbeiten] Behauptung 2

Ein Banachraum $\left(X,\|.\|\right)$ ist genau dann ein Hilbertraum, wenn die Parallelogrammgleichung gilt.

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Beweis der Behauptung 1

[Bearbeiten] Teil 1: Skalarprodukt erfüllt Parallelogrammgleichung

Wird die Norm durch ein Skalarprodukt erzeugt, gibt es also ein Skalarprodukt $\langle .,. \rangle$ mit $\|x\|^2=\langle x,x\rangle$ für alle $x\in X$ , so folgt aus den Rechenregelnd für das Skalarprodukt

$\|x+y\|^2+\|x-y\|^2= \langle x+y, x+y \rangle+ \langle x-y, x-y \rangle$

$=\langle x, x \rangle + \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle + \langle y, y \rangle + \langle x, x \rangle - \langle x, y \rangle - \langle y, x \rangle + \langle y, y \rangle$

$=2\langle x, x \rangle + 2 \langle y, y \rangle$

$=2\|x\|^2 + 2\|y\|^2$ .

Es gilt dann also die Parallelogrammgleichung.

[Bearbeiten] Teil 2: Norm, die Parallelogrammgleichung erfüllt, lässt sich durch Skalarprodukt erzeugen

Sei nun $\|.\|$ eine Norm, die die Parallelogrammgleichung erfüllt und die Funktion $\langle .,. \rangle: X^2\to K$ im Falle eines reellen Vektorraums durch

$\langle x,y \rangle := \frac{1}{4}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right)$

und im Falle eines komplexen Vektorraums durch

$\langle x,y \rangle := \frac{1}{4}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right)+\frac{i}{4}\left(\|x+iy\|^2-\|x-iy\|^2\right)$

definiert.

Zu zeigen ist erstens, dass $\langle .,. \rangle$ tatsächlich ein Skalarprodukt ist und zweitens, dass die Norm durch dieses Skalarprodukt erzeugt wird. Damit ein Skalarprodukt vorliegt, muss die betrachtete Funktion für alle $x,y,z\in X$ und für alle $\lambda\in K$ folgende Eigenschaften haben:

positiv definit: $\langle x,x\rangle\geq0$ , und $\langle x,x\rangle=0$ nur für $x = 0$ .
symmetrisch bzw. hermitesch:
- symmetrisch: $\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle$ im Fall eines reellen Vektorraums oder
- hermitesch: $\langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}$ im Fall eines komplexen Vektorraums
bilinear im Fall eines reellen bzw. sesquilinear im Fall eines komplexen Vektorraums
- $\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle$
- $\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle$
- $\lambda\langle x,y\rangle=\langle\lambda x,y\rangle=\langle x,\lambda y\rangle$ im reellen bzw.
- $\lambda\langle x,y\rangle=\langle\lambda x,y\rangle=\langle x,\bar\lambda y\rangle$ im komplexen Fall.

Für die Bilinearität bzw. Sesquilinearität reicht es, das erste Argument zu betrachten, also zu zeigen, dass die betrachtete Funktion im ersten Arguments additiv und homogen ist, dass also

$\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle$ und

$\lambda\langle x,y\rangle=\langle\lambda x,y\rangle$

gelten, die Eigenschaften für das zweite Argument folgen dann unmittelbar aus symmetrisch bzw. hermitesch.

[Bearbeiten] positiv definit

Wegen der Eigenschaften der Norm gilt für den Realteil

$\Re\langle x,x \rangle = \frac{1}{4}\left(\|x+x\|^2-\|x-x\|^2\right)= \|x\|^2$

und für den Imaginärteil (der im Fall $K=\R$ wegfällt)

$\Im\langle x,x \rangle = \frac{1}{4}\left(\|x+ix\|^2-\|x-ix\|^2\right)=\frac{1}{4} \left(|1+i|^2\|x\|^2-|1-i|^2\|x\|^2\right)=0$

weil $|1+i|=|1-i|\!$ .

Somit gilt in jedem Fall

$\langle x,x \rangle=\|x\|^2$ .

Die Positiv-Definitheit folgt damit unmittelbar aus den Eigenschaften der Norm; zusätzlich folgt, dass die Norm durch dieses Skalarprodukt erzeugt wird (sofern tatsächlich ein Skalarprodukt vorliegt).

[Bearbeiten] symmetrisch bzw. hermitesch

Es gilt

$\Re\langle x,y \rangle = \frac{1}{4}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right) = \frac{1}{4}\left(\|y+x\|^2-\|y-x\|^2\right)=\Re\langle y,x \rangle$ .

Wegen $\|z\|=\|iz\|=\|-iz\|$ gilt

$\Im\langle x,y \rangle = \frac{1}{4}\left(\|x+iy\|^2-\|x-iy\|^2\right) = \frac{1}{4}\left(\|-ix+y\|^2-\|ix+y\|^2\right)=-\Im\langle y,x \rangle$ ,

das betrachtete Skalarprodukt ist also tatsächlich symmetrisch im reellen und hermitesch im komplexen Fall.

[Bearbeiten] additiv im ersten Argument

Der Beweis der Additivität ist komplizierter. Dazu wird zuerst gezeigt, dass für alle $u,v,w\in X$ die Beziehung

$\langle u+w,v\rangle+\langle u-w,v\rangle = 2\langle u,v\rangle$

gilt. Diese Beziehung wird zunächst für den Realteil gezeigt:

$\Re\langle u+w,v\rangle+\Re\langle u-w,v\rangle =\frac{1}{4}\left(\|u+v+w\|^2-\|u-v+w\|^2+\|u+v-w\|^2-\|u-v-w\|^2\right)$

$=\frac{1}{4}\left(\|u+v+w\|^2+\|u+v-w\|^2\right)-\frac{1}{4}\left(\|u-v+w\|^2+\|u-v-w\|^2\right)$ (nun wird die Parallelogrammgleichung angewendet)

$=\frac{1}{2}\left(\|u+v\|^2+\|w\|^2\right)-\frac{1}{2}\left(\|u-v\|^2+\|w\|^2\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2\right)=2\Re\langle u,v\rangle$ .

Im reellen Fall ist damit die Beziehung gezeigt; im komplexen Fall ist auf analoge Weise diese Beziehung für den Imaginärteil zu zeigen:

$\Im\langle u+w,v\rangle+\Im\langle u-w,v\rangle =\frac{1}{4}\left(\|u+iv+w\|^2-\|u-iv+w\|^2+\|u+iv-w\|^2-\|u-iv-w\|^2\right)$

$=\frac{1}{4}\left(\|u+iv+w\|^2+\|u+iv-w\|^2\right)-\frac{1}{4}\left(\|u-iv+w\|^2+\|u-iv-w\|^2\right)$ (nun wird die Parallelogrammgleichung angewendet)

$=\frac{1}{2}\left(\|u+iv\|^2+\|w\|^2\right)-\frac{1}{2}\left(\|u-iv\|^2+\|w\|^2\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\|u+iv\|^2-\|u-iv\|^2\right)=2\Im\langle u,v\rangle$ .

Setzt man $w=u\!$ so gilt wegen $\langle 0,v\rangle=0$

$\langle 2u,v\rangle = 2\langle u, v \rangle$ .

Daraus und mit $x:=u+w\!$ , $y:=u-w\!$ ; $z:=v\!$ folgt

$\langle x,z\rangle + \langle y,z\rangle = \langle u+w,v\rangle+\langle u-w,v\rangle = 2\langle u,v\rangle =\langle 2u,v\rangle=\langle x+y,z\rangle$ .

Somit ist die Additivität gezeigt.

[Bearbeiten] homogen im ersten Argument

Die Homogenität im ersten Argument wird schrittweise für $\lambda\!$ natürlich, ganzzahlig, rational, reell und komplex gezeigt.

Der Fall $λ$ natürlich wird mit vollständiger Induktion gezeigt. Als Induktionsanfang wurde bereits $\langle \lambda x,y\rangle = \lambda\langle x, y \rangle$ für $\lambda=0, 1\!$ gezeigt. Als Induktionsvoraussetzung gelte $\langle \lambda x,y\rangle = \lambda\langle x, y \rangle$ für $\lambda=n\!$ . Sei nun $\lambda=n+1\!$ . Dann folgt

$\langle (n+1) x,y\rangle = \langle nx + x , y \rangle$ (Anwendung der Additivität)

$=\langle nx, y \rangle + \langle x , y \rangle$ (Anwendung der Induktionsvoraussetzung)

$=n \langle x, y \rangle + \langle x , y \rangle = (n+1) \langle x , y \rangle$ .

Sei nun $λ$ eine beliebige negative ganze Zahl. Dann gilt

$\lambda\langle x,y\rangle - \langle \lambda x,y\rangle = \lambda\langle x,y\rangle - \langle |\lambda| (-x),y\rangle$

$=\lambda\langle x,y\rangle - |\lambda| \langle -x,y\rangle$

$=\lambda\langle x,y\rangle + \lambda \langle -x,y\rangle$

$=\lambda\langle x-x,y\rangle =0$ .

Ist $\lambda=\frac{m}{n}$ rational mit $m, n\!$ ganzzahlig, so folgt aus

$n\langle \frac{m}{n}x,y\rangle = \langle n\frac{m}{n}x,y\rangle=\langle m x,y\rangle = m\langle x,y\rangle$ , dass

$\langle \frac{m}{n}x,y\rangle = \frac{m}{n}\langle x,y\rangle$ .

Sei nun $\lambda=\lim_{n\to\infty}\lambda_n$ reell als Grenzwert rationaler Zahlen dargestellt. Da die Norm ein stetiges Funktional ist, ist auch $\langle.,.\rangle$ stetig und es gilt

$\langle \lambda x,y\rangle = \langle \lim_{n\to\infty}\lambda_n x,y \rangle = \lim_{n\to\infty}\langle \lambda_n x,y \rangle = \lim_{n\to\infty} \lambda_n \langle x,y \rangle = \lambda \langle x,y \rangle$ .

Für einen reellen Vektorraum ist der Beweis der Homogenität hier beendet; für einen komplexen Vektorraum muss noch der Fall $\lambda\!$ komplex behandelt werden. Dazu setzt man zuerst $\lambda:=i\!$ und beachtet wieder, dass $\|z\|=\|iz\|=\|-iz\|$ gilt:

$\langle ix,y\rangle = \frac{1}{4}\left(\|ix+y\|^2-\|ix-y\|^2\right)+ \frac{i}{4}\left(\|ix+iy\|^2-\|ix-iy\|^2\right)$

$= \frac{1}{4}\left(\|x-iy\|^2-\|x+iy\|^2\right)+ \frac{i}{4}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right)$

$= i\left(\frac{1}{4i}\left(\|x-iy\|^2-\|x+iy\|^2\right)+ \frac{i}{4i}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right)\right)$

$= i\left(\frac{i}{4}\left(\|x+iy\|^2-\|x-iy\|^2\right)+ \frac{1}{4}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right)\right)$

$= i\left(\frac{1}{4}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right) + \frac{i}{4}\left(\|x+iy\|^2-\|x-iy\|^2\right)\right)$

$= i\langle x,y\rangle$ .

Für $\lambda=\mu+i\nu\!$ gilt dann

$\langle \lambda x,y\rangle = \langle \mu x +i\nu x,y\rangle = \langle \mu x,y\rangle + \langle i\nu x,y\rangle = \langle \mu x,y\rangle + i\langle \nu x,y\rangle= \mu\langle x,y\rangle + i\nu\langle x,y\rangle = \lambda\langle x,y\rangle$ .

Somit ist die Homogenität auch für komplexe Vektorräume bewiesen.

[Bearbeiten] Beweis der Behauptung 2

Für die Behauptung 2 ist lediglich zu zeigen, dass der normierte Raum $(X,\|.\|)$ genau dann vollständig ist, wenn der entsprechende Prähilbertraum $(X,\langle.,.\rangle)$ vollständig ist. Das folgt aber unmittelbar daraus, dass beide Räume die gleiche Norm und daher auch die gleiche Metrik haben.

[Bearbeiten] Literatur

Avner Friedman: Foundations of Modern Analysis, Dover, New York 1982, ISBN 0-486-64062-0
A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin: Reelle Funktionen und Funktionalanalysis. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975.

[Bearbeiten] Wikipedia-Verweise

Banachraum - Hilbertraum - Normierter Raum - Parallelogrammgleichung - Prähilbertraum - Skalarprodukt - Vektorraum - Vollständiger Raum