Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Linksinverse

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Beweisarchiv: Mengenlehre

Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren - Komposition - Linksinverse - Linkskürzbarkeit - Rechtsinverse - Rechtskürzbarkeit
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung - Kardinalität und Bijektionen - Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze - Distributivgesetze - Differenzgesetze

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Injektivität und linksinverse Abbildung

[Bearbeiten] Voraussetzung

f \colon A \to B sei eine Abbildung und A \ne \varnothing.

[Bearbeiten] Behauptung

f\ ist injektiv \Longleftrightarrow f\ hat eine Linksinverse g\ .

(Dabei heißt g \colon B \to A eine Linksinverse zu f\ , wenn g \circ f = \mathrm{id}_A gilt.)

[Bearbeiten] Beweis

  • \Rightarrow : f\ werde als injektiv vorausgesetzt. a\ sei ein fest gewähltes Element aus dem (nichtleeren) Definitionsbereich A\ . Die gesuchte linksinverse Abbildung g \colon B \to A wird nun definiert durch
    g(y) := x\ , falls y\ in der Bildmenge von f\ liegt und f(x) = y\ ist (da f\ injektiv ist, ergibt sich x\ eindeutig aus y\ ).
    g(y) := a\ , falls y\ nicht in der Bildmenge von f\ liegt.
  • \Leftarrow : Es gelte g \circ f = \mathrm{id}_A . Nun seien x, y \in A mit f(x) = f(y)\ gegeben. Wir müssen x = y\ zeigen.
    Dazu wird g\ auf die Gleichung f(x) = f(y)\ angewendet, was g(f(x)) = g(f(y))\ ergibt. Mit der Eigenschaft der Linksinversen haben wir \mathrm{id}_A(x) = \mathrm{id}_A(y)\ , also x = y\ .

[Bearbeiten] Wikipedia-Verweise

Bildmenge - Identische Abbildung - Injektivität - Komposition

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