Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Existenztheorie: Existenz nicht-fortsetzbarer Lösungen

Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit

Existenztheorie: Existenz nicht-fortsetzbarer Lösungen · Satz von Picard-Lindelöf

Lineare Theorie: Liouville'sche Formel

Die Sätze von Picard-Lindelöf und Peano liefern die Existenz lokaler Lösungen. Die Frage, ob man diese Lösung „immer weiter“ fortsetzen kann, bis man zu einer nicht-fortsetzbaren Lösung gelangt, wird durch den folgenden Satz positiv beantwortet. Auf Grund des hier vorgestellten Beweises wird die nicht-fortsetzbare Lösung gelegentlich auch als maximale Lösung bezeichnet. Man verwechsle dies aber nicht mit dem Begriff der maximalen Lösung eines nicht-eindeutig lösbaren Anfagswertproblems $y'=F(x,y), y(a) = y_0$ (für stetiges $F$).

Existenz einer nicht-fortsetzbaren Lösung

Sei $G \subset \mathbb{R} \times \mathbb{K}^n$ und $F: G \rightarrow \mathbb{K}^n$ stetig. Weiter sei $y \in C([a,b); \mathbb{K}^n) \cap C^1((a,b); \mathbb{K}^n)$ eine Lösung von

$\ y' = F(x,y)$

auf $(a,b)$. Dann gibt es ein $x^+ \in [b, \infty)$ und eine Lösung $u$ obiger Differentialgleichung auf $(a,x^+)$ mit den Eigenschaften:

• $y(x) = u(x)$ auf $[a, b)$.
• Es gibt kein $s^+ > x^+$, so dass $u$ zu einer Lösung auf $(a, s^+)$ fortgesetzt werden kann.

Beweis

Setze

$M := \{v\ |\ \exists \alpha \in [b,\infty]\ ,\ \mathrm{so\ dass}\ v\ \mathrm{L\ddot{o}sung\ auf}\ (a, \alpha)\ \textrm{mit}\ v = y\ \textrm{auf}\ [a, b)\}\ .$

$M$ wird zu einer partiell geordneten Menge vermöge

$v \preceq w :\Leftrightarrow D(v) \subset D(w)$ und $\ w|_{D(v)} = v$.

Tatsächlich ist $M$ eine induktiv geordnete Menge, denn es gilt ja:

• $M \neq \emptyset$, da $y \in M$.
• Es sei $A \subset M$ eine Kette und $I := \bigcup_{v \in A}D(v) \subset [a, \infty)$. Definiere dann für $t \in I$

$\ U(x) := v(x)$, falls $x \in D(v)$.

Dann ist $U$ wohldefiniert, denn zu $v,w \in A$ gilt nach Definition der Kette stets $v \preceq w$ oder $w \preceq v$. Nun ist $I$ ein Intervall der Form $[a, x^+)$ für ein $x^+ \in [b,\infty]$, da zu jedem $x \in I$ ein $v \in A$ existiert mit $x \in D(v)$ und somit $[a,x+\delta) \subset D(v) \subset I$. Offenbar ist dann $U \in M$ eine obere Schranke für die Kette $A$.

Nach dem Lemma von Kuratowski-Zorn besitzt $M$ ein maximales Element $u$. Dieses erfüllt die im Satz formulierten Bedingungen.

$\Box$

Wikipedia-Verweis

• Nicht-fortsetzbare Lösung