Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Regelmäßige Vielecke: Fünfeck

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Inhaltsverzeichnis

1 Fünfeck
- 1.1 Regelmäßiges Fünfeck (Pentagon)
2 Winkel im regelmäßigen Fünfeck (Pentagon)
3 Längen und Flächen im regelmäßigen Fünfeck (Pentagon)

[Bearbeiten] Fünfeck

[Bearbeiten] Regelmäßiges Fünfeck (Pentagon)

[Bearbeiten] Winkel im regelmäßigen Fünfeck (Pentagon)

Im Mittelpunkt M

(1) $\varphi = \frac{{360^0 }}{n} = \frac{{360^0 }}{5} = 72^0$ Mittelpunktswinkel

Winkelsumme im gleichschenkligen Dreieck CDM

(2) $\varphi + 2\alpha _1 = 180^0$

(2a) $\alpha _1 = \frac{{180^0 - \varphi }}{2} = \frac{{180^0 - 72^0 }}{2} = 54^0$

(2b) $\alpha = 2\alpha _1 = 2 \cdot 54^0 = 108^0$ Innenwinkel im Fünfeck

Winkelsumme im gleichschenkligen Dreieck BCD

(2c) $\alpha + 2\alpha _2 = 180^0 \,$

(2d) $\alpha _2 = \frac{{180^0 - \alpha }}{2} = \frac{{180^0 - 108^0 }}{2} = 36^0$

im Winkel D

(3a) $\alpha = 2\alpha _2 + \alpha _3 \,$

(3b) $\alpha _3 = \alpha - 2\alpha _2 = 108^0 - 2 \cdot 36^0 = 36^0$

im gleichschenkligen Dreieck ABD

(4) $\alpha _3 + 2\alpha _4 = 180^0 \,$

(4a) $\alpha _4 = \frac{{180^0 - \alpha _3 }}{2} = \frac{{180^0 - 36^0 }}{2} = 72^0$

[Bearbeiten] Längen und Flächen im regelmäßigen Fünfeck (Pentagon)

Die Dreiecke ABD und FEA sind ähnlich, weil die Winkel in Punkt A und D

$\alpha _2 = \alpha _3 = 36^0 \,$

und die Winkel in Punkt E und A

$\alpha _4 = \alpha _4 = 72^0 \,$

gleich sind

(5) $\overline {BD} :\overline {AB} = \overline {AE} :\overline {EF}$

(6) $\overline {BD} = d$

(6a) $\overline {AB} = a$

(6b) $\overline {AE} = a$

(6c) $\overline {CF} = a$

(6d) $\overline {EF} = d - a$

[Bearbeiten] Diagonale

(6) bis (6d) in (5) eingesetzt

(7) $\frac{d}{a} = \frac{a}{{d - a}}$

(7a) $d^2 - ad = a^2 \,$

(7b) $d^2 - ad - a^2 = 0 \,$

Lösung der quadratischen Gleichung

(8a) $d = \frac{a}{2} + \sqrt {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2 + a^2 } = \frac{a}{2} + \frac{a}{2}\sqrt 5$

(8b) $d = \frac{a}{2}\left( {1 + \sqrt 5 } \right)$ Diagonale

[Bearbeiten] Höhe

Die Höhe des Fünfeck:

(9) $h = \overline{DU}$

Dreieck AUD ist rechtwinklig. Daher gilt nach dem Satz des Pythagoras:

(9a) $d^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2$

(9b) $h^2 = d^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2$

8b einsetzen:

(9c) $h^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 \cdot ( 1+\sqrt5)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2$

(9d) $h^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 \cdot ( ( 1+\sqrt5)^2 - 1)$

(9e) $h^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 \cdot ( ( 1 + 2 \sqrt5 + 5 - 1)$

(9f) $h^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 \cdot ( 5 + 2 \sqrt5)$

(9g) $h = \frac{a}{2} \sqrt{ 5 + 2 \sqrt5}$

[Bearbeiten] Inkreisradius

Es gilt:

(10) $r_i + r_u = h \,$

(11) $r_i + r_u = \frac{a}{2}\sqrt {5 + 2\sqrt 5 }$

Dreieck AUM ist auch rechtwinklig. Daher gilt nach dem Satz des Pythagoras ebenfalls:

(12) $r_u^2 = r_i^2 + \left( {\frac{a}{2}} \right)^2$

(12a) $r_u = \sqrt {r_i^2 + \left( {\frac{a}{2}} \right)^2 }$

(12a) in (11) eingesetzt

(13) $r_i + \sqrt {r_i^2 + \left( {\frac{a}{2}} \right)^2 } = \frac{a}{2}\sqrt {5 + 2\sqrt 5 }$

(13a) $\sqrt {r_i^2 + \left( {\frac{a}{2}} \right)^2 } = \frac{a}{2}\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } - r_i$

quadriert

(13b) $r_i^2 + \frac{{a^2 }}{4} = \frac{{a^2 }}{4}\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right) - ar_i \sqrt {5 + 2\sqrt 5 } + r_i^2$

(13c) $ar_i \sqrt {5 + 2\sqrt 5 } = \frac{{a^2 }}{4}\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right) - \frac{{a^2 }}{4}$

(14) $r_i = \frac{{\frac{{a^2 }}{4}\left( {5 + 2\sqrt 5 - 1} \right)}}{{a\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } }} = \frac{{a\left( {4 + 2\sqrt 5 } \right)}}{{4\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } }} = \frac{{a\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}}{{2\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } }}$

erweitert

(14a) $r_i = a \; \frac{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}{2\sqrt {5 + 2\sqrt 5 }} \cdot \frac{\sqrt {5 + 2\sqrt 5 }}{\sqrt {5 + 2\sqrt 5 }} = a \; \frac{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } }{2\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right)}$

erweitert

(14b) $r_i = a \; \frac{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } }{2\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right)} \cdot \frac{\left( {5 - 2\sqrt 5 } \right)}{\left( {5 - 2\sqrt 5 } \right)}$

ausgerechnet

(14c) $r_i = a \; \frac{\left( {10 - 4\sqrt 5 + 5\sqrt 5 - 2 \cdot 5} \right)\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } }{2\left( {5 \cdot 5 - 4 \cdot 5} \right)} = a \; \frac{\sqrt {5\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right)}}{10}$