Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren

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Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young

Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze - Distributivgesetze - Differenzgesetze

Inhaltsverzeichnis

1 Faktoren einer injektiven, surjektiven oder bijektiven Abbildung
2 Zerlegung einer Abbildung in eine Surjektion und eine Injektion
3 Wikipedia-Verweise

[Bearbeiten] Faktoren einer injektiven, surjektiven oder bijektiven Abbildung

[Bearbeiten] Voraussetzung

$f \colon A \to B$ und $g \colon B \to C$ seien Abbildungen.

[Bearbeiten] Behauptung

Ist $g \circ f$ injektiv, dann ist $f\$ injektiv.
Ist $g \circ f$ surjektiv, dann ist $g\$ surjektiv.
Ist $g \circ f$ bijektiv, dann ist $f\$ injektiv und $g\$ surjektiv.

[Bearbeiten] Beweis

Sei $h := g \circ f$ injektiv, $x, y \in A$ und $f(x) = f(y)\$ . Wir müssen $x = y\$ zeigen.
Aus $f(x) = f(y)\$ folgt $g(f(x)) = g(f(y))\$ , also $h(x) = h(y)\$ . Da $h\$ als injektiv vorausgesetzt ist, gilt $x = y\$ .
Sei $h := g \circ f$ surjektiv und $c \in C$ . Wir müssen ein $b \in B$ mit $g(b) = c\$ finden.
Da $h\$ surjektiv ist, gibt es ein $a \in A$ mit $h(a) = c\$ . Setze $b :=f(a)\$ . Dann ist $g(b) = g(f(a)) = h(a) = c\$ und wir sind fertig.
Dies folgt aus 1 und 2, da ja bijektiv $\Leftrightarrow$ injektiv und surjektiv.

[Bearbeiten] Zerlegung einer Abbildung in eine Surjektion und eine Injektion

[Bearbeiten] Voraussetzung

$f \colon A \to B$ sei eine beliebige Abbildung.

[Bearbeiten] Behauptung

Es gibt eine Zerlegung $f = h \circ g$ , wobei $g\$ surjektiv und $h\$ injektiv ist.

[Bearbeiten] Beweis 1

$C := \operatorname{im} f$ sei die Bildmenge von $f\$ und $g \colon A \to C$ sei die Abbildung, die auf $A\$ mit $f\$ übereinstimmt, also $g(x) := f(x)\$ . Außerdem sei $h \colon C \hookrightarrow B$ die Inklusionsabbildung. Damit sind die Eigenschaften in der Behauptung erfüllt.

[Bearbeiten] Beweis 2

Durch $x \sim y : \Longleftrightarrow f(x) = f(y)$ ist eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf der Menge $A\$ gegeben. $C\$ sei die Faktormenge $A/\sim$ (also die Menge der Äqivalenzklassen) und $g \colon A \to C, \ x\mapsto [x]$ sei die Abbildung, die jedem Element seine Äquivalenzklasse zuordnet. $g\$ ist nach Definition surjektiv. $h \colon C \to B$ wird nun festgelegt durch $h([x]) := f(x)\$ . Diese Abbildung ist wohldefiniert und injektiv und erfüllt die verlangte Eigenschaft $f = h \circ g$ .