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Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen

Winkel im regelmäßigen Fünfeck (Pentagon)[Bearbeiten]

Im Mittelpunkt $M$

(1) $\varphi ={\frac {360^{\circ }}{n}}={\frac {360^{\circ }}{5}}=72^{\circ }$ Mittelpunktswinkel

Winkelsumme im gleichschenkligen $\triangle {CDM}$

(2) $\varphi +2\alpha _{1}=180^{\circ }$

(2a) $\alpha _{1}={\frac {180^{\circ }-\varphi }{2}}={\frac {180^{\circ }-72^{\circ }}{2}}=54^{\circ }$

(2b) $\alpha =2\alpha _{1}=2\cdot 54^{\circ }=108^{\circ }$ Innenwinkel im Fünfeck

Winkelsumme im gleichschenkligen $\triangle {BCD}$

(2c) $\alpha +2\alpha _{2}=180^{\circ }\,$

(2d) $\alpha _{2}={\frac {180^{\circ }-\alpha }{2}}={\frac {180^{\circ }-108^{\circ }}{2}}=36^{\circ }$

im Winkel $D$

(3a) $\alpha =2\alpha _{2}+\alpha _{3}\,$

(3b) $\alpha _{3}=\alpha -2\alpha _{2}=108^{\circ }-2\cdot 36^{\circ }=36^{\circ }$

im gleichschenkligen $\triangle {ABD}$

(4) $\alpha _{3}+2\alpha _{4}=180^{\circ }\,$

(4a) $\alpha _{4}={\frac {180^{\circ }-\alpha _{3}}{2}}={\frac {180^{\circ }-36^{\circ }}{2}}=72^{\circ }$

Längen und Flächen im regelmäßigen Fünfeck (Pentagon)[Bearbeiten]

Die $\triangle {ABD}$ und $\triangle {FEA}$ sind ähnlich, weil die Winkel in Punkt $A$ und $D$

$\alpha _{2}=\alpha _{3}=36^{\circ }\,$

und die Winkel in Punkt $E$ und $A$

$\alpha _{4}=\alpha _{4}=72^{\circ }\,$

gleich sind

(5) ${\overline {BD}}:{\overline {AB}}={\overline {AE}}:{\overline {EF}}$

(6) ${\overline {BD}}=d$

(6a) ${\overline {AB}}=a$

(6b) ${\overline {AE}}=a$

(6c) ${\overline {CF}}=a$

(6d) ${\overline {EF}}=d-a$

Diagonale[Bearbeiten]

(6) bis (6d) in (5) eingesetzt

(7) ${\frac {d}{a}}={\frac {a}{d-a}}$

(7a) $d^{2}-ad=a^{2}\,$

(7b) $d^{2}-ad-a^{2}=0\,$

Lösung der quadratischen Gleichung

(8a) $d={\frac {a}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+a^{2}}}={\frac {a}{2}}+{\frac {a}{2}}{\sqrt {5}}$

(8b) $d={\frac {a}{2}}\left({1+{\sqrt {5}}}\right)$ Diagonale

Höhe[Bearbeiten]

Die Höhe des Fünfecks:

(9) $h={\overline {DU}}$

$\triangle {AUD}$ ist rechtwinklig. Daher gilt nach dem Satz des Pythagoras:

(9a) $d^{2}=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+h^{2}$

(9b) $h^{2}=d^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}$

(8b) einsetzen:

(9c) $h^{2}=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}\cdot \left({1+{\sqrt {5}}}\right)^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}\cdot \left[{\left({1+{\sqrt {5}}}\right)^{2}-1}\right]$

(9d) $h^{2}=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}\cdot \left({1+2{\sqrt {5}}+5-1}\right)=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}\cdot \left({5+2{\sqrt {5}}}\right)$

(9e) $h={\frac {a}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$ Höhe

Inkreisradius[Bearbeiten]

Es gilt:

(10) $r_{i}+r_{u}=h\,$

(11) $r_{i}+r_{u}={\frac {a}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$

$\triangle {AUM}$ ist auch rechtwinklig. Daher gilt nach dem Satz des Pythagoras ebenfalls:

(12) $r_{u}^{2}=r_{i}^{2}+\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}$

(12a) $r_{u}={\sqrt {r_{i}^{2}+\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}}}$

(12a) in (11) eingesetzt

(13) $r_{i}+{\sqrt {r_{i}^{2}+\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$

(13a) ${\sqrt {r_{i}^{2}+\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}-r_{i}$

quadriert

(13b) $r_{i}^{2}+{\frac {a^{2}}{4}}={\frac {a^{2}}{4}}\left({5+2{\sqrt {5}}}\right)-ar_{i}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+r_{i}^{2}$

(13c) $ar_{i}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}={\frac {a^{2}}{4}}\left({5+2{\sqrt {5}}}\right)-{\frac {a^{2}}{4}}={\frac {a^{2}}{4}}\left({4+2{\sqrt {5}}}\right)={\frac {a^{2}}{2}}\left({2+{\sqrt {5}}}\right)$

(14) $r_{i}={\frac {a^{2}\left({2+{\sqrt {5}}}\right)}{2a{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}}={\frac {a\left({2+{\sqrt {5}}}\right)}{2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}}$ Inkreisradius

in anderer Umformung (14) erweitert

(14a) $r_{i}={\frac {a\left({2+{\sqrt {5}}}\right)}{2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}}\cdot {\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{{\sqrt {5}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}}={\frac {a\left({2{\sqrt {5}}+5}\right)}{2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}}\cdot {\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{{\sqrt {5}}{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}}$

(14b) $r_{i}={\frac {a\left({5+2{\sqrt {5}}}\right){\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{2\cdot 5\left({5+2{\sqrt {5}}}\right)}}={\frac {a{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{10}}$ Inkreisradius

in anderer Umformung (14) erweitert

(14c) $r_{i}={\frac {a\left({2+{\sqrt {5}}}\right)}{2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}}\cdot {\frac {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}={\frac {a{\sqrt {4+4{\sqrt {5}}+5}}\cdot {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}{2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\cdot {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}}$

(14d) $r_{i}={\frac {a{\sqrt {\left({9+4{\sqrt {5}}}\right)\left({5-2{\sqrt {5}}}\right)}}}{2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\cdot {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}}={\frac {a{\sqrt {\left({45-18{\sqrt {5}}+20{\sqrt {5}}-8\cdot 5}\right)}}}{2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\cdot {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}}$

(14e) $r_{i}={\frac {a{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\cdot {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}}={\frac {a}{2{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}}$ Inkreisradius

Umkreisradius[Bearbeiten]

(14b) in (12) eingesetzt

(15a) $r_{u}^{2}=a^{2}{\frac {25+10{\sqrt {5}}}{100}}+\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}=a^{2}{\frac {25+10{\sqrt {5}}+25}{100}}=a^{2}{\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}$

(15b) $r_{u}=a{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}$ Umkreisradius

in anderer Umformung (15b) erweitert

(15c) $r_{u}=a{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}\cdot {\frac {\sqrt {10}}{\sqrt {10}}}=a{\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{10}}$ Umkreisradius

in anderer Umformung (15a) erweitert

(15d) $r_{u}^{2}=a^{2}{\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}\cdot {\frac {5-{\sqrt {5}}}{5-{\sqrt {5}}}}=a^{2}{\frac {25-5}{10\left({5-{\sqrt {5}}}\right)}}=a^{2}{\frac {2}{5-{\sqrt {5}}}}$

(15e) $r_{u}=a{\sqrt {\frac {2}{5-{\sqrt {5}}}}}$ Umkreisradius

Fläche[Bearbeiten]

(17) $A=5\cdot {\frac {a\cdot r_{i}}{2}}$

(14d) in (17) eingesetzt

(17a) $A=5\cdot {\frac {a}{2}}\cdot {\frac {a{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{10}}$

(17b) $A={\frac {a^{2}}{4}}\cdot {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}$ Fläche

oder (14e) in (17) eingesetzt

(17c) $A=5\cdot {\frac {a}{2}}\cdot {\frac {a}{2{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}}$

(17d) $A={\frac {a^{2}}{4}}\cdot {\frac {5}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$ Fläche

Sonstiges[Bearbeiten]

aus (14b) und (15c)

(18) ${\frac {r_{i}}{r_{u}}}={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}}\approx 0,809\dots$

aus (17d) und Umkreisfläche

(19) ${\frac {A}{A_{u}}}={\frac {{\frac {a^{2}}{4}}\cdot {\frac {5}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}}{r_{u}^{2}\pi }}={\frac {{\frac {a^{2}}{4}}\cdot {\frac {5}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}}{a^{2}\cdot {\frac {2}{5-{\sqrt {5}}}}\pi }}={\frac {5\left({5-{\sqrt {5}}}\right)}{8\pi {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}}$

erweitert

(19a) ${\frac {A}{A_{u}}}={\frac {5}{8\pi }}\cdot {\frac {5-{\sqrt {5}}}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}\cdot {\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}={\frac {5}{8\pi }}\cdot {\frac {\left({5-{\sqrt {5}}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{\sqrt {25-4\cdot 5}}}$

(19b) ${\frac {A}{A_{u}}}={\frac {5}{8\pi }}\cdot {\frac {\left({5-{\sqrt {5}}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{\sqrt {5}}}={\frac {5}{8\pi }}\cdot \left({{\frac {5}{\sqrt {5}}}-1}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$

(19c) ${\frac {A}{A_{u}}}={\frac {5}{8\pi }}\cdot \left({{\sqrt {5}}-1}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}={\frac {5}{8\pi }}\cdot {\sqrt {\left({5-2{\sqrt {5}}+1}\right)\left({5+2{\sqrt {5}}}\right)}}$

(19d) ${\frac {A}{A_{u}}}={\frac {5}{8\pi }}\cdot {\sqrt {\left({6-2{\sqrt {5}}}\right)\left({5+2{\sqrt {5}}}\right)}}={\frac {5}{8\pi }}\cdot {\sqrt {30+12{\sqrt {2}}-10{\sqrt {2}}-4\cdot 5}}$