Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Komposition

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Beweisarchiv: Mengenlehre

Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren - Komposition - Linksinverse - Linkskürzbarkeit - Rechtsinverse - Rechtskürzbarkeit
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung - Kardinalität und Bijektionen - Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze - Distributivgesetze - Differenzgesetze

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Komposition von injektiven, surjektiven oder bijektiven Abbildungen

[Bearbeiten] Voraussetzung

f \colon A \to B und g \colon B \to C seien Abbildungen.

[Bearbeiten] Behauptung

  1. Sind f\ und g\ injektiv, dann auch g \circ f .
  2. Sind f\ und g\ surjektiv, dann auch g \circ f .
  3. Sind f\ und g\ bijektiv, dann auch g \circ f .

[Bearbeiten] Beweis

  1. Seien f\ und g\ als injektiv vorausgesetzt und h := g \circ f . Weiter seien x, y \in A mit h(x) = h(y)\ . Wir müssen x = y\ zeigen.
    Nach Definition von h\ gilt g(f(x)) = g(f(y))\ . Da g\ injektiv ist, folgt f(x) = f(y)\ . Da f\ injektiv ist, folgt x = y\ .
  2. Seien f\ und g\ als surjektiv vorausgesetzt und h := g \circ f . Weiter sei ein Element c \in C vorgegeben. Wir müssen ein a \in A mit h(a) = c\ finden.
    Da g\ surjektiv ist, gibt es ein Element b \in B mit g(b) = c\ . Da f\ surjektiv ist, gibt es ein Element a \in A mit f(a) = b\ . Zusammen haben wir h(a) = g(f(a)) = g(b) = c\ wie verlangt.
  3. Dies folgt aus 1 und 2, da ja bijektiv \Leftrightarrow injektiv \and surjektiv.

[Bearbeiten] Wikipedia-Verweise

Bijektivität - Injektivität - Komposition - Surjektivität

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