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Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young

Inhaltsverzeichnis

$f \colon A \to B$ sei eine Abbildung.

$f\$ ist injektiv $\Longleftrightarrow$ $f\$ ist linkskürzbar.

(Dabei heißt $f\$ linkskürzbar, wenn für beliebige Abbildungen $g, h \colon C \to A$ aus $f \circ g = f \circ h$ schon $g = h\$ folgt.)

$\Rightarrow$ : $f\$ werde als injektiv vorausgesetzt und $g, h \colon C \to A$ seien beliebige Abbildungen mit $f \circ g = f \circ h$ . Wir müssen $g = h\$ zeigen.
Dazu sei $c \in C$ beliebig. Wegen $f \circ g = f \circ h$ gilt $f(g(c)) = f(h(c))\$ . Die Injektivität von $f\$ liefert $g(c) = h(c)\$ . Damit ist $g = h\$ gezeigt.
$\Leftarrow$ : $f\$ werde als linkskürzbar vorausgesetzt. Es seien nun zwei Elemente $x , y \in A$ mit $f(x) = f(y)\$ gegeben. Wir müssen $x = y\$ zeigen.
Dazu definieren wir zwei konstante Abbildungen $g, h \colon A \to A$ , nämlich $g \colon a \mapsto x$ und $h \colon a \mapsto y$ . Wegen $f(x) = f(y)\$ gilt für die Kompositionen $f \circ g = f \circ h$ . Die Linkskürzbarkeit von $f\$ liefert $g = h\$ , was gleichbedeutend mit $x = y\$ ist.