Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Rechtsinverse

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Beweisarchiv: Mengenlehre

Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren - Komposition - Linksinverse - Linkskürzbarkeit - Rechtsinverse - Rechtskürzbarkeit
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung - Kardinalität und Bijektionen - Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze - Distributivgesetze - Differenzgesetze

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Surjektivität und rechtsinverse Abbildung

[Bearbeiten] Voraussetzung

f \colon A \to B sei eine Abbildung.

[Bearbeiten] Behauptung

f\ ist surjektiv \Longleftrightarrow f\ hat eine Rechtsinverse g\ .

(Dabei heißt g \colon B \to A eine Rechtsinverse zu f\ , wenn f \circ g = \mathrm{id}_B gilt.)

[Bearbeiten] Beweis

  • \Rightarrow : f\ werde als surjektiv vorausgesetzt. Jedes Element y \in B hat also mindestens ein Urbild unter der Abbildung f\ . g \colon B \to A sei eine Funktion, die jedem y \in B ein Urbild zuweist (eine solche Funktion existiert nach dem Auswahlaxiom). Dann ist f \circ g = \mathrm{id}_B erfüllt.
  • \Leftarrow : Es gelte f \circ g = \mathrm{id}_B . Nun sei b \in B gegeben. Wir müssen ein a \in A mit f(a) = b\ angeben.
    Die Festlegung a := g(b)\ leistet das Verlangte, denn f(a) = f(g(b)) = \mathrm{id}_B(b) = b\ .

[Bearbeiten] Wikipedia-Verweise

Auswahlaxiom - Identische Abbildung - Komposition - Surjektivität - Urbild (Mathematik)

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