Beweisarchiv: Lineare Algebra: Endomorphismen: Satz von Cayley-Hamilton
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- Endomorphismen: Satz von Cayley-Hamilton
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[Bearbeiten] Satz von Cayley-Hamilton
[Bearbeiten] Voraussetzungen
Es seien K ein Körper, V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und
ein K-linearer Endomorphismus von V.
[Bearbeiten] Behauptung
f ist Nullstelle seines charakteristischen Polynoms, d.h. setzt man f formal in das charakteristische Polynom ein, erhält man den Nullendomorphismus.
[Bearbeiten] Beweis
Es sei A = K[f] die von f erzeugte kommutative Unteralgebra von
. Die zu beweisende Aussage kann wie folgt umformuliert werden: Die Determinante D des Endomorphismus
von
ist gleich null.
Der Beweis beruht auf der Konstruktion der komplementären Matrix: Zu jeder Matrix B gibt es eine Matrix
, deren Einträge Polynome in den Einträgen von B sind, so dass
gilt. Im betrachteten Fall folgt insbesondere
Das Bild ist aber im Kern der Abbildung
enthalten. Es gilt also D(v) = 0 für alle
, aber das ist nichts anderes als die Aussage D = 0 in
.
[Bearbeiten] Wikipedia-Verweise
Satz von Cayley-Hamilton · Charakteristisches Polynom
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