Beweisarchiv: Geometrie: Inzidenzgeometrie: affine Geometrie: einfache Hilfssätze

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Inzidenzgeometrie

affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume

Hilfssatz: Parallelität ist eine Äquivalenzrelation.

Beweis: Per Definition ist jede Gerade zu sich selbst parallel. Außerdem ist Parallelität trivialerweise symmetrisch. Ist $g_1\|g_2$ und $g_2\|g_3$ und nimmt man an, dass $g_1\nparallel g_3$ , so schneiden sich $g 1$ und $g 3$ in einem Punkt $p$ . Dann ist jedoch sowohl $g 1$ als auch $g 3$ die eindeutig bestimmte Parallele zu $g 2$ durch $p$ . Folglich ist Parallelität auch transitiv. $\Box$

Hilfssatz: Es gibt mindestens vier Punkte.

Beweis: Seien $a, b, c$ drei nicht kollineare Punkte. Die Punkte sind insbesondere verschieden, so dass wir die Geraden $a b$ und $a c$ haben. Diese Geraden sind verschieden, da die drei Punkte sonst kollinear wären. Da außerdem beide durch $a$ gehen, sind sie nicht parallel. Dann sind auch die Geraden $g=\operatorname{par}(ab,c)$ und $h=\operatorname{par}(ac,b)$ nicht parallel. Sei $d$ ihr Schnittpunkt. Wäre $d = a$ , so folgte $g = a b$ wegen $g\|ab$ und $a\varepsilon g$ . Da dann $a, b, c$ kollinear wären, ergibt sich ein Widerspruch. Ähnlich schließt man $d\neq b$ und $d\neq c$ . $\Box$

Hilfssatz: Jeder Punkt liegt auf mindestens drei Geraden.

Beweis: Sei $p$ ein beliebiger Punkt und seien $a, b, c$ drei nicht kollineare Punkte. Dann sind die Geraden $a b, a c, b c$ paarweise nicht parallel. Folglich sind die Parallelen hierzu durch $p$ veschieden. $\Box$

Hilfssatz: Jede Gerade geht durch mindestens zwei Punkte.

Beweis: Sei $g$ eine beliebige Gerade und seien $a, b, c$ drei nicht kollineare Punkte. Höchstens eine der drei paarweise sich schneidenden Geraden $a b$ , $a c$ , $b c$ ist parallel zu $g$ . Sei also oBdA. $ab\nparallel g$ . Es folgt auch $\operatorname{par}(ab,c)\nparallel g$ . Somit geht $g$ durch die beiden Punkte $g\wedge ab$ und $g\wedge \operatorname{par}(ab,c)$ . Diese beiden Punkte sind verschieden, da sonst $c\varepsilon ab$ folgen würde. $\Box$

Hilfssatz: Ist $φ$ ein Endomorphismus, so sind folgende Aussagen äquivalent:

$φ$ ist die Identität.
$φ P$ ist die Identität.
$φ G$ ist die Identität.

Beweis: $1\Rightarrow 2$ , $1\Rightarrow 3$ und $(2\and 3)\Rightarrow 1$ sind klar.

Weiter gilt $2\Rightarrow 3$ : Ist nämlich $g\in G$ beliebig, so gibt es zwei verschiedene Punkte $a,b\in P$ mit $a\varepsilon g$ und $b\varepsilon g$ . Mit 2 folgt auch $a\varepsilon \phi_G(g)$ und $b\varepsilon\phi_G(g)$ , so dass sich $φ(g) = g$ ergibt.

Schließlich gilt auch $3\Rightarrow 2$ : Ist $p\in P$ beliebig, so gibt es zwei verschiedene Geraden $g,h\in G$ mit $p=g\wedge h$ . Es folgt wegen 3 dann aber auch $\phi_P(p)\varepsilon g$ und $\phi_P(p)\varepsilon h$ , d.h. $φ P (p) = p$ . $\Box$

Hilfssatz: Ist $φ$ ein Automorphismus, so folgt aus $g\|h$ stets auch $\phi_G(g)\|\phi_G(h)$ .

Beweis: Es ist klar, dass sich schneidende Geraden auf sich schneidende Geraden abgebildet werden. Da dies auch für den inversen Automorphismus gilt, folgt die Behauptung. $\Box$

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