Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Existenztheorie: Satz von Picard-Lindelöf

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Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit

Existenztheorie: Existenz nicht-fortsetzbarer Lösungen · Satz von Picard-Lindelöf

Lineare Theorie: Liouville'sche Formel

Der Satz von Picard-Lindelöf garantiert die lokale Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen des Anfangswertproblems $y (x 0) = y 0$ nichtlinearer gewöhnlicher Differentialgleichungen $y'(x) = F (x, y (x))$ unter lokal Lipschitz-Stetigkeit von $F$ in der zweiten Variablen. Zudem liefert der Beweis dieses Satzes ein konstruktives Verfahren, die Picard-Iteration, mit dem man die Lösung approximieren kann.

Inhaltsverzeichnis

1 Lokale Version des Satzes von Picard-Lindelöf
- 1.1 Beweis
2 Globale Version des Satzes von Picard-Lindelöf
- 2.1 Beweis
3 Wikipedia-Verweis

[Bearbeiten] Lokale Version des Satzes von Picard-Lindelöf

Sei $E$ ein Banachraum, $G \subset \mathbb{R} \times E$ , $y_0 \in E, R>0$ mit $[a,b] \times \overline{B}(y_0,R) \subset G$ und $F=F(x,y): G \rightarrow E$ stetig und lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen. Hierin bezeichnet

$\overline{B}(y_0,R) := \{z \in E\ |\ \|z-y_0\| \leq R\}$

die abgeschlossene Kugel im $y 0$ mit Radius $R$ . Ist

$M := \max\{\|F(x,y)\|\ |\ (x,y) \in [a,b] \times \overline{B}(y_0,R)\}$

sowie

$\alpha := \min\left\{b-a, \frac{R}{M}\right\}\ ,$

dann existiert genau eine Lösung des Anfangswertproblems

$y'=f(x,y)\ ,\ y(a) = y_0$

auf dem Intervall $[a, a + α]$ ; sie hat Werte in $\overline{B}(y_0,R)$ .

[Bearbeiten] Beweis

Man betrachte die Picard-Iteration

$y_0(x) :\equiv y_0\ ,\ y_{k+1}(x) := y_0 + \int_a^xF(s,y_k(s)){\rm d}s\ ,\ x \in [a,a+\alpha]\ .$

Per vollständiger Induktion sieht man aus der Definition von $α$ direkt, dass alle Iterierten $y k$ sämtlich Werte in $\overline{B}(y_0,R)$ annehmen und stetig sind. Da $[a,a+\alpha] \times \overline{B}(y_0,R)$ kompakt ist, gibt es ein $L \geq 0$ mit

$\|F(x,y) - F(x,z)\| \leq L\|y-z\|$

für alle $x \in [a,a+\alpha],\ y,z \in \overline{B}(y_0,R)$ gilt. Mit vollständiger Induktion zeigt man

$\|y_{k+1}(x) - y_k(x)\| \leq ML^k\frac{(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}$

auf $[a, a + α]$ . Daraus folgt

$\max_{x \in [a,a+\alpha]}\|y_{k+m}-y_k\| \leq \frac{M}{L}\sum_{j=1}^m\frac{\max_{x\in[a,a+\alpha]}(L(x-a))^{k+j}}{(k+j)!} \leq \frac{M}{L} \sum_{j=k+1}^\infty\frac{(L\alpha)^j}{j!} < \varepsilon$

für alle $m \in \mathbb{N}$ und $k \geq k(\varepsilon)$ . Insbesondere ist $(y_k)_{k\in\mathbb{N}}$ eine Cauchy-Folge im Banachraum $C ([a, a + α]; E)$ und konvergiert folglich gleichmäßig gegen eine stetige Grenzfunktion $y \in C([a,a+\alpha]; E)$ . Wegen

$\max_{s\in[a,a+\alpha]}\|F(s,y_k(s)-F(s,y(s))\| \leq L\max_{s \in[a,a+\alpha]}\|y_k(s)-y(s)\| \rightarrow 0$

folgt

$y(x) = y_0 + \int_a^xF(s,y(s)){\rm d}s\ .$

Nach dem Fundamentalsatz der Analysis ist $y$ stetig differenzierbar mit $y'(x) = F (x, y (x))$ . Die Eindeutigkeitsaussage folgt direkt aus dem Eindeutigkeitssatz bei lokaler Lipschitz-Stetigkeit.

$\Box$

[Bearbeiten] Globale Version des Satzes von Picard-Lindelöf

Es sei $E$ ein Banachraum und $F: [a,b]\times E\to E$ eine stetige Funktion, welche eine globale Lipschitz-Bedingung bezüglich der zweiten Variablen erfüllt. Dann gibt es zu jedem $y_0 \in E$ eine globale Lösung $y: [a,b] \to E$ des Anfangswertproblems

$y'=F(x,y)\ ,\ y(a)=y_0\$ .

Es gibt keine weiteren (lokalen) Lösungen.

[Bearbeiten] Beweis

Betrachte den Operator $T: C([a,b]; E) \rightarrow C([a,b]; E)$ , definiert vermöge

$T(u)(x)=y_0+\int_{a}^x F(t,u(t)){\rm d}t\ .$

Die Abbildung $t \mapsto F(t,u(t))$ ist für festes $u \in C([a,b]; E)$ auf $[a, b]$ stetig. Insbesondere ist $\|F(t,u(t))\| \leq M$ auf $[a, b]$ für geeignetes $M = M(F,u) \geq 0$ . Somit ist das Integral $\int_{a}^x F(t,u(t)){\rm d}t$ für jedes $x \in [a,b]$ wohldefiniert. Weiter ist

$\|T(u)(x)-T(u)(y)\| \leq \left\|\int_y^xF(t,u(t)){\rm d}t\right\| \leq M|x-y|\ .$

Also gilt $T(u) \in C([a,b]; E)$ , d.h., der Operator $T$ ist wohldefiniert.

Damit dieser Operator im Sinne des banachschen Fixpunktsatzes kontraktiv ist, stattet man $C ([a, b]; E)$ mit der gewichteten Supremumsnorm

$\|u\|_{C([a,b]; E)}:=\sup_{x\in[a,b]}e^{-2Lx}\cdot \|u(x)\|_E$

aus, worin $L \geq 0$ die Lipschitz-Konstante von $F$ in der zweiten Variablen bezeichnet. Da diese Norm äquivalent zur „normalen“ Supremumsnorm ist, bleibt $C ([a, b]; E)$ auch in dieser Norm ein Banachraum. Es gilt

$\begin{array}{lll} e^{-2Lx}\|T(u)(x)-T(v)(x)\|_E&=&e^{-2Lx}\|\int_a^xF(t,u(t))-F(t,v(t)){\rm d}t\|_E\\ &\leq&Le^{-2Lx}\int_a^xe^{2Lt}e^{-2Lt}\|u(t)-v(t)\|_E{\rm d}t\\ &\leq&Le^{-2Lx}\int_a^xe^{2Lt}\|u-v\|_{C([a,b]; E)}{\rm d}t\\ &\leq&\frac{1}{2}\|u-v\|_{C([a,b]; E)}\ .\\ \end{array}$

Also gilt

$\|T(u)-T(v)\|_{C([a,b]; E)} \leq \frac{1}{2}\|u-v\|_{C([a,b]; E)}\ ,$

und somit sind die Voraussetzungen des banachschen Fixpunktsatzes erfüllt. Es gibt daher eine Lösung $y \in C([a,b]; E)$ des Fixpunktproblems

$y(x) = T(y)(x) = y_0+\int_{a}^x F(t,y(t)){\rm d}t\ .$

Nach dem Fundamentalsatz der Analysis ist $y$ stetig differenzierbar mit $y'(x) = F (x, y (x))$ . Für den Eindeutigkeitsbeweis gilt die Bemerkung von oben.

$\Box$