Beweisarchiv: Geometrie: Inzidenzgeometrie: affine Geometrie: Homothetien und Translationen

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Inzidenzgeometrie

affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume

Innerhalb der Gruppe $\operatorname{Aut}(P,G;\varepsilon)$ sei $\mathcal G$ die Untergruppe derjenigen Automorphismen $φ$ mit $\phi_G(g)\|g$ für alle Geraden $g\in G$ .

Hilfssatz: $\mathcal G$ ist Normalteiler von $\operatorname{Aut}(P,G;\varepsilon)$ . Ist $g\in G$ eine Gerade, so operiert $\mathcal G$ auf kanonische Weise auf dem Parallelenbündel $\{h\in G\mid h\|g\}$ .

Beweis: Die kanonische Operation von $\operatorname{Aut}(P,G;\varepsilon)$ auf $G$ induziert eine Operation auf der Menge $G/\|$ der Parallelenbündel, da jeder Automorphismus parallele Geraden in parallele Geraden abbildet. $\mathcal G$ ist gerade der Kern des zugehörigen Homomorphismus $\operatorname{Aut}(P,G;\varepsilon)\to\operatorname{Sym}(G/\|)$ und somit Normalteiler. Hieraus folgt auch sofort, dass $\mathcal G$ auf jedem Element von $G/\|$ , d.h. auf jedem Parallelenbündel operiert. $\Box$

Hilfssatz: Ist $\phi\in\mathcal G$ nicht die Identität, so hat $φ P$ höchstens einen Fixpunkt.

Beweis: Sei $\phi\in\mathcal G$ . Ist $p$ ein Fixpunkt, so ist jede Gerade $g$ durch $p$ Fixgerade: Aus $\phi_G(g)\|g$ und $p=\phi_P(p)\varepsilon\phi_G(g)$ folgt $φ G (g) = g$ .

Seien $a,b\in P$ zwei verschiedene Fixpunkte. Sei $g\in G$ beliebig. Gilt $a\varepsilon g$ , so ist $g$ nach der gerade gezeigten Aussage eine Fixgerade. Gilt dagegen $a\not\varepsilon g$ , so gibt es ein $p\varepsilon g$ mit $p\not\varepsilon ab$ . Als Schnittpunkt der Fixgeraden $a p$ und $b p$ ist $p$ Fixpunkt. Damit ist auch $g$ Fixgerade. Folglich ist $φ G$ die identische Abbildung und somit $φ$ die Identität. $\Box$

Ist $p\in P$ , so heißt $\mathcal H_p=\{\phi\in G\mid \phi_P(p)=p\}$ die Gruppe der Homothetien mit Zentrum $p$ . Es ist klar, dass es sich um eine Gruppe handelt, nämlich den Stabilisator von $p$ unter der kanonischen Operation von $\mathcal G$ auf $P$ .

Hilfssatz: Fixgeraden einer nichttrivialen Homothetie sind genau die durch das Zentrum verlaufenden Geraden.

Beweis: Sei $\phi\in\mathcal H_p$ . Ist $g$ eine nicht durch $p$ verlaufende Fixgerade und $q\varepsilon g$ , so ist $q$ als Schnittpunkt der Fixgeraden $g$ und $p q$ ein Fixpunkt. Es folgt, dass $φ$ die Identität ist. $\Box$

Hilfssatz: Gilt $p\varepsilon g$ , so operiert $\mathcal H_p$ treu auf $P(g)\setminus\{p\}$ .

Beweis: Zunächst operiert $\mathcal H_p$ auf $P (g)$ , da $g$ Fixgerade ist. Da die Bahn von $p$ nur aus $p$ selbst besteht, operiert $\mathcal H_p$ auch auf $P(g)\setminus\{p\}$ , hier sogar treu, da nur die Identität weitere Fixpunkte hat. $\Box$

Sei $\mathcal T$ die Menge der fixpunktfreien Elemente von $\mathcal G$ zusammen mit der Identität. $\mathcal T$ heißt die Gruppe der Translationen.

Hilfssatz: Ist $\phi\in\mathcal G$ fixpunktfrei, so gilt für $a,b\in P$ stets $a\phi_P(a)\|b\phi_P(b)$ . Genau die Parallelen zu $a φ P (a)$ sind Fixgeraden.

Beweis: Die Gerade $g = a φ P (a)$ ist wegen $\phi_P(a)\varepsilon\phi_G(g)$ und $\phi_G(g)\|g$ Fixgerade. Würde eine weitere Fixgerade $g$ schneiden, so wäre der Schnittpunkt Fixpunkt, also sind alle Fixgeraden zu $g$ parallel. Da für $b\in P$ auch $b φ P (b)$ Fixgerade ist, folgt insbesondere $a\phi_P(a)\|b\phi_P(b)$ . Ist $h\|g$ , so wählen wir einen Punkt $p\varepsilon h$ . Dann fällt $h$ mit der Fixgeraden $p φ P (p)$ zusammen. $\Box$

Hilfssatz: $\mathcal T$ ist eine Gruppe.

Beweis: Zunächst enthält $\mathcal T$ die Identität und ist somit nicht leer.

Ist $\phi\in\mathcal G$ fixpunktfrei, so gilt dies auch für $\phi^{-1}\in\mathcal G$ , so dass $\mathcal T$ gegen Inversenbildung abgeschlossen ist.

Um zu zeigen, dass $\mathcal T$ eine Untergruppe von $\mathcal G$ ist, bleibt die Abgeschlossenheit zu zeigen. Sei also $\phi,\psi\in\mathcal T$ . Ist $φ$ oder $ψ$ die Identität, so folgt sofort $\phi\circ\psi\in\mathcal T$ . Wir nehmen daher an, dass $φ$ und $ψ$ fixpunktfrei sind und $\phi\circ\psi$ mindestens einen Fixpunkt $o$ hat.

Sei $a\in P$ beliebig, $b = ψ P (a)$ , $c = φ P (b)$ . Dann gilt $a\neq b\neq c$ (aber möglicherweise $a = c$ ). Es folgt $ab=a\psi_P(a)\|o\psi_P(o)=\psi_P(o)\phi_P(\psi_P(o))\|b\phi_P(b)=bc$ , also $a b = b c$ . Alle Parallelen zu $a b$ sind also fix sowohl unter $ψ$ als auch $φ$ , somit auch unter $\phi\circ\psi$ . Mindestes eine hiervon, etwa $h$ , verläuft nicht durch $o$ . Ist $p$ ein auf $h$ liegender Punkt, so ist dieser als Schnittpunkt der beiden Fixgeraden $h$ und $o p$ ein zweiter Fixpunkt. Somit ist $\phi\circ\psi$ die Identität und in der Tat $\phi\circ\psi\in\mathcal T$ . $\Box$

Hilfssatz: $\mathcal T$ operiert treu auf $P$ . Ist $g\in G$ eine Gerade, so operiert deren Stabilisator $\mathcal T_g$ treu auf $P (g)$ .

Beweis: Klar, da nur die Identität Fixpunkte hat. $\Box$

Hilfssatz: $\mathcal T$ ist ein Normalteiler von $\mathcal G$ . Ist $g\in G$ eine Gerade, so ist $\mathcal T_g$ ebenfalls Normalteiler von $\mathcal G$

Beweis: $\mathcal T_g$ besteht genau aus denjenigen Elementen von $\mathcal G$ , die auf dem Parallelenbündel zu $g$ trivial operieren, folglich $\mathcal T_g\vartriangleleft\mathcal G$ . Da jedes Element von $\mathcal T$ für geeignetes $g\in G$ in einem $\mathcal T_g$ liegt, folgt auch $\mathcal T \vartriangleleft\mathcal G$ . $\Box$

[Bearbeiten] Desarguessche Ebenen

Im Folgenden sei angenommen, dass der Satz von Desargues in der folgenden Form gilt:

Satz von Desargues: Seien $a, b, c, a', b', c'$ sechs verschiedene Punkte. Die Geraden $a a', b b', c c'$ seien alle parallel ("uneigentlich zentralperspektiv") oder gehen alle durch einen gemeinsamen Punkt $p$ ("zentralperspektiv mit Zentrum $p$ "). Dann folgt aus $ab\|a'b'$ und $ac\|a'c'$ auch $bc\|b'c'$ .

Dann ergeben sich weitere Schlussfolgerungen:

Hilfssatz: $\mathcal T$ operiert transitiv auf $P$ . Für $g\in G$ operiert $\mathcal T_g$ transitiv auf $P (g)$ .

Beweis: Seien $a,b\in P$ zwei Punkte, $a\neq b$ . Wir suchen ein $\phi\in\mathcal T$ mit $φ P (a) = b$ .

Definiere $φ$ wie folgt:

Für $g\in G$ mit $a\varepsilon g$ setze $\phi_G(g)=\operatorname{par}(g,b)$ .
Für $g\in G$ mit $g\|ab$ setze $φ G (g) = g$ .
Für $p\in P$ mit $p\not\varepsilon ab$ setze $\phi_P(p)=\phi_G(pa)\wedge\operatorname{par}(ab,p)$
Für sonstige $g\in G$ (also solche Geraden mit $a\not\varepsilon g$ und $g\nparallel ab$ ) wähle ein $p\varepsilon g$ mit $p\not\varepsilon ab$ und setze $\phi_G(g)=\operatorname{par}(g,\phi_P(p))$ .
Für sonstige $p\in P$ (also solche mit $p\varepsilon ab$ ) wähle eine von $a b$ verschiedene Gerade $g$ mit $p\varepsilon g$ und setze $\phi_P(p)=ab\wedge\phi_G(g)$ .

Zu zeigen ist als erstes, dass dies wohldefiniert ist. Zunächst besteht kein Konflikt zwischen 1 und 2, da beide $φ G (a b) = a b$ definieren.

Die Definition unter 4 hängt nicht von der Wahl des Punktes $p$ ab: Sei $p'$ ein weiterer Punkt mit $p'\varepsilon g$ und $p'\not\varepsilon ab$ . Wegen 3 gilt $p\phi_P(p)\|ab\|p'\phi_P(p')$ , also sind die Dreiecke $a p p'$ und $b φ P (p)φ P (p')$ uneigentlich zentralperspektiv. Aus $b\phi_P(p)\|ap$ und $b\phi_P(p')\|ap'$ (beides wegen 1) folgt daher auch $\phi_P(p)\phi_P(p')\|pp'$ , also $\operatorname{par}(g,\phi_P(p))=\operatorname{par}(g,\phi_P(p'))$ .

Die Definition unter 5 hängt nicht von der Wahl der Geraden $g$ ab: Sei $g'$ eine weitere Gerade, die $a b$ in $p$ schneidet. Sei $q\varepsilon g$ mit $q\not\varepsilon ab$ und $q'\varepsilon g'$ mit $q'\not\varepsilon ab$ . Mit $p'=ab\wedge\phi_G(g)$ sind dann die Dreiecke $p q q'$ und $p'φ P (q)φ P (q')$ uneigentlich zentralpersektiv. Aus $pq\|p'\phi_P(q)$ und $qq'\|\phi_P(q)\phi_P(q')$ folgt dann auch $pq'\|p'\phi_P(q')$ , d.h. $p'\phi_P(q')=\operatorname{par}(g',\phi_P(q'))=\phi_G(g')$ und schließlich $p'=ab\wedge\phi_G(g')$ .

Man beachte noch, dass aus 5 nach Wahl einer von $a b$ verschiedenen Geraden $g$ durch $a$ sofort wie beabsichtigt $\phi_P(a)=ab\wedge\phi_G(g)=ab\wedge\operatorname{par}(g,b)=b$ folgt.

Als nächstes sei $p\in P$ und $g\in G$ mit $p\varepsilon g$ . Zu zeigen ist, dass dann auch $\phi_P(p)\varepsilon\phi_G(g)$ gilt. Im Fall $p = a$ ist dies aus 1 klar. Im Fall $g\|ab$ ergibt sich aus 2 $φ G (g) = g$ , so dass die Behauptung aus 3 ( $g\neq ab$ ) bzw. 5 ( $g = a b$ ) folgt. Im Fall $a\varepsilon g, g\nparallel ab, p\not\varepsilon ab$ folgt die Aussage aus 3. Falls $a\not\varepsilon g, g\nparallel ab, p\not\varepsilon ab$ folgt die Behauptung aus 4. Falls schließlich $g\nparallel ab, p\varepsilon ab$ folgt die Behauptung aus 5. Hiermit ist die Fallunterscheidung vollständig, d.h. $φ$ ist zumindest ein Endomorphismus.

Wir erhalten einen weiteren Endomorphismus $ψ$ , wenn wir die Rollen von $a$ und $b$ vertauschen. Man überprüft wiederum fallweise unmittelbar, dass $\psi\circ\phi$ und ebenso $\phi\circ\psi$ die Identität ist. Folglich ist $\phi\in\operatorname{Aut}(P,G;\varepsilon)$ .

Wegen 1, 2, 4 gilt stets $\phi_G(g)\|g$ , so dass sogar $\phi\in\mathcal G$ gilt.

Da alle Parallelen zu $a b$ Fixgeraden sind, kann $φ$ keine nichttriviale Homothetie sein, ist also eine Translation, $\phi\in\mathcal T$ . Da $a b$ Fixgerade ist, gilt sogar $\phi\in\mathcal T_{ab}$ . Folglich operiert $\mathcal T$ in der Tat transitiv auf $P$ und für jede Gerade $g\in G$ auch $\mathcal T_g$ transitiv auf $P (g)$ . $\Box$

Sind $a,b\in P$ zwei Punkte, so bezeichnen die eindeutig bestimmte Translation, die $a$ auf $b$ abbildet, im Folgenden als $λ a, b$ .

Hilfssatz: $\mathcal T$ ist abelsch.

Beweis: Seien $\phi,\psi\in\mathcal T$ zwei Translationen, sei $a\in P$ beliebig, $b = φ P (a)$ , $c = ψ P (a)$ .

Falls $a, b, c$ nicht kollinear sind, folgt $\phi_G(\psi_G(ab))=\operatorname{par}(ab,c)=\psi_G(\phi_G(ab))$ und ebenso $\phi_G(\psi_G(ac))=\operatorname{par}(ac,b)=\psi_G(\phi_G(ac))$ . Somit folgt $\phi_P(\psi_P(a))=\operatorname{par}(ab,c)\wedge\operatorname{par}(ac,b)=\psi_P(\phi_P(a))$ . Hieraus ergibt sich bereits $\phi\circ\psi=\psi\circ\phi$ .

Es bleibt der Fall zu betrachten, dass $a, b, c$ alle auf einer Geraden $g$ liegen. Falls zwei dieser Punkte zusammenfallen, ist eine der Abbildungen $\phi, \psi, \psi\circ\phi$ die Identität und die Vertauschbarkeit trivialerweise erfüllt. Wir können die drei Punkte $a, b, c$ also als verschieden voraussetzen. Wähle $p\in P$ mit $p\not\varepsilon g$ . Es folgt, dass $\phi=\lambda_{p,b}\circ\lambda_{a,p}$ gilt. Dann sind $a, p, c$ nicht kollinear, so dass $λ a, p$ mit $ψ$ vertauscht. Ferner sind $p, b,ψ P (p)$ wegen $p\psi_P(p)\|g$ nicht kollinear, so dass auch $λ p, b$ mit $ψ$ vertauscht. Folglich ist $\phi\circ\psi=\lambda_{p,b}\circ\lambda_{a,p}\circ\psi=\psi\circ\lambda_{p,b}\circ\lambda_{a,p}=\psi\circ\phi$ . $\Box$

Hilfssatz: Ist $p\varepsilon g$ , so operiert $\mathcal H_p$ transitiv auf $P(g)\setminus\{p\}$ .

Beweis: Seien $a,b\in P(g)\setminus\{p\}$ zwei Punkte, $a\neq b$ . Wir suchen ein $\phi\in\mathcal H_p$ mit $φ P (a) = b$ .

Definiere $φ$ wie folgt:

Setze $φ P (p) = p$ .
Für $h\in G$ mit $p\varepsilon h$ setze $φ G (h) = h$ .
Für $h\in G$ mit $a\varepsilon h$ setze $\phi_G(h)=\operatorname{par}(h,b)$ .
Für $q\in P$ mit $q\not\varepsilon g$ setze $\phi_P(q)=pq\wedge\phi_G(pa)$ .
Für $h\in G$ mit $h\neq g$ wähle $q\varepsilon h$ mit $q\not\varepsilon g$ und setze $\phi_G(h)=\operatorname{par}(h,\phi_P(q))$ .
Für $q\in P$ mit $q\neq p$ wähle $h\in G$ mit $q\varepsilon h$ und $p\not\varepsilon h$ und setze $\phi_P(q)=pq\wedge\phi_G(h)$ .

Zunächst ist zu zeigen, dass dies wohldefiniert ist. Zwischen 2 und 3 besteht kein Konflikt, da im Fall $h = p a = g$ beide Varianten $φ G (g) = g$ ergeben. Zwischen 2 und 5 besteht kein Konflikt, denn wegen 4 liegt für jedes gewählte $q$ auf jeden Fall auch $φ P (q)$ auf $p q = h$ , so dass sich wie bei 2 ebenfalls $φ G (h) = h$ ergibt. Die Definition unter 5 hängt nicht von der Wahl von $q$ ab: Ist auch $q'\varepsilon h$ und $q'\not\varepsilon g$ , so sind die Dreiecke $a q q'$ und $b φ P (q)φ P (q')$ zentralperspektiv mit Zentrum $p$ . Wegen 3 und 4 ist $aq\|b\phi_P(q)$ und $aq'\|b\phi_P(q')$ , nach dem Satz von Desargues also auch $h=qq'\|\phi_P(q)\phi_P(q')$ . Es folgt $\operatorname{par}(h,\phi_P(q))=\operatorname{par}(h,\phi_P(q'))$ .

Die Definition unter 6 hängt nicht von der Wahl der Geraden $h$ ab: Ist $h'$ eine weitere Gerade mit $q\varepsilon h'$ und $p\not\varepsilon h'$ , so

Dann besteht aber auch kein Konflikt zwischen 4 und 6, da wir im Falle $q\not\varepsilon g$ ja $h = p a$ wählen können.

Folglich ist $φ$ wohldefiniert.

Insbesondere ergibt sich aus 3 und 6 wie gewünscht $φ P (a) = b$ .

Analog zum entsprechenden Beweis für Translationen weist man nach, dass $φ$ ein Endomorphismus ist und dass durch Vertauschen von $a$ und $b$ sich ein inverser Endomorphismus ergibt, d.h. es gilt $\phi\in\operatorname{Aut}(P,G;\varepsilon)$ .

Aus 2, 3, 5 ergibt sich jeweils $\phi_G(h)\|h$ , so dass $\phi\in\mathcal G$ folgt. Wegen $φ P (p) = p$ folgt sogar $\phi\in\mathcal H_p$ . $\Box$

Sind $p, a, b$ kollinear und $a\neq p\neq b$ , so wird die eindeutig bestimmte Homothetie mit Zentrum $p$ , die $a$ auf $b$ abbildet, im Folgenden mit $μ p, a, b$ bezeichnet.

Hilfssatz: Ist $g\in G, 0\varepsilon g$ so ist $(P (g), + ,0)$ eine abelschen Gruppe, wenn man $a + b : = λ 0, a (b)$ für $a,b\in P(g)$ definiert. $\mathcal H_0$ operiert auf $(P (g), + ,0)$ .

Beweis: Die Abbildung $\mathcal T_g\to P(g), \phi\mapsto\phi_P(0)$ ist eine Bijektion mit Umkehrabbildung $p\mapsto\lambda_{0,p}$ . Wegen $\lambda_{0,a}\circ\lambda_{0,b}\mapsto\lambda_{0,a}(\lambda_{0,b}(0))=\lambda_{0,a}(b)=a+b$ ist dies auch ein Gruppoid-Homomorphimus.

Dass $\mathcal H_0$ auf dieser Gruppe operiert, folgt unmittelbar aus $\mathcal T_g\vartriangleleft\mathcal G$ . $\Box$

Hilfssatz: Schneiden sich die Geraden $g$ und $g'$ in 0 und ist $h\nparallel g'$ , so ist die Abbildung $f\colon P(g)\to P(g'), p\mapsto \operatorname{par}(h,p)\wedge g'$ ein Homomorphismus von abelschen Gruppen und mit der Operation von $\mathcal H_0$ verträglich.

Beweis: Ist $a,b\in P(g)$ und sind $h 0, h a, h b, h a + b$ die Parallelen zu $h$ durch $0, a, b, a + b$ , so folgt $h a + b = λ 0, a + b (h 0) = λ 0, b (λ 0, a (h 0))$ . Wegen $af(a)\|h$ ist $λ a, f (a) (h a) = h a$ , also $h a = λ 0, a (h 0) = λ 0, f (a) (h 0)$ und ebenso $h a + b = λ 0, b (h a) = λ 0, f (b) (h a)$ , folglich $h a + b = λ 0, f (b) (λ 0, f (a) (h 0)) = λ 0, f (a) + f (b) (h 0). E s f o l g t, d a s s < m a t h > f (a) + f (b)$ der Schnittpunkt von $h a + b$ mit $g'$ ist, also $f (a) + f (b) = f (a + b)$ . $\Box$

Satz: Ist $g\in G$ und sind $0\varepsilon g$ , $1\varepsilon g$ , $0\neq 1$ , zwei auf ihr liegende Punkte, so wird $P (g)$ zu einem Schiefkörper, wenn man für $a,b\in P(g)$ definiert

$a + b : = λ 0, a (b)$ ,
$a\cdot b:=\mu_{0,1,a}(b)$ , sofern $a\neq0$ ,
$0\cdot b:=0$ .

Bis auf Isomorphie ist der Schiefkörper nicht von der Wahl von $g$ , 0 und 1 abhängig.

Beweis: Dass $(P (g), + )$ eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 ist, wurde oben gezeigt. Auf dieselbe Art sehen wir aus der Bijektion $\mathcal H_0\to P(g)\setminus\{0\}, \phi\mapsto \phi(1)$ , dass $(P(g)\setminus\{0\},\cdot)$ eine Gruppe mit neutralem Element 1 ist.

Sei $c\in P(g), c\neq 0$ . Da $\mathcal H_0$ auf $(P (g), + )$ operiert, gilt für $a,b\in P(g)$ stets $c\cdot(a+b)=c\cdot a+c\cdot b$ , d.h. die Multiplikation ist von links distributiv über die Addition (im Fall $c = 0$ trivialerweise).

Sei wieder $c\in P(g), c\neq 0$ , $g'$ eine weitere Gerade durch 0 und $1'\varepsilon g'$ , $1'\neq0$ . Die Parallelen zu $11'$ induzieren einen Isomorphismus $f_1\colon P(g)\to P(g')$ , die Parallelen zu $1' c$ einen Isomorphismus $f_2\colon P(g')\to P(g)$ . Insgesamt ergibt sich ein Automorphismus $\phi=f_2\circ f_1$ von $P (g)$ , der $1\mapsto c$ abbildet. Ist $a\varepsilon g$ mit $a\neq 0$ , so ergibt sich $\phi(a)=a\cdot c$ (das Dreieck $11' c$ wird homothetisch auf $a f 1 (a)φ P (a)$ abgebildet) sowie trivialerweise $\phi(0)=0\cdot c$ , d.h. $φ$ ist die Rechtsmultiplikation mit $c$ . Es folgt, dass die Multiplikation auch von rechts distributiv ist.

Somit ist $(P(g),+,\cdot,0,1)$ ein Ring und, da alle $c\neq 0$ invertierbar sind, sogar ein Schiefkörper.

Die Unabhängigkeit von der Wahl von $g$ , 0, 1 ist nur eine Folge folgender Tatsachen:

Für $a,b\in P$ gilt $\mathcal H_a\approx\mathcal H_b$ , weil $\mathcal T$ transitiv auf $P$ operiert.
Für sich schneidende Geraden $g, h$ gilt nach dem vorhergehenden Hilfssatz $\mathcal T_g\approx\mathcal T_h$ und für parallele wieder wegen der Transitivität von $\mathcal T$ .

$\Box$

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