Beweisarchiv: Lineare Algebra: Endomorphismen: Satz von Cayley-Hamilton

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Beweisarchiv: Lineare Algebra

Endomorphismen: Satz von Cayley-Hamilton

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Satz von Cayley-Hamilton

[Bearbeiten] Voraussetzungen

Es seien K ein Körper, V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und f\colon V\to V ein K-linearer Endomorphismus von V.

[Bearbeiten] Behauptung

f ist Nullstelle seines charakteristischen Polynoms, d.h. setzt man f formal in das charakteristische Polynom ein, erhält man den Nullendomorphismus.

[Bearbeiten] Beweis

Es sei A = K[f] die von f erzeugte kommutative Unteralgebra von \operatorname{End}V. Die zu beweisende Aussage kann wie folgt umformuliert werden: Die Determinante D des Endomorphismus f\otimes1-1\otimes f von A\otimes V ist gleich null.

Der Beweis beruht auf der Konstruktion der komplementären Matrix: Zu jeder Matrix B gibt es eine Matrix B^\#, deren Einträge Polynome in den Einträgen von B sind, so dass BB^\#=B^\#B=\det B\cdot\mathbf 1 gilt. Im betrachteten Fall folgt insbesondere

D\cdot A\otimes V\subseteq\operatorname{im}(f\otimes1-1\otimes f).

Das Bild ist aber im Kern der Abbildung

A\otimes V\to V,\quad g\otimes v\mapsto g(v),

enthalten. Es gilt also D(v) = 0 für alle v\in V, aber das ist nichts anderes als die Aussage D = 0 in A\subset\operatorname{End}V.

[Bearbeiten] Wikipedia-Verweise

Satz von Cayley-Hamilton · Charakteristisches Polynom

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