Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Sehnensatz
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[Bearbeiten] Sehnensatz
Der Sehnensatz sagt: Schneiden zwei Sehnen einander in einem Punkt S, so ist das Produkt der jeweiligen Sehnenabschnitte gleich.
Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sehnen die sich in einem Punkt S schneiden. Bezeichnet man die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sehne als A beziehungsweise C und die andere Sehne B beziehungsweise D, so gilt:
Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:
Umgekehrt gilt auch:
Wenn für die Diagonalen eines Vierecks ABCD mit dem Diagonalenschnittpunkt S gilt:
dann besitzt diese Viereck einen Umkreis!!
Der Sehnensatz lässt sich - ähnlich wie der Sekantensatz und der Sekanten-Tangenten-Satz – mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen:
Die Dreiecke ASD und BSC sind ähnliche Dreiecke denn:
1) Die Scheitelwinkel in S sind gleich groß 
2) Die Umfangswinkel über einer Sehne sind gleich groß; Sehne 
ergibt 
- beziehungsweise Sehne
ergibt 
ähnliche Dreiecke
daraus ergibt sich die Verhältnisgleichung
und umgewandelt
