Beweisarchiv: Geometrie: Trigonometrie: Additionstheoreme: Sinus

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Additionstheoreme.png

[Bearbeiten] Additionstheoreme (Sinus)

Beweis für:

\sin (\alpha \pm \beta ) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \sin \beta \cdot \cos \alpha


Im rechtwinkligen Dreieck ∆ AOB ist

(1)  \sin (\alpha + \beta ) = \frac{{\overline {AB} }}{1} = \overline {AB}

Im rechtwinkligen Dreieck ∆ BOD ist

(2)  \sin \beta = \frac{{\overline {BD} }}{1} = \overline {BD}

und

(3)   \cos \beta = \frac{{\overline {OD} }}{1} = \overline {OD}

Im rechtwinkligen Dreieck ∆ COD ist

(4.1)  \sin \alpha = \frac{{\overline {CD} }}{{\overline {OD} }}

(3) eingesetzt

(4.2)  \sin \alpha = \frac{{\overline {CD} }}{{\cos \beta }}

(4.3)  \sin \alpha \cdot \cos \beta = \overline {CD}

(5.1)  \cos \alpha = \frac{{\overline {BE} }}{{\overline {BD} }}

(2) eingesetzt

(5.2)  \cos \alpha = \frac{{\overline {BE} }}{{\sin \beta }}

(5.3)  \sin \beta \cdot \cos \alpha = \overline {BE}


(6.1)  \overline {AB} = \overline {CD} + \overline {BE}

(4.3) und (5.3) eingesetzt

(6.2)  \overline {AB} = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \sin \beta \cdot \cos \alpha

in (1) eingesetzt

(7)  \sin (\alpha + \beta ) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \sin \beta \cdot \cos \alpha


Wenn Winkel β negativ:

(8)   \sin (\alpha - \beta ) = \sin \alpha \cdot \cos ( - \beta ) + \sin ( - \beta ) \cdot \cos \alpha

(9a)  \cos ( - \beta ) = + \cos \beta \,

und

(9b)  \sin ( - \beta ) = - \sin \beta \,

eingesetzt in (8)

(10)  \sin (\alpha - \beta ) = \sin \alpha \cdot \cos \beta - \sin \beta \cdot \cos \alpha

(7) und (10) zusammengefasst

(11)  \sin (\alpha \pm \beta ) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \sin \beta \cdot \cos \alpha

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