Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel

Beweisarchiv: Geometrie

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Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras

Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck ·Sechseck ·

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Trigonometrie

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Mittelpunktswinkel - Umfangswinkel

Nachweis, dass der Mittelpunktswinkel $\phi$ doppelt so groß wie der Umfangswinkel $\gamma$ ist:

(Siehe Skizze rechts)

Das Dreieck AMC ist ein gleichschenkliges Dreieck (AM=MC=r). Die anliegenden Winkel sind deshalb gleich groß:

$\alpha _1 = \gamma _1 \,$

Winkelsumme im Dreieck:

$\alpha _1 + \gamma _1 + \delta _1 = 180^\circ \,$

$\delta _1 = 180^\circ - \alpha _1 - \gamma _1 = 180^\circ - 2\gamma _1 \,$

Winkel der Geraden 180°:

$\delta _1 + \varphi _1 = 180^\circ \,$

$\varphi _1 = 180^\circ - \delta _1 \,$

eingesetzt ergibt sich:

$\varphi _1 = 180^\circ - 180^\circ + 2\gamma _1 \,$

$\varphi _1 = 2\gamma _1 \,$

Für das Dreieck BMC gilt dasselbe, so dass analog gilt:

$\varphi _2 = 2\gamma _2 \,$

und damit:

$\varphi = \varphi _1 + \varphi _2 = 2\gamma _1 + 2\gamma _2 = 2(\gamma _1 + \gamma _2 )\,$

$\gamma = \gamma _1 + \gamma _2 \,$

$\varphi = 2\gamma \,$

Da der Punkt C beliebig auf dem Kreisbogen verschoben werden kann, gilt dieser Nachweis für alle Umfangswinkel. Damit ist auch der Beweis erbracht, dass alle Umfangswinkel über derselben Sehne AB gleich sind.

Sonderfall

Ein besonders wichtiger Sonderfall liegt vor, wenn der gegebene Kreisbogen ein Halbkreis ist: In diesem Fall ist der Mittelpunktswinkel gleich 180° (ein gestreckter Winkel), während die Umfangswinkel gleich 90°, also rechte Winkel sind. Damit erweist sich der Satz des Thales als Spezialfall des Umfangswinkelsatzes.

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Weblinks

• Alternativbeweis des Umfangswinkelsatzes , Landesbildungsserver Baden-Württemberg Der hier vorgeführte Beweis besticht durch seine Einfachheit und führt auf "natürliche Weise" auf die Zusammenhänge zwischen Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel sowie auf die Besonderheit von Sehnenvierecken.