Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras

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Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras

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Satz von Pythagoras: $a 2 + b 2 = c 2$

(Es ist zu beachten, dass der unten stehende Beweis nur eine von mehreren hundert bekannten Beweisvarianten darstellt.)

Die Fläche eines Rechtecks mit den Kantenlängen a und b ist a · b Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit den kurzen Seiten (Katheten) a und b ist a · b /2

In ein großes Quadrat mit der Seitenlänge c sind 4 rechtwinklige Dreiecke mit den kurzen, senkrecht aufeinander stehenden Seiten a und b wie folgt eingezeichnet. Die Kantenlänge des kleinen Quadrats ist $b - a$ . Die Fläche für das kleine Quadrat ist somit $(b - a) 2$ .

Die Fläche des großen Quadrats $c 2$ setzt sich aus den Flächen der 4 Dreiecke (jeweils $a \cdot b/2$ ) und der des Quadrats in der Mitte $(a - b) 2$ zusammen.

Der Satz von Pythagoras ergibt sich wie folgt:

$\begin{align} c^2 & = 4 \cdot a \cdot \frac b2 + (b-a)^2 \\ & = 2\cdot a\cdot b + b^2 - 2\cdot b\cdot a + a^2 \\ & = 2 \cdot a \cdot b - 2 \cdot b \cdot a + a^2 + b^2 \\ & = a^2 + b^2 \end{align}$