Beweisarchiv: Mengenlehre: Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young

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Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young

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Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms - Wohlordnungssatz - Lemma von Zorn

[Bearbeiten] Satz

$\mathfrak{G}$ sei die Menge aller $G_\delta$ -Mengen Untermengen von $\mathbb{R}$ ,

$\mathfrak{F}$ - die Menge der Funktionen:

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ,

und $N(f)\,$ die Menge der Stetigkeitsstellen von $f\in\mathfrak{F}$ . Es gilt

$\{N(f)\}_{f\in\mathfrak{F}}=\mathfrak{G}$ .

[Bearbeiten] Beweis

Zunächst werden wir die Inklusion $\{N(f)\}_{f\in\mathfrak{F}}\subset \mathfrak{G}$ zeigen.

Sei $f\in\mathfrak{F}$ .

$\triangle_k(x)$ sei für jedes $x\in N(f)$ eine solche Umgebung von $x,\,$ so dass $\forall\xi\left( \xi\in\triangle_k(x)\Rightarrow |f(\xi)-f(x)|<\frac{1}{2k}\right),$

Die Mengen $G_k$ und $G$ seien wie folgt definiert

$G_k=\bigcup_{x\in N(f)}\triangle_k(x)$

und

$G=\bigcap_{k=1}^{\infty}G_k.$

$\triangle_k(x)$ sind offene Mengen, folglich die Mengen $\{G_k\}$ auch und $G$ ist borelsche $G_\delta$ -Menge. Wir werden zeigen, dass $N(f)=G\,$ .

Aus

$\forall x \forall k ( x\in N(f)\Rightarrow x\in\triangle_k(x)) \Rightarrow \forall x \forall k \left(x\in N(f) \Rightarrow x\in G_k \right) \Rightarrow \forall x\ (x\in N(f) \Rightarrow x\in G).$

sieht man, dass

$N(f)\subset G.$

In die andere Richtung:

Aus $y\in G$ folgt $\forall k\ (y\in G_k)$ und

$\forall k\exists x_k(x_k\in N(f) \Rightarrow y\in\triangle_k(x_k)).$

Man nehme an, dass $y\notin N(f)$ . Dann ist $y\neq x_k$ für jedes $k$ und für jedes $k$ existiert eine solche Umgebung $\triangle^{\star}_k(y)$ von $y$ , so dass $x_k\notin\triangle^{\star}_k(y)$ und $\triangle^{\star}_k(y)\subset\triangle_k(x_k).$

Nach der Definition von $\triangle_k(x)$

$\forall k\forall\xi\left(\xi\in\triangle^{\star}_{k}(y) \Rightarrow |f(y)-f(\xi)|<\frac{1}{k}\right),$

also ist $y\in N(f).$

Damit haben wir $N(f)\in \mathfrak{G}$ und $\{N(f)\}_{f\in\mathfrak{F}}\subset \mathfrak{G}$ bewiesen. Es bleibt noch $\{N(f)\}_{f\in\mathfrak{F}}\supset \mathfrak{G}$ zu zeigen.

Sei

$G\in\mathfrak{G}$

und

$G=\bigcap_{n=1}^\infty{G_n},$

sei die Darstellung von $G$ als Durchschnitt der offenen Mengen $\{G_n\}_{n=1,2,...},$ . Sei ausserdem $H_1=G_1\,$ und $H_i=H_{i-1}\cap G_i.$

Es ist leicht ersichtlich, dass

$H_1 \supset H_2 \supset \ldots \supset H_n \supset \ldots$

genau so wie

$\bigcap_{n=1}^m G_n=\bigcap_{n=1}^m H_n$

für jedes $m$ , folglich

$G=\bigcap_{n=1}^\infty H_n$ .

Wir definieren die Funktionen $f_{H}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ für jede offene Menge $H$ sowie die Funktion $s:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ wie folgt

$f_H(x)=\begin{cases} 0, & x\in H \cup(\mathbb{R}\setminus(\overline{H} \cup\mathbb{Q}))\\ 1, &x\in (\overline{H}\setminus H)\cup (\mathbb{Q}\cap(\mathbb{R}\setminus\overline{H})) \end{cases}$

und

$s(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{f_{H_n}(x)}{3^n}.$

Wir werden zeigen, dass $N(s)=G\,$ , was auch bedeuten würde, dass $G\in\{N(f)\}_{f\in\mathfrak{F}}$ .

Zuerst werden wir $N(f_H)=H\,$ beweisen.

Falls $x\in H$ , dann

$\exist\varepsilon(x)>0\ \triangle(x)=\{y: |y-x|<\varepsilon(x)\}\subset H.$

Die Funktion $f_H|_{\triangle(x)}\,$ ist konstant und deshalb stetig. Also ist $f_H\,$ in $x\,$ stetig.

Falls

$x\in \overline{H}\setminus H,$

dann gilt für jede $\varepsilon>0$

$H\cap\{y: |y-x|<\varepsilon\}\neq\emptyset$

sowie

$\forall z ((z\in H\cap\{y: |y-x|<\varepsilon\}\neq\emptyset) \Rightarrow (|f(x)-f(z)|=1)).$

$f_H\,$ ist daher in $x\,$ unstetig.

Falls

$x\in \mathbb{R}\setminus\overline{H},\,$

dann

$\exist\varepsilon(x)>0\ \triangle(x)=\{y: |y-x|<\varepsilon(x)\}\subset \mathbb{R}\setminus\overline{H}.$

Es gilt

$\triangle(x) \cap (\mathbb{Q}\cap(\mathbb{R}\setminus\overline{H}))\neq \emptyset$

und

$\triangle(x) \cap (\mathbb{R}\setminus(\overline{H} \cup\mathbb{Q}))\neq \emptyset$

Also ist $f_H\,$ auch in diesem Fall in $x\,$ unstetig.

Jetzt werden wir uns die Funktion $s(x)\,$ genauer anschauen. Die Reihe

$\sum_{n=1}^\infty \frac{f_{H_n}(x)}{3^n}\qquad (\#)$

wird von der konvergenten Reihe

$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{3^n}$

majoriert und ist daher gleichmäßig konvergent. Da $\{f_{H_n}\}_n$ in $G\,$ stetige Funktionen sind und weil (#) gleichmäßig stetig ist, muss $s(x)\,$ in $G\,$ auch stetig sein spricht $N(s)\supset G.$ Den Beweis werden wir abschliessen, in dem wir zeigen werden, dass $s(x)\,$ für jede $x\in\mathbb{R}\setminus G$ unstetig ist.