Beweisarchiv: Funktionentheorie: Anwendungen im Umfeld des Cauchy'schen Integralsatzes: Fundamentalsatz der Algebra

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Beweisarchiv: Funktionentheorie

Anwendungen im Umfeld des Cauchy'schen Integralsatzes: Fundamentalsatz der Algebra

Inhaltsverzeichnis

1 Satz von Gauß
- 1.1 Beweis
2 Folgerung: Fundamentalsatz der Algebra
- 2.1 Beweis

[Bearbeiten] Satz von Gauß

Jedes nichtkonstante Polynom besitzt eine Nullstelle in $\mathbb{C}$ .

[Bearbeiten] Beweis

Angenommen, es gäbe ein nichtkonstantes nullstellenfreies Polynom $p: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ . Dann ist $\frac{1}{p}$ holomorph auf $\mathbb{C}$ . Wegen $\lim_{|z|\to \infty}|p(z)|=\infty$ ist $\frac{1}{p}$ beschränkt. Also ist $\frac{1}{p}$ konstant nach dem Satz von Liouville im Widerspruch zur Voraussetzung.

$\Box$

Anmerkung: Oft wird auch der Satz von Gauß schon "Fundamentalsatz der Algebra" genannt.

[Bearbeiten] Folgerung: Fundamentalsatz der Algebra

Sei $p(z) = \sum_{k=0}^na_kz^k$ ein (komplexes) Polynom vom Grad $n$ . Dann gibt es $z_1,\ldots,z_n \in \mathbb{C}$ , nicht notwendigerweise verschieden, mit

$p(z) = a_n\prod_{k=1}^n(z-z_k)\ .$

[Bearbeiten] Beweis

Die Aussage wird mittels vollständiger Induktion bewiesen. Für $n 0 = 1$ ist die Aussage trivial.

Falls die Aussage für ein $n_0 \in \mathbb{N}$ wahr ist und $p(z) = \sum_{k=0}^{n_0+1}a_kz^k$ ein Polynom vom Grad $n 0 + 1$ , so ist $a_{n_0+1} \neq 0$ , und es gibt nach dem Satz von Gauß ein $z_{n_0+1}\in\mathbb{C}$ mit $p(z_{n_0+1}) = 0$ . Also ist

$p(z) = p(z) - p(z_{n_0+1}) = a_{n_0+1}\cdot\left(\sum_{k=1}^{n_0+1}\frac{a_k}{a_{n_0+1}}(z^k-z_{n_0+1}^k)\right)$ .

Beachte nun die Identität

$a^k-b^k = (a-b)\cdot\sum_{j=0}^{k-1}a^{k-1-j}b^j$ für alle $a,b \in \mathbb{C},\; k \in \mathbb{N}$ ,

also

$\frac{a_k}{a_{n_0+1}}(z^k-z_{n_0+1}^k) = (z-z_{n_0+1})q_k(z)$ für alle $k \in \{1, \ldots, n_0+1\}$

mit

$q_k(z) := \frac{a_k}{a_{n_0+1}}\cdot\sum_{j=0}^{k-1}z_{n_0+1}^{k-1-j}z^j$ .

Demzufolge ist jedes $q k$ ein Polynom, welches höchstens den Grad $k - 1$ hat. Zudem ist $q_{n_0+1}$ ein normiertes Polynom vom Grad $n 0$ . Somit ist