Beweisarchiv: Geometrie: Inzidenzgeometrie: affine Geometrie: einfache Hilfssätze

Beweisarchiv: Geometrie

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Inzidenzgeometrie

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Trigonometrie

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Hilfssatz: Parallelität ist eine Äquivalenzrelation.

Beweis: Per Definition ist jede Gerade zu sich selbst parallel. Außerdem ist Parallelität trivialerweise symmetrisch. Ist $g_1\|g_2$ und $g_2\|g_3$ und nimmt man an, dass $g_1\nparallel g_3$, so schneiden sich $g_1$ und $g_3$ in einem Punkt $p$. Dann ist jedoch sowohl $g_1$ als auch $g_3$ die eindeutig bestimmte Parallele zu $g_2$ durch $p$. Folglich ist Parallelität auch transitiv. $\Box$

Hilfssatz: Es gibt mindestens vier Punkte.

Beweis: Seien $a,b,c$ drei nicht kollineare Punkte. Die Punkte sind insbesondere verschieden, so dass wir die Geraden $ab$ und $ac$ haben. Diese Geraden sind verschieden, da die drei Punkte sonst kollinear wären. Da außerdem beide durch $a$ gehen, sind sie nicht parallel. Dann sind auch die Geraden $g=\operatorname{par}(ab,c)$ und $h=\operatorname{par}(ac,b)$ nicht parallel. Sei $d$ ihr Schnittpunkt. Wäre $d=a$, so folgte $g=ab$ wegen $g\|ab$ und $a\varepsilon g$. Da dann $a,b,c$ kollinear wären, ergibt sich ein Widerspruch. Ähnlich schließt man $d\neq b$ und $d\neq c$. $\Box$

Hilfssatz: Jeder Punkt liegt auf mindestens drei Geraden.

Beweis: Sei $p$ ein beliebiger Punkt und seien $a,b,c$ drei nicht kollineare Punkte. Dann sind die Geraden $ab,ac,bc$ paarweise nicht parallel. Folglich sind die Parallelen hierzu durch $p$ veschieden. $\Box$

Hilfssatz: Jede Gerade geht durch mindestens zwei Punkte.

Beweis: Sei $g$ eine beliebige Gerade und seien $a,b,c$ drei nicht kollineare Punkte. Höchstens eine der drei paarweise sich schneidenden Geraden $ab$, $ac$, $bc$ ist parallel zu $g$. Sei also oBdA. $ab\nparallel g$. Es folgt auch $\operatorname{par}(ab,c)\nparallel g$. Somit geht $g$ durch die beiden Punkte $g\wedge ab$ und $g\wedge \operatorname{par}(ab,c)$. Diese beiden Punkte sind verschieden, da sonst $c\varepsilon ab$ folgen würde. $\Box$

Hilfssatz: Ist $\phi$ ein Endomorphismus, so sind folgende Aussagen äquivalent:

1. $\phi$ ist die Identität.
2. $\phi_P$ ist die Identität.
3. $\phi_G$ ist die Identität.

Beweis: $1\Rightarrow 2$, $1\Rightarrow 3$ und $(2\and 3)\Rightarrow 1$ sind klar.

Weiter gilt $2\Rightarrow 3$: Ist nämlich $g\in G$ beliebig, so gibt es zwei verschiedene Punkte $a,b\in P$ mit $a\varepsilon g$ und $b\varepsilon g$. Mit 2 folgt auch $a\varepsilon \phi_G(g)$ und $b\varepsilon\phi_G(g)$, so dass sich $\phi(g)=g$ ergibt.

Schließlich gilt auch $3\Rightarrow 2$: Ist $p\in P$ beliebig, so gibt es zwei verschiedene Geraden $g,h\in G$ mit $p=g\wedge h$. Es folgt wegen 3 dann aber auch $\phi_P(p)\varepsilon g$ und $\phi_P(p)\varepsilon h$, d.h. $\phi_P(p)=p$. $\Box$

Hilfssatz: Ist $\phi$ ein Automorphismus, so folgt aus $g\|h$ stets auch $\phi_G(g)\|\phi_G(h)$.

Beweis: Es ist klar, dass sich schneidende Geraden auf sich schneidende Geraden abgebildet werden. Da dies auch für den inversen Automorphismus gilt, folgt die Behauptung. $\Box$