Beweisarchiv: Lineare Algebra: Endomorphismen: Satz von Cayley-Hamilton
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[Bearbeiten] Satz von Cayley-Hamilton
[Bearbeiten] Voraussetzungen
Es seien K ein Körper, V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und
ein K-linearer Endomorphismus von V.
[Bearbeiten] Behauptung
f ist Nullstelle seines charakteristischen Polynoms, d.h. setzt man f formal in das charakteristische Polynom ein, erhält man den Nullendomorphismus.
[Bearbeiten] Beweis
Es sei A = K[f] die von f erzeugte kommutative Unteralgebra von
. Die zu beweisende Aussage kann wie folgt umformuliert werden: Die Determinante D des Endomorphismus
von
ist gleich null.
Der Beweis beruht auf der Konstruktion der komplementären Matrix: Zu jeder Matrix B gibt es eine Matrix
, deren Einträge Polynome in den Einträgen von B sind, so dass
gilt. Im betrachteten Fall folgt insbesondere
Das Bild ist aber im Kern der Abbildung
enthalten. Es gilt also D(v) = 0 für alle
, aber das ist nichts anderes als die Aussage D = 0 in
.
[Bearbeiten] Elementarer Beweis
Etwas weniger elegant, aber elementarer geht es so:
Zu
betrachte den Vektorraum
.
Da V endlichdimensional ist, erzeugen bereits l Vektoren
den Unterraum Uv.
Wählt man l minimal, bildet
eine Basis von Uv. Ansonsten hätte ein vi eine Darstellung
im Widerspruch dazu, daß l minimal ist.
Nach Konstruktion gilt
und wir haben aufgrund der Basiseigenschaft
. Damit hat
bezüglich
die Darstellung
.
Mit einiger Rechnerei (Entwickeln nach der letzten Spalte, Stichwort Frobenius-Matrix) berechnet man das Charakteristische Polynom
von
:
.
Setzen wir nun f in dieses Polynom ein, und wenden die entstehende lineare Abbildung auf v = v0 an, erhalten wir:



.
Ergänzen wir die Basis von Uv zu einer Basis
von V, so hat f bezüglich
die Matrixdarstellung
. In der Blockmatrix taucht unser
auf. Wir sehen, daß
ein Teiler von
ist. Die Ei sind entsprechend dimensionierte Einheitsmatrizen. Damit folgt χf(f)(v) = 0.
Da wir anfangs
beliebig gewählt haben, ist die Abbildung χf(f) die Nullabbildung und der Satz ist bewiesen.

