Beweisarchiv: Geometrie: Inzidenzgeometrie: affine Geometrie: einfache Hilfssätze

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Beweisarchiv: Geometrie

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Hilfssatz: Parallelität ist eine Äquivalenzrelation.

Beweis: Per Definition ist jede Gerade zu sich selbst parallel. Außerdem ist Parallelität trivialerweise symmetrisch. Ist g_1\|g_2 und g_2\|g_3 und nimmt man an, dass g_1\nparallel g_3, so schneiden sich g1 und g3 in einem Punkt p. Dann ist jedoch sowohl g1 als auch g3 die eindeutig bestimmte Parallele zu g2 durch p. Folglich ist Parallelität auch transitiv. \Box


Hilfssatz: Es gibt mindestens vier Punkte.

Beweis: Seien a,b,c drei nicht kollineare Punkte. Die Punkte sind insbesondere verschieden, so dass wir die Geraden ab und ac haben. Diese Geraden sind verschieden, da die drei Punkte sonst kollinear wären. Da außerdem beide durch a gehen, sind sie nicht parallel. Dann sind auch die Geraden g=\operatorname{par}(ab,c) und h=\operatorname{par}(ac,b) nicht parallel. Sei d ihr Schnittpunkt. Wäre d = a, so folgte g = ab wegen g\|ab und a\varepsilon g. Da dann a,b,c kollinear wären, ergibt sich ein Widerspruch. Ähnlich schließt man d\neq b und d\neq c. \Box


Hilfssatz: Jeder Punkt liegt auf mindestens drei Geraden.

Beweis: Sei p ein beliebiger Punkt und seien a,b,c drei nicht kollineare Punkte. Dann sind die Geraden ab,ac,bc paarweise nicht parallel. Folglich sind die Parallelen hierzu durch p veschieden. \Box


Hilfssatz: Jede Gerade geht durch mindestens zwei Punkte.

Beweis: Sei g eine beliebige Gerade und seien a,b,c drei nicht kollineare Punkte. Höchstens eine der drei paarweise sich schneidenden Geraden ab, ac, bc ist parallel zu g. Sei also oBdA. ab\nparallel g. Es folgt auch \operatorname{par}(ab,c)\nparallel g. Somit geht g durch die beiden Punkte g\wedge ab und g\wedge \operatorname{par}(ab,c). Diese beiden Punkte sind verschieden, da sonst c\varepsilon ab folgen würde. \Box


Hilfssatz: Ist φ ein Endomorphismus, so sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. φ ist die Identität.
  2. φP ist die Identität.
  3. φG ist die Identität.

Beweis: 1\Rightarrow 2, 1\Rightarrow 3 und (2\and 3)\Rightarrow 1 sind klar.

Weiter gilt 2\Rightarrow 3: Ist nämlich g\in G beliebig, so gibt es zwei verschiedene Punkte a,b\in P mit a\varepsilon g und b\varepsilon g. Mit 2 folgt auch a\varepsilon \phi_G(g) und b\varepsilon\phi_G(g), so dass sich φ(g) = g ergibt.

Schließlich gilt auch 3\Rightarrow 2: Ist p\in P beliebig, so gibt es zwei verschiedene Geraden g,h\in G mit p=g\wedge h. Es folgt wegen 3 dann aber auch \phi_P(p)\varepsilon g und \phi_P(p)\varepsilon h, d.h. φP(p) = p. \Box


Hilfssatz: Ist φ ein Automorphismus, so folgt aus g\|h stets auch \phi_G(g)\|\phi_G(h).

Beweis: Es ist klar, dass sich schneidende Geraden auf sich schneidende Geraden abgebildet werden. Da dies auch für den inversen Automorphismus gilt, folgt die Behauptung. \Box

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