Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Sehnenviereck

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[Bearbeiten] Gegenüberliegende Winkel im Sehnenviereck

[Bearbeiten] Beweis 1

Im Sehnenviereck beträgt die Winkelsumme der gegenüberliegenden Winkel 180°.

Dieses lässt sich wie folgt beweisen:

$\, \alpha + \beta _1 + \delta _2 = 180^0$ Winkelsumme im $\triangle ABD$

$\, \delta _2 = \gamma _1$ Umfangswinkel über Sehne $\overline{AB}$ (sind gleich)

$\, \beta _1 = \gamma _2$ Umfangswinkel über Sehne $\overline{AD}$ (sind gleich)

eingesetzt ergibt sich

$\, \alpha + \gamma _2 + \gamma _1 = 180^0$

mit

$\, \gamma = \gamma _1 + \gamma _2$

$\, \alpha + \gamma = 180^0$

Analog gilt für

$\, \beta + \delta = 180^0$

[Bearbeiten] Beweis 2

Im Sehnenviereck beträgt die Winkelsumme der gegenüberliegenden Winkel 180°.

$\, \alpha + \gamma = 180^0$

$\, \beta + \delta = 180^0$

Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus dem Kreiswinkelsatz bzw. Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel, da zwei gegenüberliegende Winkel des Sehnenvierecks Umfangswinkel über 2 komplementären Kreisbögen sind, deren Mittelpunktswinkel sich zu 360° ergänzen. Da Umfangswinkel halb so groß sind wie Mittelpunktswinkel über dem gleichen Bogen, müssen sich die Umfangswinkel zu 360°/2 = 180° ergänzen.

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