Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Linkskürzbarkeit

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Beweisarchiv: Mengenlehre

Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren - Komposition - Linksinverse - Linkskürzbarkeit - Rechtsinverse - Rechtskürzbarkeit
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung - Kardinalität und Bijektionen - Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze - Distributivgesetze - Differenzgesetze

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Injektivität und Linkskürzbarkeit

[Bearbeiten] Voraussetzung

f \colon A \to B sei eine Abbildung.

[Bearbeiten] Behauptung

f\ ist injektiv \Longleftrightarrow f\ ist linkskürzbar.

(Dabei heißt f\ linkskürzbar, wenn für beliebige Abbildungen g, h \colon C \to A aus f \circ g = f \circ h schon g = h\ folgt.)

[Bearbeiten] Beweis

  • \Rightarrow : f\ werde als injektiv vorausgesetzt und g, h \colon C \to A seien beliebige Abbildungen mit f \circ g = f \circ h . Wir müssen g = h\ zeigen.
    Dazu sei c \in C beliebig. Wegen f \circ g = f \circ h gilt f(g(c)) = f(h(c))\ . Die Injektivität von f\ liefert g(c) = h(c)\ . Damit ist g = h\ gezeigt.
  • \Leftarrow : f\ werde als linkskürzbar vorausgesetzt. Es seien nun zwei Elemente x , y \in A mit f(x) = f(y)\ gegeben. Wir müssen x = y\ zeigen.
    Dazu definieren wir zwei konstante Abbildungen g, h \colon A \to A , nämlich g \colon a \mapsto x und h \colon a \mapsto y . Wegen f(x) = f(y)\ gilt für die Kompositionen f \circ g = f \circ h . Die Linkskürzbarkeit von f\ liefert g = h\ , was gleichbedeutend mit x = y\ ist.

[Bearbeiten] Wikipedia-Verweise

Injektivität - Komposition

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