Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Sehnensatz

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Beweisarchiv: Geometrie

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Sehnensatz[Bearbeiten]

Der Sehnensatz sagt: Schneiden zwei Sehnen einander in einem Punkt S, so ist das Produkt der jeweiligen Sehnenabschnitte gleich.

Sehnensatz

Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sehnen die sich in einem Punkt S schneiden. Bezeichnet man die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sehne als A beziehungsweise C und die andere Sehne B beziehungsweise D, so gilt:

\overline{AS} \cdot \overline{CS} = \overline{BS} \cdot \overline{DS} \Rightarrow a \cdot c = b \cdot d

Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:

\overline{AS} : \overline{DS} = \overline{BS} : \overline{CS} \Rightarrow {a \over d}={b \over c}


Umgekehrt gilt auch:

Wenn für die Diagonalen eines Vierecks ABCD mit dem Diagonalenschnittpunkt S gilt:

\overline {AS} \cdot \overline {CS} = \overline {BS} \cdot \overline {DS} \Rightarrow a \cdot c = b \cdot d

dann besitzt diese Viereck einen Umkreis!!


Der Sehnensatz lässt sich - ähnlich wie der Sekantensatz und der Sekanten-Tangenten-Satz – mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen:

Die Dreiecke {ASD} und {BSC} sind ähnliche Dreiecke denn:

1) Die Scheitelwinkel in S sind gleich groß \varphi _1=\varphi _2

2) Die Umfangswinkel über einer Sehne sind gleich groß; Sehne \overline{AB} ergibt \gamma _1=\delta _1 \,

beziehungsweise Sehne \overline{CD} ergibt \alpha _1=\beta _1 \,


\triangle ASD \sim \triangle BSC ähnliche Dreiecke


daraus ergibt sich die Verhältnisgleichung

{a \over d}={b \over c}


und umgewandelt

a \cdot c = b \cdot d


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