Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Regelmäßige Vielecke: Fünfeck

Beweisarchiv: Geometrie

Planimetrie

Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel · Satz des Ptolemäus · Sehnensatz · Sehnentangentenwinkel · Sehnenviereck · Sekantensatz · Japanischer Satz für konzyklische Vierecke · Satz des Thales

Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras

Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck ·Sechseck ·

Inzidenzgeometrie

affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume

Trigonometrie

Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens

Fünfeck

Regelmäßiges Fünfeck (Pentagon)

Winkel im regelmäßigen Fünfeck (Pentagon)

Im Mittelpunkt M

(1)   $\varphi = \frac{{360^\circ }}{n} = \frac{{360^\circ }}{5} = 72^\circ$   Mittelpunktswinkel

Winkelsumme im gleichschenkligen Dreieck CDM

(2)   $\varphi + 2\alpha _1 = 180^\circ$

(2a)   $\alpha _1 = \frac{{180^\circ - \varphi }}{2} = \frac{{180^\circ - 72^\circ }}{2} = 54^\circ$

(2b)   $\alpha = 2\alpha _1 = 2 \cdot 54^\circ = 108^\circ$   Innenwinkel im Fünfeck

Winkelsumme im gleichschenkligen Dreieck BCD

(2c)   $\alpha + 2\alpha _2 = 180^\circ \,$

(2d)   $\alpha _2 = \frac{{180^\circ - \alpha }}{2} = \frac{{180^\circ - 108^\circ }}{2} = 36^\circ$

im Winkel D

(3a)   $\alpha = 2\alpha _2 + \alpha _3 \,$

(3b) $\alpha _3 = \alpha - 2\alpha _2 = 108^\circ - 2 \cdot 36^\circ = 36^\circ$

im gleichschenkligen Dreieck ABD

(4)   $\alpha _3 + 2\alpha _4 = 180^\circ \,$

(4a)   $\alpha _4 = \frac{{180^\circ - \alpha _3 }}{2} = \frac{{180^\circ - 36^\circ }}{2} = 72^\circ$

Längen und Flächen im regelmäßigen Fünfeck (Pentagon)

Die Dreiecke ABD und FEA sind ähnlich, weil die Winkel in Punkt A und D

$\alpha _2 = \alpha _3 = 36^\circ \,$

und die Winkel in Punkt E und A

$\alpha _4 = \alpha _4 = 72^\circ \,$

gleich sind

(5)   $\overline {BD} :\overline {AB} = \overline {AE} :\overline {EF}$

(6)   $\overline {BD} = d$

(6a)   $\overline {AB} = a$

(6b)   $\overline {AE} = a$

(6c)   $\overline {CF} = a$

(6d)   $\overline {EF} = d - a$

Diagonale

(6) bis (6d) in (5) eingesetzt

(7)   $\frac{d}{a} = \frac{a}{{d - a}}$

(7a)   $d^2 - ad = a^2 \,$

(7b)   $d^2 - ad - a^2 = 0 \,$

Lösung der quadratischen Gleichung

(8a)   $d = \frac{a}{2} + \sqrt {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2 + a^2 } = \frac{a}{2} + \frac{a}{2}\sqrt 5$

(8b)   $d = \frac{a}{2}\left( {1 + \sqrt 5 } \right)$   Diagonale

Höhe

Die Höhe des Fünfecks:

(9)   $h = \overline{DU}$

Dreieck AUD ist rechtwinklig. Daher gilt nach dem Satz des Pythagoras:

(9a)   $d^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2$

(9b)   $h^2 = d^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2$

(8b) einsetzen:

(9c)   $h^2 = \left( {\frac{a}{2}} \right)^2 \cdot \left( {1 + \sqrt 5 } \right)^2 - \left( {\frac{a}{2}} \right)^2 = \left( {\frac{a}{2}} \right)^2 \cdot \left[ {\left( {1 + \sqrt 5 } \right)^2 - 1} \right]$

(9d)   $h^2 = \left( {\frac{a}{2}} \right)^2 \cdot \left( {1 + 2\sqrt 5 + 5 - 1} \right) = \left( {\frac{a}{2}} \right)^2 \cdot \left( {5 + 2\sqrt 5 } \right)$

(9e)   $h = \frac{a}{2} \sqrt{ 5 + 2 \sqrt5}$  Höhe

Inkreisradius

Es gilt:

(10)   $r_i + r_u = h \,$

(11)   $r_i + r_u = \frac{a}{2}\sqrt {5 + 2\sqrt 5 }$

Dreieck AUM ist auch rechtwinklig. Daher gilt nach dem Satz des Pythagoras ebenfalls:

(12)   $r_u^2 = r_i^2 + \left( {\frac{a}{2}} \right)^2$

(12a)   $r_u = \sqrt {r_i^2 + \left( {\frac{a}{2}} \right)^2 }$

(12a) in (11) eingesetzt

(13)   $r_i + \sqrt {r_i^2 + \left( {\frac{a}{2}} \right)^2 } = \frac{a}{2}\sqrt {5 + 2\sqrt 5 }$

(13a)   $\sqrt {r_i^2 + \left( {\frac{a}{2}} \right)^2 } = \frac{a}{2}\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } - r_i$

quadriert

(13b)   $r_i^2 + \frac{{a^2 }}{4} = \frac{{a^2 }}{4}\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right) - ar_i \sqrt {5 + 2\sqrt 5 } + r_i^2$

(13c)   $ar_i \sqrt {5 + 2\sqrt 5 } = \frac{{a^2 }}{4}\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right) - \frac{{a^2 }}{4} = \frac{{a^2 }}{4}\left( {4 + 2\sqrt 5 } \right) = \frac{{a^2 }}{2}\left( {2 + \sqrt 5 } \right)$

(14)   $r_i = \frac{{a^2 \left( {2 + \sqrt 5 } \right)}}{{2a\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } }} = \frac{{a\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}}{{2\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } }}$  Inkreisradius

in anderer Umformung (14) erweitert

(14a)   $r_i = \frac{{a\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}}{{2\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } }} \cdot \frac{{\sqrt 5 \sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{{\sqrt 5 \sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }} = \frac{{a\left( {2\sqrt 5 + 5} \right)}}{{2\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } }} \cdot \frac{{\sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{{\sqrt 5 \sqrt 5 \sqrt {5 + 2\sqrt 5 } }}$

(14b)   $r_i = \frac{{a\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right)\sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{{2 \cdot 5\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right)}} = \frac{{a\sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{{10}}$  Inkreisradius

in anderer Umformung (14) erweitert

(14c)   $r_i = \frac{{a\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}}{{2\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } }} \cdot \frac{{\sqrt {5 - 2\sqrt 5 } }}{{\sqrt {5 - 2\sqrt 5 } }} = \frac{{a\sqrt {4 + 4\sqrt 5 + 5} \cdot \sqrt {5 - 2\sqrt 5 } }}{{2\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } \cdot \sqrt {5 - 2\sqrt 5 } }}$

(14d)   $r_i = \frac{{a\sqrt {\left( {9 + 4\sqrt 5 } \right)\left( {5 - 2\sqrt 5 } \right)} }}{{2\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } \cdot \sqrt {5 - 2\sqrt 5 } }} = \frac{{a\sqrt {\left( {45 - 18\sqrt 5 + 20\sqrt 5 - 8 \cdot 5} \right)} }}{{2\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } \cdot \sqrt {5 - 2\sqrt 5 } }}$

(14e)   $r_i = \frac{{a\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } }}{{2\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } \cdot \sqrt {5 - 2\sqrt 5 } }} = \frac{a}{{2\sqrt {5 - 2\sqrt 5 } }}$   Inkreisradius

Umkreisradius

(14b) in (12) eingesetzt

(15a)   $r_u^2 = a^2 \frac{{25 + 10\sqrt 5 }}{{100}} + \left( {\frac{a}{2}} \right)^2 = a^2 \frac{{25 + 10\sqrt 5 + 25}}{{100}} = a^2 \frac{{5 + \sqrt 5 }}{{10}}$

(15b)   $r_u = a\sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{{10}}}$  Umkreisradius

in anderer Umformung (15b) erweitert

(15c)   $r_u = a\sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{{10}}} \cdot \frac{{\sqrt {10} }}{{\sqrt {10} }} = a\frac{{\sqrt {50 + 10\sqrt 5 } }}{{10}}$  Umkreisradius

in anderer Umformung (15a) erweitert

(15d)   $r_u^2 = a^2 \frac{{5 + \sqrt 5 }}{{10}} \cdot \frac{{5 - \sqrt 5 }}{{5 - \sqrt 5 }} = a^2 \frac{{25 - 5}}{{10\left( {5 - \sqrt 5 } \right)}} = a^2 \frac{2}{{5 - \sqrt 5 }}$

(15e)   $r_u = a\sqrt {\frac{2}{{5 - \sqrt 5 }}}$ Umkreisradius

Fläche

(17)   $A = 5 \cdot \frac{{a \cdot r_i }}{2}$

(14d) in (17) eingesetzt

(17a)   $A = 5 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{{a\sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{{10}}$

(17b)   $A = \frac{a^2}{4} \cdot \sqrt {25 + 10\sqrt 5 }$   Fläche

oder (14e) in (17) eingesetzt

(17c)   $A = 5 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{{2\sqrt {5 - 2\sqrt 5 } }}$

(17d)   $A = \frac{{a^2 }}{4} \cdot \frac{5}{{\sqrt {5 - 2\sqrt 5 } }}$  Fläche

Sonstiges

aus (14b) und (15c)

(18)   $\frac{r_i}{r_u} = \frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{\sqrt{50+10\sqrt{5}}} \approx 0,809\dots$

aus (17d) und Umkreisfläche

(19)   $\frac{A}{{A_u }} = \frac{{\frac{{a^2 }}{4} \cdot \frac{5}{{\sqrt {5 - 2\sqrt 5 } }}}}{{r_u^2 \pi }} = \frac{{\frac{{a^2 }}{4} \cdot \frac{5}{{\sqrt {5 - 2\sqrt 5 } }}}}{{a^2 \cdot \frac{2}{{5 - \sqrt 5 }}\pi }} = \frac{{5\left( {5 - \sqrt 5 } \right)}}{{8\pi \sqrt {5 - 2\sqrt 5 } }}$

erweitert

(19a)   $\frac{A}{{A_u }} = \frac{5}{{8\pi }} \cdot \frac{{5 - \sqrt 5 }}{{\sqrt {5 - 2\sqrt 5 } }} \cdot \frac{{\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } }}{{\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } }} = \frac{5}{{8\pi }} \cdot \frac{{\left( {5 - \sqrt 5 } \right)\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } }}{{\sqrt {25 - 4 \cdot 5} }}$

(19b)   $\frac{A}{{A_u }} = \frac{5}{{8\pi }} \cdot \frac{{\left( {5 - \sqrt 5 } \right)\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } }}{{\sqrt 5 }} = \frac{5}{{8\pi }} \cdot \left( {\frac{5}{{\sqrt 5 }} - 1} \right)\sqrt {5 + 2\sqrt 5 }$

(19c)   $\frac{A}{{A_u }} = \frac{5}{{8\pi }} \cdot \left( {\sqrt 5 - 1} \right)\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } = \frac{5}{{8\pi }} \cdot \sqrt {\left( {5 - 2\sqrt 5 + 1} \right)\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right)}$

(19d)   $\frac{A}{{A_u }} = \frac{5}{{8\pi }} \cdot \sqrt {\left( {6 - 2\sqrt 5 } \right)\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right)} = \frac{5}{{8\pi }} \cdot \sqrt {30 + 12\sqrt 2 - 10\sqrt 2 - 4 \cdot 5}$

(19e)   $\frac{A}{{A_u }} = \frac{5}{{8\pi }} \cdot \sqrt {10 + 2\sqrt 2 } \approx 0,757...$

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