Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Existenztheorie: Existenz nicht-fortsetzbarer Lösungen

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Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit
Existenztheorie: Existenz nicht-fortsetzbarer Lösungen · Satz von Picard-Lindelöf
Lineare Theorie: Liouville'sche Formel

Die Sätze von Picard-Lindelöf und Peano liefern die Existenz lokaler Lösungen. Die Frage, ob man diese Lösung „immer weiter“ fortsetzen kann, bis man zu einer nicht-fortsetzbaren Lösung gelangt, wird durch den folgenden Satz positiv beantwortet. Auf Grund des hier vorgestellten Beweises wird die nicht-fortsetzbare Lösung gelegentlich auch als maximale Lösung bezeichnet. Man verwechsle dies aber nicht mit dem Begriff der maximalen Lösung eines nicht-eindeutig lösbaren Anfagswertproblems y' = F(x,y),y(a) = y0 (für stetiges F).

[Bearbeiten] Existenz einer nicht-fortsetzbaren Lösung

Sei G \subset \mathbb{R} \times \mathbb{K}^n und F: G \rightarrow \mathbb{K}^n stetig. Weiter sei y \in C([a,b); \mathbb{K}^n) \cap C^1((a,b); \mathbb{K}^n) eine Lösung von

\ y' = F(x,y)

auf (a,b). Dann gibt es ein x^+ \in [b, \infty) und eine Lösung u obiger Differentialgleichung auf (a,x + ) mit den Eigenschaften:

  • y(x) = u(x) auf [a,b).
  • Es gibt kein s + > x + , so dass u zu einer Lösung auf (a,s + ) fortgesetzt werden kann.

[Bearbeiten] Beweis

Setze

M := \{v\ |\ \exists \alpha \in [b,\infty]\ ,\ \mathrm{so\ dass}\ v\ \mathrm{L\ddot{o}sung\ auf}\ (a, \alpha)\ \textrm{mit}\ v = y\ \textrm{auf}\ [a, b)\}\ .

M wird zu einer partiell geordneten Menge vermöge

v \preceq w :\Leftrightarrow D(v) \subset D(w) und \ w|_{D(v)} = v.

Tatsächlich ist M eine induktiv geordnete Menge, denn es gilt ja:

  • M \neq \emptyset, da y \in M.
  • Es sei A \subset M eine Kette und I := \bigcup_{v \in A}D(v) \subset [a, \infty). Definiere dann für t \in I
\ U(x) := v(x), falls x \in D(v).
Dann ist U wohldefiniert, denn zu v,w \in A gilt nach Definition der Kette stets v \preceq w oder w \preceq v. Nun ist I ein Intervall der Form [a,x + ) für ein x^+ \in [b,\infty], da zu jedem x \in I ein v \in A existiert mit x \in D(v) und somit [a,x+\delta) \subset D(v) \subset I. Offenbar ist dann U \in M eine obere Schranke für die Kette A.

Nach dem Lemma von Kuratowski-Zorn besitzt M ein maximales Element u. Dieses erfüllt die im Satz formulierten Bedingungen.

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[Bearbeiten] Wikipedia-Verweis

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