Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Regelmäßige Vielecke: Dreieck

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Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras

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Trigonometrie

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[Bearbeiten] Umkreisradius

Nach Pythagoras ist

(1) $r_i ^2 = r_o ^2 - \left( {\frac{a}{2}} \right)^2$

und

(2) $a^2 = \left( {\frac{a}{2}} \right)^2 + \left( {r_o + r_i } \right)^2$

(2a) $\frac{3}{4}a^2 = r_o^2 + 2r_o r_i + r_i ^2$

(1) in (2a) eingesetzt ergibt

(3) $\frac{3}{4}a^2 = r_o^2 + 2r_o \sqrt {r_o^2 - \left( {\frac{a}{2}} \right)^2 } + r_o^2 - \left( {\frac{a}{2}} \right)^2$

(3a) $a^2 - 2r_o^2 = 2r_o \sqrt {r_o^2 - \left( {\frac{a}{2}} \right)^2 }$

(3a) quadriert

(4) $a^4 - 4a^2 r_o^2 + 4r_o^4 = 4r_o^4 - a^2 r_o^2$

(4a) $a^4 = 3a^2 r_o^2$

(4b) $r_o^2 =\frac{{a^2 }}{3}$

(4c) $r_o = \frac{a}{{\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$ Umkreisradius

[Bearbeiten] Inkreisradius

(4c) in (1) eingesetzt

(5) $r_i ^2 = \frac{{a^2 }}{3} - \frac{{a^2 }}{4} = \frac{{a^2 }}{{12}}$

(5a) $r_i = \frac{a}{{\sqrt {12} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$ Inkreisradius

Die Division von (4c) durch (5a) zeigt

(5b) $\frac{r_o}{r_i} = 2$

[Bearbeiten] Höhe

(6) $h = r_o + r_i \, = 3 r_i$

und nach Pythagoras

(7) $h^2 = a^2 - \left( {\frac{a}{2}} \right)^2 = \frac{3}{4}a^2$

(7a) $h = \frac{a}{2}\sqrt 3$ Höhe

[Bearbeiten] Fläche

(8) $A = \frac{{ah}}{2}$

(7a) eingesetzt

(8a) $A = \frac{{a^2 }}{4}\sqrt 3$ Fläche

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