Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Satz des Ptolemäus

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[Bearbeiten] Satz des Ptolemäus

Für vier Punkte $A, B, C, D$ in der Ebene gilt

$\overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{BC}\cdot\overline{DA} \geq\overline{AC}\cdot\overline{BD}.$

Gleichheit tritt genau dann ein, wenn $A, B, C, D$ in dieser Reihenfolge oder einer zyklischen Vertauschung davon auf einem Kreis oder einer Geraden liegen.

Insbesondere gilt: Ist $A B C D$ ein Sehnenviereck, so ist die Summe der Produkte der Längen gegenüberliegender Seiten gleich dem Produkt der Längen der Diagonalen, als Formel

$a\cdot c+b\cdot d=e\cdot f$

mit

$a=\overline{AB},b=\overline{BC},c=\overline{CD},d=\overline{DA}, e=\overline{AC},f=\overline{BD}.$

[Bearbeiten] Beweis mit komplexen Zahlen

Wir identifizieren Punkte mit komplexen Zahlen, die zu beweisende Ungleichung lautet dann

$|A-B|\cdot|C-D|+|B-C|\cdot|A-D|\geq|A-C|\cdot|B-D|.$

Der Betrag ist multiplikativ, also ist dies dasselbe wie

$|AC-AD-BC+BD| + |AB-BD-AC+CD| \geq |AB - AD - BC + CD|.$

In dieser Form folgt die behauptete Ungleichung direkt aus der Dreiecksungleichung

$|u| + |v| \geq |u+v|.$

Für die Bestimmung des Gleichheitsfalles nehmen wir o.B.d.A. an, dass $A = 0$ gilt. Die Ungleichung wird dann zu

$|BD - BC| + |CD - BD| \geq |CD - BC|.$

Ist ein weiterer der Punkte null, so tritt offenbar der Gleichheitsfall ein; andernfalls kann man durch $| B C D |$ teilen und erhält

$\Big|\frac1C-\frac1D\Big| + \Big|\frac1B-\frac1C\Big| \geq \Big|\frac1B - \frac1D\Big|.$

Gleichheit tritt somit genau dann ein, wenn $1 / B,1 / C,1 / D$ in dieser Reihenfolge auf einer Geraden $g$ liegen.

Die Abbildung $z\mapsto\frac1z$ ist die Verkettung der Inversion am Einheitskreis mit der Spiegelung an der reellen Achse. Es gibt nun zwei verschiedene Fälle:

$g$ enthält den Ursprung: In diesem Fall ist $g$ das Bild einer Ursprungsgeraden $h$ , und $A, B, C, D$ in dieser Reihenfolge oder einer zyklischen Vertauschung davon auf $h$ .
$g$ enthält den Ursprung nicht: In diesem Fall ist $g$ das Bild eines Kreises $k$ , und $A, B, C, D$ liegen in dieser Reihenfolge auf $k$ .