Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Sehnentangentenwinkel

Beweisarchiv: Geometrie

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Sehnentangentenwinkelsatz

Die beiden Sehnentangentenwinkel eines Kreisbogens sind so groß wie die zugehörigen Umfangswinkel (Peripheriewinkel) und halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel).

Sehnentangentenwinkel

Nachweis, dass der Sehnentangentenwinkel gleich dem Umfangswinkel ist:

(Siehe Skizze)

Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel (siehe weiter oben):

$\varphi = 2\gamma$

Winkelsumme im gleichschenkligen Dreieck AMB:

$2\alpha _2 + 2\gamma = 180^\circ \,$

$\alpha _2 = \frac{{180^\circ - 2\gamma }}{2} = 90^\circ - \gamma$

Sehnentangentenwinkel:

$\delta = 90^\circ - \alpha _2 = 90^\circ - (90^\circ - \gamma )$

$\delta = \gamma \,$