Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Lineare Theorie: Liouville'sche Formel

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Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit
Existenztheorie: Existenz nicht-fortsetzbarer Lösungen · Satz von Picard-Lindelöf
Lineare Theorie: Liouville'sche Formel

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Satz

Sei J \subset \mathbb{R} ein Intervall, A: J \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n} stetig und \ \Phi eine Matrixlösung von

\ y'(x) = A(x)y(x)\ ,

d. h., \Phi: J \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n} ist differenzierbar mit \ \Phi'(x) = A(x)\Phi(x). Dann gilt für alle x, x_0 \in J die liouvillesche Formel

\det \Phi(x) = \det \Phi(x_0) \cdot \exp\left(\int_{x_0}^x {\rm Spur}(A(s)){\rm d}s\right)\ .

[Bearbeiten] Beweis

Seien x \in J und h \in \mathbb{R} \setminus \{0\} mit x+h \in J. Für

\ r(h) := \Phi(x+h) - \Phi(x) - h\Phi'(x)

gilt \frac{r(h)}{h} \rightarrow 0 für h \rightarrow 0. Mit \ \Phi'(x) = A(x)\Phi(x) gilt daher

\det(\Phi(x+h)) = \det[(I + hA(x))\cdot\Phi(x)+r(h)]\ .

Als erstes zeigt man, dass die Störung r(h) unerheblich ist. Sei dazu Sn die symmetrische Gruppe der Ordnung n. Setze

B(h) := (I + hA(x))\cdot\Phi(x)\ .

Nach der Leibniz-Formel für die Determinante gilt

\begin{array}{lll} \det(B(h) + r(h))&=&\sum_{\sigma \in S_n}\textrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n[B(h)+r(h)]_{i,\sigma(i)}\\ &=&\sum_{\sigma \in S_n}\textrm{sgn}(\sigma)(\prod_{i=1}^n[B(h)]_{i,\sigma(i)} + R(h, \sigma))\\ &=&\det(B(h)) + \sum_{\sigma \in S_n}\textrm{sgn}(\sigma) R(h, \sigma)\\ \end{array}

mit

R(h, \sigma) := \prod_{i=1}^n[B(h)+r(h)]_{i,\sigma(i)} - \prod_{i=1}^n[B(h)]_{i,\sigma(i)}\ .

Aus \frac{r(h)}{h} \rightarrow 0 für h \rightarrow 0 folgt \frac{R(h, \sigma)}{h} \rightarrow 0 für jedes \sigma \in S_n. Also ist

\det((I + hA(x))\Phi(x) + r(h)) = \det(I + hA(x))\det(\Phi(x)) + o(h)\ .

Seien \lambda_1, \ldots, \lambda_n die Eigenwerte von A(x) (für festes x). Da die Determinante einer Matrix das Produkt ihrer Eigenwerte und die Spur einer Matrix die Summe ihrer Eigenwerte ist, folgt

\det(I+hA(x)) = \prod_{j=1}^n(1+h\lambda_j) = 1 + h\sum_{j=1}^n\lambda_j + o(h) = 1 + h\cdot\textrm{Spur}(A(x)) + o(h)\ .

Dies impliziert

(\det\Phi)'(x) = {\rm Spur}(A(x))\cdot\det\Phi(x) für alle x \in J.

Für

F(x) := \exp\left(-\int_{x_0}^x{\rm Spur}(A(s)){\rm d}s\right)\cdot\det\Phi(x)

gilt

\ F'(x) = -{\rm Spur}(A(x))F(x) + {\rm Spur}(A(x))F(x) = 0\ ,

also

\det\Phi(x) = F(x_0)\exp\left(\int_{x_0}^x{\rm Spur}(A(s)){\rm d}s\right) = \det\Phi(x_0)\exp\left(\int_{x_0}^x{\rm Spur}(A(s)){\rm d}s\right) für alle x \in J\ .
\Box

[Bearbeiten] Literatur

  • Carmen Chicone: Ordinary Differential Equations with Applications, 2. Auflage. Texts in Applied Mathematics 34, Springer-Verlag, 2006, ISBN 0-387-30769-9

[Bearbeiten] Wikipedia-Verweis

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